河南省部分高中2024−2025學(xué)年高三下學(xué)期第四次考試（小高考） 數(shù)學(xué)試題（含解析）VIP

河南省部分高中2024?2025學(xué)年高三下學(xué)期第四次考試（小高考）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．2．已知集合，，若，則（

）A． B． C．或 D．或3．圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．相切 B．外離 C．內(nèi)含 D．相交4．已知兩個(gè)不相等的向量，，若，則（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．已知數(shù)列滿足，，且對(duì)任意，，則（

）A． B． C． D．7．已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長分別為，，該四棱臺(tái)的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且球心是下底面的中心，則該四棱臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．8．已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，滿足，直線與軸交于點(diǎn)，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．在正方體中，下列結(jié)論正確的是（

）A．平面 B．平面C．平面平面 D．平面平面10．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在負(fù)數(shù)，使得沒有零點(diǎn) B．若恰有個(gè)零點(diǎn)，則C．若恰有個(gè)零點(diǎn)，則 D．當(dāng)時(shí)，恰有個(gè)零點(diǎn)11．蔓葉線是公元前世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家狄奧克勒（Diocle）為了解決倍立方問題發(fā)現(xiàn)的曲線，因形似植物藤蔓而得名．按照如下方式可得到一條蔓葉線：在拋物線：上取一動(dòng)點(diǎn)，作在該動(dòng)點(diǎn)處的切線，過坐標(biāo)原點(diǎn)作這條切線的垂線，垂足的軌跡就是如圖所示的蔓葉線．下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)在上B．直線是的漸近線C．點(diǎn)到上的點(diǎn)的距離最小值為D．若過點(diǎn)的直線與和拋物線分別交于點(diǎn)，（異于點(diǎn)），則三、填空題12．用，，，…，這個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為．13．已（）是奇函數(shù)，則的最大值為．14．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，角的平分線與交于點(diǎn)，若，則的取值范圍是．四、解答題15．已知等比數(shù)列滿足，且是，的等差中項(xiàng)．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．16．已知函數(shù)．（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）令函數(shù)，若，，（，）成公差為的等差數(shù)列，證明：為定值．17．某商場舉辦購物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，在一個(gè)不透明的袋子中放入個(gè)大小、材質(zhì)都相同的小球，小球有紅和藍(lán)兩種顏色，每個(gè)小球上都畫有符號(hào)“○”或“×”，不同顏色和符號(hào)的小球個(gè)數(shù)如下表所示．從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記事件為“摸出紅球”，事件為“摸出畫○的球”．紅球藍(lán)球畫○畫×（1）求和．（2）該商場規(guī)定在一次抽獎(jiǎng)中，每人有放回地摸兩次球，每次只摸出一個(gè)球，根據(jù)兩次摸出球的顏色和符號(hào)是否相同設(shè)置三種獎(jiǎng)項(xiàng)，等級(jí)從高到低依次為：顏色和符號(hào)均相同為一等獎(jiǎng)；僅顏色相同或僅符號(hào)相同為二等獎(jiǎng)；顏色和符號(hào)均不相同為三等獎(jiǎng)．（?。┮浴敖Y(jié)果發(fā)生的可能性越小，獎(jiǎng)項(xiàng)等級(jí)越高”為標(biāo)準(zhǔn)，請(qǐng)你判斷該獎(jiǎng)項(xiàng)設(shè)置是否合理；（ⅱ）若按（?。┲械臉?biāo)準(zhǔn)對(duì)上述三種結(jié)果重新設(shè)置獎(jiǎng)項(xiàng)，并且一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)勵(lì)元，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)勵(lì)元，三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)勵(lì)元，要使一次抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金期望值不超過元，則的最大值為多少？18．已知函數(shù)．（1）若，求在上的最值．（2）若且，關(guān)于的方程在上僅有一個(gè)實(shí)根．（?。┳C明：；（ⅱ）求的最大值．19．如圖，在四面體中，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰在棱上，為的中點(diǎn)，，，和的面積均為．（1）若，且與均為銳角，證明：平面；（2）若將，，三點(diǎn)在空間中的位置固定，試分析點(diǎn)的軌跡是什么曲線；（3）求的最小值．

參考答案1．【答案】A【詳解】，則.故選A.2．【答案】C【詳解】①當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，滿足題意，②當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，滿足題意，故選C.3．【答案】B【詳解】圓即，圓心為，半徑為；圓即，圓心為，半徑為；圓心距為，因?yàn)?，所以兩個(gè)圓外離.故選B4．【答案】C【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，由得，即，解得或，?dāng)時(shí)，，，此時(shí)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，符合題意.故選C5．【答案】D【詳解】由題知在上恒成立，所以，得.故選D.6．【答案】D【詳解】令可得，代入數(shù)據(jù)得：，解得，所以，令，解得，令，解得，令，解得，，可得數(shù)列的周期為3，則，故選D.7．【答案】B【詳解】如圖，正四棱臺(tái)，分別為上下底面的中心.由題意知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長分別為，，則.又因?yàn)樵撍睦馀_(tái)的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且球心是下底面的中心，可知，得，即正四棱臺(tái)的高為.又上底面的面積，下底面的面積，則該四棱臺(tái)的體積為.故選B.8．【答案】B【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，如圖：設(shè)，則由得，由雙曲線的定義，得，又，，所以∽，所以，即，解得，則，，在中，由勾股定理得，即，化簡得，則，而，解得.故選B9．【答案】BD【詳解】對(duì)于A，若平面，平面，則，明顯不符合題意，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由正方體的性質(zhì)可知，又平面,平面，所以平面，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)橹本€與直線相交于一點(diǎn)，顯然平面與平面不可能平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由正方體的性質(zhì)可得，平面，平面，所以，又且都在平面內(nèi)，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故D正確；故選BD.10．【答案】AD【詳解】由題意，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即的根的個(gè)數(shù)，等價(jià)于的解的個(gè)數(shù)，等價(jià)于曲線：與直線：的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).曲線：時(shí)，，時(shí)，.直線：過定點(diǎn).當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，則，得，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí).當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，則，得，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí).當(dāng)直線繞著定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，直線與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)即為的零點(diǎn)個(gè)數(shù).如圖可知，時(shí)，無零點(diǎn)；時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，有個(gè)零點(diǎn).存在負(fù)數(shù)，使得沒有零點(diǎn)，故A正確；若恰有個(gè)零點(diǎn)，或，故B錯(cuò)誤；若恰有個(gè)零點(diǎn)，則或，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，恰有個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選AD.11．【答案】ABD【詳解】拋物線在原點(diǎn)處的切線為y軸，過坐標(biāo)原點(diǎn)作這條切線的垂線,垂足即為；設(shè)上不同于原點(diǎn)的點(diǎn)，則該點(diǎn)處的切線斜率存在，設(shè)為k，切線方程為，代入，消去x可得，則，即，即，即，故切線為①則過坐標(biāo)原點(diǎn)的這條切線的垂線方程為，可得，代入①消去可得垂足滿足的關(guān)系式為，化簡可得，該式滿足過原點(diǎn)，故蔓葉線E方程為.點(diǎn)滿足上式，故點(diǎn)在E上，故A正確；由，可得且，故，時(shí)，，故是E的漸近線，故B正確；設(shè)E上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則，令，，令，可得，故時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，故,故,則點(diǎn)到E上的點(diǎn)的距離最小值為，故C錯(cuò)誤；若過點(diǎn)的直線與E和拋物線分別交于點(diǎn)A,B(異于點(diǎn))，可知直線的斜率存在，設(shè)為m，則：，由，解得,即,由，解得，即,故,故，故D正確.故選ABD.12．【答案】224【詳解】從四個(gè)數(shù)中任選一個(gè)數(shù)放在個(gè)位，有4種方法，再從其他八個(gè)數(shù)中任選2位數(shù)放在十位和百位，有種方法，故九個(gè)數(shù)組成沒有重復(fù)的三位數(shù)且是偶數(shù)共有種方法.13．【答案】2【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，由于，所以，所以，所以的最大值為2.14．【答案】【詳解】設(shè)，則.又，則.又因?yàn)椋瑒t.在中，由正弦定理可得則..因?yàn)?，所以，故，所?所以的取值范圍是.15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）設(shè)的公比為，因?yàn)槭堑牡炔钪许?xiàng)，所以，又，所以解得所以.（2）由（I）可得該數(shù)列為，，，，，，，，則.16．【答案】（1）；的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）證明見解析【詳解】（1），最小正周期.令，，得.因此的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）由題意可得，因?yàn)槌晒顬榈牡炔顢?shù)列，所以，.由此可得，，從而，，，故為定值，得證.17．【答案】（1）,（2）【詳解】（1）由題意得，.（2）（i）在一次摸球的結(jié)果中，，，，.所以兩次摸球的結(jié)果中，顏色和符號(hào)均相同的概率為，僅顏色相同或僅符號(hào)相同的概率為，顏色和符號(hào)均不相同的概率為.，不符合“結(jié)果發(fā)生的可能性越小，獎(jiǎng)項(xiàng)等級(jí)越高”的標(biāo)準(zhǔn)，故該獎(jiǎng)項(xiàng)設(shè)置不合理.（ii）設(shè)一次抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金為元，由題意知，，.按照題意，獎(jiǎng)金越高，概率越小，結(jié)合（i），可知的分布列為所以，令，得，即的最大值為180.18．【答案】（1）最小值為，最大值為（2）（?。┳C明見解析；（ⅱ）【詳解】（1）若，則，所以，令，可得或，令，可得或，令，可得，故在單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增.所以.在處取得最大值，在處取得最小值，又，所以在上的最小值為，最大值為；（2）（?。┝?，則，令，顯然在上單調(diào)遞增，又，，所以存在唯一的，滿足，即，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，是在上的極小值，也是最小值，又因?yàn)?，要使在上僅有一個(gè)實(shí)根，必需，所以；（ⅱ）由（?。┲?，，將代入，得，所以，所以，令，則，令，可得，令，可得，故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.即在處取得最大值.故的最大值為.19．【答案】（1）證明見解析（2）橢圓（直線與此橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)除外）（3）【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰在棱上，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)楹偷拿娣e均為，所以因?yàn)榕c均為銳角，所以，再根據(jù)余弦定理可知，所以，又，平面，所以平面；（2）因?yàn)榈拿娣e為，，所以點(diǎn)D到直線AB的距離為1，因此在以直線為軸，底面半徑為1的圓柱的側(cè)面上運(yùn)動(dòng).由題意知平面，，所以直線與平面所成的角為.如圖，平面與圓柱斜交，則平面與圓柱側(cè)面的交線就是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，易知該交線為橢圓（直線與此橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)除外）.（3）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示