遼寧省普通高中2024-2025學年高一上學期11月期中考試數(shù)學試題（解析版）VIP

高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省普通高中2024-2025學年高一上學期11月期中考試數(shù)學試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，則的子集個數(shù)為（）A.3 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】集合，則，因，所以，對于集合，當時，；當時，；當時，；當時，；所以，則，即集合中有3個元素，則它子集個數(shù)為個.故選：C2.已知是的必要不充分條件，是的充分不必要條件，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】是的必要條件，是的充分條件，即若則，若則，因此有若則，又是的不充分條件，是的不必要條件，若不一定有成立，若不一定有成立，因此有若不一定有成立，所以是的必要不充分條件，故選：B．3.若函數(shù)，則的定義域為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題可得，解得且，所以的定義域為，故選：B.4.已知函數(shù)滿足，則實數(shù)的值為（）A. B. C.3 D.6【答案】A【解析】函數(shù)是二次函數(shù)，其中，所以對稱軸，因為，所以函數(shù)對稱軸為，即，解得，故選：A.5.已知，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對選項A，取，滿足，不滿足，故A錯誤.對選項B，取，滿足，不滿足，故B錯誤.對選項C，因為，所以，即，故C正確.對選項D，取，滿足，不滿足，故D錯誤.故選：C6.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A B.C. D.【答案】C【解析】的定義域為，∵，∴為偶函數(shù)，∵當時，，∴在0,+∞上單調(diào)遞增，∵，∴，解得或.故選：C.7.已知函數(shù)若函數(shù)有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知，有3個實數(shù)根，即y=fx和有3個交點，畫出函數(shù)y=fx若與y=fx有3個交點，則.故選：C8.《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以幾何方法研究代數(shù)問題，這種方法是數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.現(xiàn)有圖形如圖所示，為線段上的點，且，，為的中點，以為直徑作半圓，過點作的垂線交半圓于，連接，則該圖形可以完成的無字證明為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，，，而（重合時取等號），因此有．故選：D．二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題所給的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知函數(shù)（，且）的圖象如圖所示，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.的圖象不經(jīng)過第四象限【答案】BD【解析】對于A，由圖象可知函數(shù)單調(diào)遞減，則0<a<1，故A錯誤；對于B，當x=0時，，由圖象可得，解得，故B正確；對于C，由，則，由是增函數(shù)，則，故C錯誤；對于D，由，0<a<1，則函數(shù)是增函數(shù)，當x=0時，，故D正確.故選：BD.10.已知正實數(shù)，滿足，則（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】對于A，利用基本不等式可知，所以，當且僅當時，等號成立，故A正確；對于B，可知，所以當且僅當時，等號成立，故B正確；對于C，，當且僅當時，等號成立，所以，故C錯誤；對于D，將代入，可得，根據(jù)基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，故D錯誤.故選：AB11.已知函數(shù)的定義域為，且，若，則（）A. B.C.函數(shù)是奇函數(shù) D.函數(shù)是增函數(shù)【答案】ACD【解析】令，，則，因，所以，令，，得，即，，所以，故A正確；令，，所以，為奇函數(shù)，故C正確；由，令，得，故B錯誤；上式中令為，得，為增函數(shù)，故D正確.故選：ACD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知命題“，使”為真命題，則實數(shù)的最小值為______.【答案】或【解析】依題意可得,解得,故的最小值為.故答案為：13.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，且，得，所以.故答案為：14.已知關(guān)于x的不等式，若，則該不等式的解集是______，若該不等式對任意的均成立，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】①.，②..【解析】當時，不等式可化為，所以，所以或，所以不等式的解集是，由已知對任意的，不等式恒成立，當時，，此時，當時，不等式，可化為，所以，其中，所以，所以，所以不等式對任意的均成立時，的取值范圍是.故答案為：，.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知全集，集合，.（1）當時，求，；（2）若集合，當時，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由時，，則，或，.（2）由，，解得，則，由，則，可得，解得.16.設(shè)函數(shù).（1）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，解關(guān)于的不等式.解：（1）當時，，成立；當時，在上恒成立，所以，解得；綜上的取值范圍為；（2）因為，則，整理可得，當時，原不等式為，解得；當時，方程的兩根為，當，即時，的解為；當，即時，解得或；當，即時，解得或；綜上，當時，解集為；當時，解集為或；當時，解集為；當時，解集為或x>1.17.展銷會上，在消費品展區(qū)，某企業(yè)帶來了一款新型節(jié)能環(huán)保產(chǎn)品參展，并決定大量投放市場.已知該產(chǎn)品年固定研發(fā)成本為80萬元，每生產(chǎn)一臺需另投入60萬元.設(shè)該企業(yè)一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品萬臺且全部售完，每萬臺的銷售收入（單位：萬元）（1）寫出年利潤（單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（單位：萬臺）的函數(shù)解析式；（利潤銷售收入成本）（2）當年產(chǎn)量為多少萬臺時，該企業(yè)獲得的利潤最大？并求出最大利潤.解：（1），.（2）當時，，；當時，，當且僅當，即時，等號成立.綜上所述，當時，的最大值為.18.已知函數(shù)是偶函數(shù).（1）求；（2）判斷在上的單調(diào)性，并說明理由；（3）若，，求的取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域為，，即，即；（2），設(shè)，，因為，所以，，，當，即時，，在單調(diào)遞減，當時，即，，在單調(diào)遞增；（3）若，，由（2）可知，不管，還是，函數(shù)都單調(diào)，所以的最大值必在端點處取得，則且，即，且，解得：.19.若函數(shù)與滿足：對任意的，總存在唯一的，使成立，則稱是在區(qū)間上的“階伴隨函數(shù)”；當時，則稱為區(qū)間上的“階自伴函數(shù)”.（1）判斷是否為區(qū)間上的“2階自伴函數(shù)”？并說明理由；（2）若為區(qū)間上的“9階自伴函數(shù)”，求的值；（3）若是在區(qū)間上的“2階伴隨函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）是區(qū)間上的“2階自伴函數(shù)”對任意的，，則，首先中唯一的，其次時，，，因此，不一定有，例如取，由，解得，所以不是區(qū)間上的“2階自伴函數(shù)”；（2）由已知，對任意，，，，所以且，即，解得．（3）方法一：由題意，，，，則，所以，設(shè)，則，于是，，，，所以對，恒成立，或恒成立，恒成立，則，解得，恒成立，則，解得，綜上，的取值范圍是．方法二：，令，則，則，所以.因為是在區(qū)間上的"2階伴隨函數(shù)"，所以對任意的，總存在唯一的，使得成立，所以，即在上的值域必定包含區(qū)間，且的值域在對應(yīng)的自變量