四川省攀枝花市2023−2024學(xué)年高一下冊(cè)期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷附解析VIP

/四川省攀枝花市2023?2024學(xué)年高一下冊(cè)期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．某中學(xué)高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生分別為900人、950人、1000人，為了解不同年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從高三年級(jí)抽取了40人，則其他年級(jí)應(yīng)該抽取的學(xué)生人數(shù)為（

）A．36 B．38 C．74 D．1142．下列命題中正確的是（

）A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面C．圓的一條直徑與圓上一點(diǎn)可確定一個(gè)平面D．四邊形可確定一個(gè)平面3．已知是單位向量，，若在方向上的投影向量是，則與的夾角為（

）A． B． C． D．4．復(fù)數(shù)（

）A． B．i C． D．15．已知隨機(jī)事件A，B，C中，與相互獨(dú)立，與對(duì)立，且，，則（

）A．0.4 B．0.58 C．0.7 D．0.726．已知m、n是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則.C．若，，，則 D．若，，，則7．將半徑為2，圓心角為的扇形圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．8．2022年12月26日，位于攀枝花市三線文化廣場(chǎng)的三線建設(shè)英雄紀(jì)念碑正式落成，與攀枝花中國(guó)三線建設(shè)博物館交相呼應(yīng)，充分展示三線建設(shè)的豐功偉績(jī)，傳承弘揚(yáng)“三線精神”，凝聚賡續(xù)奮斗的力量源泉、某校研究性學(xué)習(xí)小組想要測(cè)量該紀(jì)念碑的高度，現(xiàn)選取與碑底D在同一個(gè)水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)A與B，現(xiàn)測(cè)得，，米，在點(diǎn)A處測(cè)得碑頂C的仰角為30°，則紀(jì)念碑高CD約為（

）（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）A．27米 B．33米 C．39米 D．40米二、多選題（本大題共4小題）9．關(guān)于復(fù)數(shù)及其共軛復(fù)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．一定是純虛數(shù)10．分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，事件“兩枚均正面朝上”，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．與相互獨(dú)立 D．與互斥11．下列有關(guān)平面向量的說(shuō)法中正確的是（

）A．已知，均為非零向量，若，則B．若且，則C．在中，若，則點(diǎn)為BC邊上靠近的三等分點(diǎn)D．在平面四邊形中，若，則四邊形為矩形12．如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．平面與底面的交線平行于B．三棱錐的體積為定值C．異面直線與CD所成的角為D．的最小值為三、填空題（本大題共4小題）13．一組數(shù)據(jù)6，7，8，a，12的平均數(shù)為7，則此組數(shù)據(jù)的極差為.14．已知平面向量與的夾角為，且，，則.15．甲、乙、丙三名同學(xué)參加某項(xiàng)技能測(cè)試，已知甲、乙、丙通過(guò)測(cè)試的概率分別為，，，且三人是否通過(guò)測(cè)試彼此獨(dú)立，則甲、乙、丙三人中恰有兩人通過(guò)測(cè)試的概率為.16．正四面體外接球的體積為，則其內(nèi)切球的表面積為.四、解答題（本大題共6小題）17．已知點(diǎn)，，.(1)若A，B，C三點(diǎn)共線，求；(2)若，求.18．袋中有6個(gè)大小和質(zhì)地相同的小球，分別為黑球、黃球、紅球，從中任意取一個(gè)球，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或紅球的概率是.(1)從中任取一個(gè)球，得到黑球、黃球、紅球的概率各是多少？(2)從中任取兩個(gè)球，得到的兩個(gè)球顏色不相同的概率是多少？19．文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號(hào)，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)建者，某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績(jī)（滿分100分，成績(jī)均不低于40分）分成六段：，，…，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中a的值，并求樣本成績(jī)的第75百分位數(shù)；(2)現(xiàn)從以上各段中采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣再抽取20份答卷作為“典型答卷”進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)研究，若落在的“典型答卷”的平均成績(jī)與方差分別是82和8，落在的“典型答卷”的平均成績(jī)與方差分別是96和1，據(jù)此估計(jì)這100份答卷中落在的所有答卷的成績(jī)的方差.20．如圖，平面，，平面.

(1)求證：；(2)若，，，求三棱錐的體積.21．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，然后解答補(bǔ)充完整的題.的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知___________（只需填序號(hào)）.(1)求角；(2)設(shè)是BC上一點(diǎn)，且，，求面積的最大值.注：若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.22．如圖，在正方形中，點(diǎn)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，將、分別沿DE、DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于P，連接EF，PB.(1)求證：；(2)點(diǎn)M是PD上一點(diǎn)，若直線MF與平面所成角的正切值為，求二面角的余弦值.

答案1．【正確答案】C【分析】根據(jù)題意先求出所抽取的總?cè)藬?shù)，然后可求出其他年級(jí)應(yīng)該抽取的學(xué)生人數(shù).【詳解】設(shè)三個(gè)年級(jí)共抽取人，則由題意得，解得，所以其他年級(jí)應(yīng)該抽取的學(xué)生人數(shù)為.故選C.2．【正確答案】B【分析】根據(jù)確定平面的依據(jù)，判斷選項(xiàng).【詳解】A.由確定平面的依據(jù)可知，不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故錯(cuò)誤；B.兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面，故正確；C.根據(jù)確定平面的依據(jù)，直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，所以應(yīng)改為圓的一條直徑和圓上除直徑端點(diǎn)外的一點(diǎn)，可確定一個(gè)平面，故錯(cuò)誤；D.空間四邊形，四點(diǎn)不在同一個(gè)平面，故錯(cuò)誤；故選B.3．【正確答案】D【分析】結(jié)合已知根據(jù)投影向量的定義得出即可求解.【詳解】因?yàn)樵诜较蛏系耐队跋蛄渴?，所以，所以，又所?故選D.4．【正確答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及乘方運(yùn)算計(jì)算得解.【詳解】依題意，，所以.故選A.5．【正確答案】B【分析】由公式可知只需求出即可，結(jié)合對(duì)立減法公式以及獨(dú)立乘法公式即可求解.【詳解】，，所以.故選B.6．【正確答案】D【分析】對(duì)于ABC，舉例判斷，對(duì)于D，利用面面垂直的判定定理分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，如圖，當(dāng)，時(shí)，∥，所以A錯(cuò)誤，

對(duì)于B，如圖，當(dāng)，時(shí)，，所以B錯(cuò)誤，

對(duì)于C，如圖，當(dāng)，，時(shí)，是異面直線，所以C錯(cuò)誤，

對(duì)于D，因?yàn)?，，所以∥或，?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，?dāng)∥時(shí)，過(guò)直線作平面，，則∥，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，綜上，，所以D正確.

故選D.7．【正確答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出圓錐的底面圓半徑及高即可求解.【詳解】設(shè)圓錐底面圓半徑為，依題意，，解得，圓錐的高，所以圓錐的體積.故選A.8．【正確答案】C【分析】在中利用正弦定理求出，再在中利用可求得.【詳解】在中，，，，則，，由正弦定理得，，得，解得，在中，，則由，得.故選C.9．【正確答案】BC【分析】對(duì)于AD舉反例即可判斷；對(duì)于BC，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)乘法以及復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即可求解.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)，則，從而，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，則，從而，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，則，從而，當(dāng)時(shí)，是實(shí)數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選BC.10．【正確答案】BCD【分析】列舉法表示，再逐項(xiàng)分析判斷即得.【詳解】{(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}，{(正,正),(正,反)}，{(正,正),(反,正)}，{(正,正)}，對(duì)于A，{(正,正),(正,反),(反,正)}，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，{(正,正)}，，B正確；對(duì)于C，{(正,正)}，，與相互獨(dú)立，C正確；對(duì)于D，{(反,正),(反,反)}，與不可能同時(shí)發(fā)生，因此與互斥，D正確.故選BCD.11．【正確答案】AC【分析】利用數(shù)量運(yùn)算律結(jié)合垂直關(guān)系的向量表示判斷AB；利用向量共線判斷CD.【詳解】對(duì)于A，由，得，則，而，均為非零向量，因此，A正確；對(duì)于B，由，得，當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，即，則點(diǎn)為BC邊上靠近的三等分點(diǎn)，C正確；對(duì)于D，由，得，即，在平面四邊形中，，四邊形為平行四邊形，沒(méi)有條件可確保該四邊形為矩形，D錯(cuò)誤.故選AC.12．【正確答案】ABD【分析】對(duì)于A，利用面面平行的性質(zhì)定理分析判斷，對(duì)于B，連接交于點(diǎn)，連接，則由三角形中位線定理得∥，從而可得∥平面，進(jìn)而可判斷，對(duì)于C，由∥，可得異面直線與CD所成的角，然后在中求解即可，對(duì)于D，將平面和平面展在同一個(gè)平面內(nèi)求解判斷.【詳解】對(duì)于A，設(shè)平面與底面的交線為，因?yàn)槠矫妗纹矫?，平面平面，所以∥，所以A正確，對(duì)于B，連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以∥，因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面，因?yàn)辄c(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，因?yàn)榈拿娣e也為定值，所以三棱錐的體積為定值，所以B正確，對(duì)于C，由選項(xiàng)B可知∥，所以異面直線與CD所成的角，因?yàn)?，，所以，所以，所以，，則，，所以，所以為等腰直角三角形，所以，所以異面直線與CD所成的角為，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由選項(xiàng)C可知，則為等邊三角形，如圖，將平面和平面展在同一個(gè)平面內(nèi)，則的最小值為，在中，，則，所以，所以，所以的最小值為，所以D正確，故選ABD.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】此題考查面面平行的性質(zhì)，考查棱錐的體積，考查異面直線所成的角，考查空間中距離和最短問(wèn)題，選項(xiàng)D解題的關(guān)鍵是將兩個(gè)平面展在同一個(gè)平面內(nèi)求解，考查空間想象能力和計(jì)算能力.13．【正確答案】10【分析】根據(jù)平均數(shù)列方程求得參數(shù)，結(jié)合極差的定義即可求解.【詳解】一組數(shù)據(jù)6，7，8，a，12的平均數(shù)為，解得，所以此組數(shù)據(jù)的極差為.故10.14．【正確答案】【分析】利用向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律計(jì)算即得.【詳解】向量與的夾角為，且，，則，所以.故答案為.15．【正確答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即得.【詳解】依題意，甲、乙、丙三人中恰有兩人通過(guò)測(cè)試的概率為.故答案為.16．【正確答案】【分析】將正四面體放入棱長(zhǎng)為的正方體中，根據(jù)已知求得，進(jìn)一步根據(jù)等體積法求得內(nèi)切球的半徑，結(jié)合球的表面積公式即可得解.【詳解】如圖所示，將正四面體放入棱長(zhǎng)為的正方體中，則其外接球的半徑為，其外接球的體積為，解得，從而正四面體的棱長(zhǎng)，設(shè)其內(nèi)切球的半徑為，由等體積法有，，其中為正四面體的表面積，所以，所以，其內(nèi)切球的表面積為.故答案為.17．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）利用向量共線的坐標(biāo)表示求出，再利用坐標(biāo)求出模.（2）利用垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示求出，進(jìn)而求出夾角余弦.【詳解】（1）點(diǎn)，，，則，，由A，B，C三點(diǎn)共線，得，則，解得，即，所以.（2）由（1）知，，，由，得，解得，，所以.18．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）從中任取一球，分別記得到黑球、黃球、紅球?yàn)槭录?，，由于，，為互斥事件，列出方程組，由此能求出從中任取一球，得到黑球、黃球、紅球的概率．（2）黑球、黃球、紅球個(gè)數(shù)分別為2，1，3，得到的兩個(gè)球同色的可能有：兩個(gè)黑球只有1種情況，兩個(gè)紅球共3種情況，而從6個(gè)球中取出2個(gè)球的情況共有15種，由此能求出得到的兩個(gè)球顏色不相同的概率．【詳解】（1）從中任取一球，分別記得到黑球、黃球、紅球?yàn)槭录?，，由于，，為互斥事件，根?jù)已知得，解得，所以從中任取一球，得到黑球、黃球、紅球的概率分別是；（2）由（1）知黑球、黃球、紅球個(gè)數(shù)分別為2，1，3，得到的兩個(gè)球同色的可能有：兩個(gè)黑球只有1種情況，兩個(gè)紅球共3種情況，而從6個(gè)球中取出2個(gè)球的情況共有15種，所以所求概率為，則得到的兩個(gè)球顏色不相同的概率是．19．【正確答案】(1)，84；(2)46.【分析】（1）根據(jù)每組小矩形的面積之和為1即可求解；由頻率分布直方圖求第百分位數(shù)的計(jì)算公式即可求解.（2）利用分層抽樣的平均數(shù)和方差的計(jì)算公式即可求解.【詳解】（1）由頻率分布直方圖各小矩形的面積之和為1，得，所以；成績(jī)落在內(nèi)的頻率為，落在內(nèi)的頻率為，則第75百分位數(shù)，，解得，所以第75百分位數(shù)為84.（2）依題意，抽取20份答卷中，落在內(nèi)的有（份），落在內(nèi)的有（份），落在的“典型答卷”的平均成績(jī)，落在的“典型答卷”的方差，所以估計(jì)這100份答卷中落在的所有答卷的成績(jī)的方差為46.20．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）利用線面平行、面面平行的判定，面面平行的性質(zhì)推理即得.（2）由（1）及已知求出點(diǎn)到平面的距離，再利用錐體體積公式計(jì)算即得.【詳解】（1）由，平面，平面，得平面，而平面，平面，則平面平面，又平面平面，平面平面，所以.（2）由，平面，平面，得平面，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，由平面，平面，得，而，平面，則平面，由（1）知平面平面，則平面，即點(diǎn)到平面的距離為，由已知得平面，平面，得，的面積，三棱錐的體積,所以三棱錐的體積為.21．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由三角恒等變換結(jié)合正弦定理即可逐一化簡(jiǎn)求解；（2）分解向量得到，平方得條件等式，結(jié)合基本不等式以及三角形面積公式即可求解.【詳解】（1）若選①，則，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，即；若選②，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，而，所以，即；若選③，則，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?；綜上所述，無(wú)論選擇①，②還是③，都有；（2）

由題意，所以，即，所以，即，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，從而面積，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，綜上所述，面積的最大值為.22．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由題意可得，則由線面垂直的判定定理可得平面，則，再由正方形性質(zhì)可得，則平面，從而可證得；（2）由（1）可得為直線MF與平面所成角，則，令，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)求出其它邊