遼寧省普通高中2025屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題（解析版）VIP

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省普通高中2025屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合.若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，所以，所以.故選：C2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對(duì)于，由于在單調(diào)遞增，所以，對(duì)于，由于單調(diào)遞減，故.所以.故選：D3.已知函數(shù).則為（）A.偶函數(shù)且為增函數(shù) B.偶函數(shù)且為減函數(shù)C.奇函數(shù)且為增函數(shù) D.奇函數(shù)且為減函數(shù)【答案】C【解析】由題意得，定義域?yàn)?，則，

則函數(shù)為奇函數(shù)；，因?yàn)?，且?duì)成立，故，即函數(shù)為增函數(shù)，綜上，函數(shù)為奇函數(shù)且為增函數(shù).故選：C.4.已知數(shù)列為正數(shù)項(xiàng)的等比數(shù)列，是它的前項(xiàng)和，若，且，則（）A.34 B.32 C.30 D.28【答案】C【解析】數(shù)列為正數(shù)項(xiàng)的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得，由，則，根據(jù)等比數(shù)列的公式得，所以故選：C5.若（i為虛數(shù)單位，），則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得，所以且，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，故選：B6.將函數(shù)的圖像先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得函數(shù)圖像上的每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖像．已知函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題可知，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，故選：A．7.我們把平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離不大于定點(diǎn)到的距離的倍的動(dòng)點(diǎn)的集合稱為關(guān)于的階親密點(diǎn)域，記為動(dòng)點(diǎn)符合．已知，動(dòng)點(diǎn)符合，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】已知，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)符合，所以動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離不大于定點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的倍，即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離小于等于定點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的倍，所以，所以1，即，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓及內(nèi)部，令，即，令直線的方程為，要求的最大值，即為求當(dāng)直線與圓相交或相切時(shí)的最大值，又點(diǎn)到直線的距離為，平移直線與圓相切時(shí)，點(diǎn)到直線的距離等于圓的半徑，即，即，解得或，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，點(diǎn)到直線的距離大于等于0小于1，即，即，即，解得，綜上所述，可得，即，所以，即，故選：A.8.在等邊三角形中，D、E、F分別在邊上，且．則三角形面積的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，，，，在中，，即，，同理，在中，，的邊長(zhǎng)，其中，時(shí)，取得最大值為，.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分．9.下列說法中，正確的有（）A.兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1B.一組數(shù)據(jù)刪除一個(gè)數(shù)后，得到一組新數(shù)據(jù)：12，14，15，17，19，19，20，21.若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，則刪除的數(shù)是18C.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則D.若一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3，方差是2，則8可能在這組數(shù)據(jù)中【答案】AB【解析】A選項(xiàng)：兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于0，相關(guān)性越弱，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：12，14，15，17，19，19，20，21，這組數(shù)據(jù)共有8個(gè)，且已按照從小到大順序排序，中位數(shù)為第4個(gè)和第5個(gè)數(shù)平均數(shù)，即中位數(shù)為18，由題意，原數(shù)據(jù)有9個(gè)，中位數(shù)恰為這9個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排序后得第5個(gè)數(shù)，且該數(shù)為18，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：，則，且，則，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：由方差的含義，可知，則，設(shè)8是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)，則，即該組數(shù)據(jù)中其余9組的平方和為負(fù)數(shù)，不可能，8不在數(shù)據(jù)中，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：.10.已知平面單位向量滿足．設(shè)，向量與的夾角為，則的取值可以是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】由得，，設(shè)，，，則，設(shè)，則，則，所以，即，故選：AB．11.已知焦點(diǎn)為的拋物線與圓交于兩點(diǎn)，且，點(diǎn)在拋物線上，且過兩點(diǎn)分別作拋物線的切線交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.拋物線C的方程為：B.若三點(diǎn)共線，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為C.若三點(diǎn)共線，且傾斜角為，則△的面積是D.若點(diǎn)，且三點(diǎn)共線，則的最小值是9【答案】AD【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋以趫A上，所以由對(duì)稱性不妨設(shè)，又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，因此拋物線方程，故A正確；對(duì)于B，設(shè)，且過的直線方程聯(lián)立，得，則，設(shè)在點(diǎn)處的切線方程為，與聯(lián)立得，，因，則，則在點(diǎn)處的切線方程為，同理在點(diǎn)處的切線方程，所以聯(lián)立，并結(jié)合，解得，所以點(diǎn)，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)檫^的直線方程的傾斜角，所以，聯(lián)立，得，則，所以，又由B選項(xiàng)可知，，所以點(diǎn)到直線的距離是，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)過的直線方程聯(lián)立，得，則，又因?yàn)椋?，，且，所以，等?hào)成立的條件為，即，即，故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______．【答案】【解析】展開式的通項(xiàng)公式為，由，得，即常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：13.設(shè)函數(shù)．若在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】①當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；所以當(dāng)時(shí)，若在上恒成立，則；②當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，所以，解得，所以當(dāng)時(shí)，若在上恒成立，則；綜上所述，，故答案為：．14.我國(guó)古代《九章算術(shù)》中將上、下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童，關(guān)于“芻童”的體積計(jì)算曰：“倍上袤，下袤從之，亦倍下袤，上袤從之．各以其廣乘之，并以高乘之，六而一．”其計(jì)算方法是：將上底面的長(zhǎng)乘二，與下底面的長(zhǎng)相加，再與上底面的寬相乘，將下底面的長(zhǎng)乘二，與上底面的長(zhǎng)相加，再與下底面的寬相乘，把這兩個(gè)數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一．已知芻童的外接球（球心在該芻童體內(nèi)）半徑為5，且，則該芻童的體積是______.【答案】【解析】取上下底面的中心為,外接球的球心為，連接,由于，所以所以,故，因此,故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且滿足上式，所以.（2），，數(shù)列的前項(xiàng)和為.16.如圖1在梯形ABCD中，，且為AB中點(diǎn)，為BC上一點(diǎn)，且．現(xiàn)將該梯形沿AC折起，使得點(diǎn)折疊至點(diǎn)的位置（如圖2），且二面角的平面角大小為.（1）求證：；（2）求直線CE與平面PEF所成角的正弦值.（1）證明：圖1中，連接，交于點(diǎn)，連接，為AB中點(diǎn)，，又，，四邊形是菱形，，所以在圖2中，，又平面，，平面，又平面，；（2）解：以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過點(diǎn)做垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則，所以，，，設(shè)平面的法向量，由，有，，令，則，設(shè)與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成的角的正弦值為；17.在哈爾濱2025年第九屆亞洲冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)的志愿者選拔工作中，面試滿分為100分，現(xiàn)隨機(jī)抽取了120名候選人的面試成績(jī)分為五組，第一組[45，55），第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知圖中從左到右前三組的頻率成等差數(shù)列，第一組的頻率等于第五組的頻率．（1）求a，b的值，并估計(jì)這120名候選人成績(jī)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）和中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.1）；（2）已知120名候選人中，男、女生各60人，男生想去冰上賽區(qū)的有35人，女生想去冰上賽區(qū)的有20人，請(qǐng)補(bǔ)全下面列聯(lián)表．請(qǐng)問是否有的把握認(rèn)為候選人想去冰上賽區(qū)與性別有關(guān)？（結(jié)果精確到0.001）志愿者性別合計(jì)男生女生想去冰上賽區(qū)3520不想去冰上賽區(qū)合計(jì)6060附：0.0500.0100.0013.9416.63510.828（3）滑冰項(xiàng)目的場(chǎng)地服務(wù)需要4名志愿者，有4名男生和2名女生通過選拔入圍，現(xiàn)隨機(jī)從6名同學(xué)中抽取4人服務(wù)該場(chǎng)地，記男生被抽中的人數(shù)為，求的分布列及期望．解：（1）由題意：.又.解得，估計(jì)這120名候選人成績(jī)的平均數(shù)為：，設(shè)中位數(shù)為：，解得中位數(shù).（2）補(bǔ)全列聯(lián)表如下：志愿者性別合計(jì)男生女生想去冰上賽區(qū)352055不想去冰上賽區(qū)254065合計(jì)6060120所以有99%的把握認(rèn)為候選人想去冰上賽區(qū)與性別有關(guān)（3）男生被抽中的人數(shù)可能取值為2，3，4..的分布列為：234.18.已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處切線方程；（2）若的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為和，且.（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）證明：．解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，，求導(dǎo)得，則，所以曲線在處的切線方程為；（2）（i），且定義域.因?yàn)槿粲袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以是方程的兩個(gè)正根，即令，則，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以；（ii）由（i）可知，且時(shí)，，又，所以，令，單調(diào)遞增，且，所以時(shí)，時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，即，又因?yàn)?，所以，所以，?19.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，且點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）若經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角為）的直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在軸上方）如圖①.將平面xOy沿軸折疊，使點(diǎn)折至的位置，且軸正半軸和軸所確定的半平面（平面）與軸負(fù)半軸和軸所確定的半平面（平面）互相垂直，如圖②.（i）當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，求折疊后圖②中的長(zhǎng)度；（ii）是否存在直線，使得折疊后的周長(zhǎng)與折疊前的周長(zhǎng)之比是3:4？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）因?yàn)?，所以，所以，橢圓方程為：又因