2026版步步高大一輪高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)110練第七章　§7.3　空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系含答案

2026版步步高大一輪高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)110練第七章§7.3空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系§7.3空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系分值：90分一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.若直線上有兩個點在平面外，則()A.直線上至少有一個點在平面內(nèi)B.直線上有無窮多個點在平面內(nèi)C.直線上所有點都在平面外D.直線上至多有一個點在平面內(nèi)2.下列說法正確的是()A.空間中兩直線的位置關(guān)系有三種：平行、垂直和異面B.若空間中兩直線沒有公共點，則這兩直線異面C.和兩條異面直線都相交的兩直線是異面直線D.若兩直線分別是長方體的相鄰兩個面的對角線所在的直線，則這兩直線可能相交，也可能異面3.下列推理錯誤的是()A.A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?αB.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β=ABC.A∈l，l?α?A∈αD.若直線a?α，直線b?β，則a與b為異面直線4.在三棱錐A-BCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，若EF∩HG=P，則點P()A.一定在直線BD上B.一定在直線AC上C.可能在直線AC上，也可能在BD上D.不在直線AC上，也不在直線BD上5.已知平面α∩平面β=l，點A，C∈α，點B∈β，且B?l，又AC∩l=M，過A，B，C三點確定的平面為γ，則β∩γ是()A.直線CM B.直線BMC.直線AB D.直線BC6.安徽徽州古城與四川閬中古城、山西平遙古城、云南麗江古城被稱為中國四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底層部分可近似看作一個正方體ABCD-A1B1C1D1.已知該正方體中，點E，F(xiàn)分別是棱AA1，CC1的中點，過D1，E，F(xiàn)三點的平面與平面ABCD的交線為l，則直線l與直線AD1所成的角為()A.π3 B.π6 C.π4二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.給出以下四個命題，其中錯誤的是()A.不共面的四點中，其中任意三點不共線B.若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則點A，B，C，D，E共面C.若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面D.依次首尾相接的四條線段必共面8.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是棱PD，PA的中點，下列說法正確的有()A.多面體ABF-DCE是三棱柱B.直線BF與PC互為異面直線C.平面ADP與平面BCP的交線平行于EFD.四棱錐P-ABCD和四棱錐P-BCEF的體積之比為8∶3三、填空題(每小題5分，共10分)9.已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直線，P為空間中一點.若α∩β=l，m?α，n?β，m∩n=P，則點P與直線l的位置關(guān)系用符號表示為.10.如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的有對.四、解答題(共27分)11.(13分)如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，CC1的中點.(1)求異面直線A1E與D1F所成角的余弦值；(7分)(2)求三棱錐A1-D1EF的體積.(6分)12.(14分)如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，四邊形ABCD為菱形，E，F(xiàn)分別為AA1，CC1的中點，M為AB上一點.(1)若D1E與CM相交于點K，求證：D1E，CM，DA三條直線相交于同一點；(4分)(2)若AB=2，AA1=4，∠BAD=π3，求點D1到平面FBD的距離.13題5分，14題6分，共11分13.(2025·綿陽模擬)在平行四邊形ABCD中，AB⊥BD，BC=25，CD=2，沿對角線BD將△CBD折起，所得四面體ABCD外接球的表面積為24π，則異面直線AB與CD所成的角為()A.30° B.45° C.60° D.90°14.(多選)(2025·常州模擬)如圖，在正四面體ABCD中，已知AB=2，O為棱AB的中點.現(xiàn)將等腰Rt△EAB繞其斜邊AB旋轉(zhuǎn)一周(假設(shè)△EAB可以穿過正四面體內(nèi)部)，則在旋轉(zhuǎn)過程中，下列結(jié)論正確的是()A.△EAB繞斜邊AB旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體體積為πB.O，C，D，E四點共面C.點E到CD的最近距離為3-1D.異面直線CD與AE所成角的范圍為π答案精析1.D2.D3.D[由A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，根據(jù)基本事實2可得l?α，故A正確；由A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，根據(jù)基本事實3可得α∩β=AB，故B正確；由A∈l，l?α可得A∈α，故C正確；由于平面α和平面β位置不確定，則直線a與直線b位置亦不確定，可能異面、相交、平行、重合，故D錯誤.]4.B[因為EF∩HG=P，E，F(xiàn)，G，H四點分別是AB，BC，CD，DA上的點，所以EF在平面ABC內(nèi)，HG在平面ACD內(nèi)，所以P既在平面ABC內(nèi)，又在平面ACD內(nèi)，所以P在平面ABC和平面ACD的交線上，又平面ABC∩平面ACD=AC，所以P∈AC.]5.B[已知過A，B，C三點確定的平面為γ，則AC?γ.又AC∩l=M，則M∈γ，又平面α∩平面β=l，則l?α，l?β，又因為AC∩l=M，所以M∈β，因為B∈β，B∈γ，所以β∩γ=BM.]6.A[如圖所示，在平面AA1D1D中，連接D1E與DA的延長線交于點H，則HA=AD，在平面CC1D1D中，連接D1F與DC的延長線交于點G，則GC=CD，則GH為平面D1EF與平面ABCD的交線l，且GH∥AC，而在等邊△ACD1中AC與AD1所成的角為π故l與直線AD1所成的角為π3.7.BCD[反證法：如果四個點中，有3個點共線，第4個點不在這條直線上，根據(jù)基本事實2的推論可知，這四個點共面，這與已知矛盾，故A正確；如圖1，A，B，C，D共面，A，B，C，E共面，但A，B，C，D，E不共面，故B錯誤；如圖2，a，b共面，a，c共面，但b，c異面，故C錯誤；如圖3，a，b，c，d四條線段首尾相接，但a，b，c，d不共面，故D錯誤.]圖1圖2圖38.BCD[對于A，多面體ABF-DCE中，由直線AF∩DE=P，得平面ABF與平面DCE不平行，顯然多面體ABF-DCE中不存在平行的兩個面，則該多面體不是三棱柱，A錯誤；對于B，由E，F(xiàn)分別是棱PD，PA的中點，得EF∥AD∥BC，BF?平面BCEF，C∈平面BCEF，P?平面BCEF，C?BF，因此直線BF與PC互為異面直線，B正確；對于C，由AD∥BC，BC?平面PBC，AD?平面PBC，則AD∥平面PBC，令平面PBC∩平面PAD=l，而AD?平面PAD，則l∥AD∥EF，C正確；對于D，連接AC，CF，令四棱錐P-ABCD的體積為V，由E，F(xiàn)分別是棱PD，PA的中點，得V三棱錐P-BCF=V三棱錐B-PCF=12V三棱錐B-PCA=12V三棱錐P-ABC=14V，V三棱錐P-CEF=V三棱錐C-PEF=14V三棱錐C-PDA=14V三棱錐P-ADC=18V，因此四棱錐P-BCEF的體積V四棱錐P-BCEF=V三棱錐P-BCF+V三棱錐P-CEF=39.P∈l10.3解析畫出該正方體的直觀圖如圖所示，易知異面直線有(AB，GH)，(AB，CD)，(GH，EF).故共有3對.11.解(1)如圖，設(shè)BB1的中點為H，連接HF，EH，A1H，因為F是CC1的中點，所以A1D1∥CB∥HF，A1D1=CB=HF，因此四邊形A1D1FH是平行四邊形，所以D1F∥A1H，D1F=A1H，因此∠EA1H是異面直線A1E與D1F所成的角或其補(bǔ)角，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E是AB的中點，所以A1E=A1H=22+EH=12+由余弦定理可知，cos∠EA1H=A1E2+所以異面直線A1E與D1F所成角的余弦值為45(2)因為A1D1∥HF，HF?平面A1D1E，A1D1?平面A1D1E，所以HF∥平面A1D1E，因此點H，F(xiàn)到平面A1D1E的距離相等，即V三棱錐A1-D1V三棱錐D1-A1EH==13×2×22所以三棱錐A1-D1EF的體積為1.12.(1)證明∵D1E與CM相交于點K，∴K∈D1E，K∈CM，而D1E?平面ADD1A1，CM?平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD=AD，∴K∈AD，∴D1E，CM，DA三條直線相交于同一點K.(2)解∵四邊形ABCD為菱形，AB=2，∴BC=CD=2，而四棱柱的側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，∴CC1⊥底面ABCD，又∵F是CC1的中點，CC1=4，∴CF=2，∴BF=DF=22，又∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD=∴BD=AB=2，∴S△FBD=12×2×(22)連接D1F，D1B(圖略)，設(shè)點D1到平面FBD的距離為h，點B到平面DD1F的距離為d，則d=2sinπ3=又∵V三棱錐D∴13×S△FBD×h=13×∴13×7×h=13×1解得h=4217.即點D1到平面FBD的距離為13.D[取BC中點O1，AD中點O2，BD中點F，則O1為△BCD外心，O2為△ABD外心，O1F∥CD，O2F∥AB，因為AB=CD=2，則O1F=O2F=1，翻折后，過O1作直線垂直于平面BCD，過O2作直線垂直于平面ABD，兩直線的交點O即為四面體ABCD的外接球球心，設(shè)外接球的半徑為r，由題意可得4πr2=24π，可得r=6即OA=OC=6，且O1C=O2A=則由勾股定理可得OO1=OO2=1，由O1F=O2F=1得四邊形OO1FO2為菱形，由OO2⊥平面ABD，O2F?平面ABD，可得OO2⊥O2F，所以四邊形OO1FO2為正方形，∠O1FO2=90°，由O1F∥CD，O2F∥AB可得異面直線AB與CD所成的角為∠O1FO2=90°.]14.BD[對于A，因為AB=2，所以等腰Rt△EAB的直角邊為2，斜邊的高為1旋轉(zhuǎn)后的幾何體為兩個大小相等的圓錐組合體，其圓錐的底面半徑為1，高為1，所以形成的旋轉(zhuǎn)體的體積V=2×13×π×12×1=2π3，對于B，在正四面體ABCD中，各個側(cè)面都是等邊三角形，因為O為棱AB的中點，所以DO⊥AB，CO⊥AB，又DO∩CO=O，且DO，CO?平面DOC，所以AO⊥平面DOC，又AO⊥OE，OE與平面DOC有公共點O，所以O(shè)E在平面DOC內(nèi)，所以O(shè)，C，D，E四點共面，故B正確；對于C，設(shè)F為CD的中點，O為AB的中點，則點E在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，如圖，由圖可知當(dāng)F，O，E三點共線，且當(dāng)點E運動到E1的位置時，E到CD的距離最小，在Rt△BOF中，BO=1，BF=3，則OF=2，所以FE1=2-1，故對于D，由B，C分析可知，CD在圓錐的底面所在平面內(nèi)，由圓錐軸截面中，∠AEO=π由線面角的概念可知，AE與圓錐底面中的直線所成的最小角就是∠AEO，最大角一定為π2，由此可知異面直線CD與AE所成角的范圍為π4，π§7.4空間直線、平面的平行分值：90分一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.已知兩個不同的平面α，β和兩條不同的直線m，n，下面四個命題中，正確的是()A.若m∥n，n?α，則m∥αB.若m∥α，n∥α且m?β，n?β，則α∥βC.若m∥α，n?α，則m∥nD.若m⊥α，m⊥β，則α∥β2.如圖，已知P為四邊形ABCD外一點，E，F(xiàn)分別為BD，PD上的點，若EF∥平面PBC，則()A.EF∥PAB.EF∥PBC.EF∥PCD.以上均有可能3.(2025·貴陽模擬)設(shè)l為直線，α為平面，則l∥α的一個充要條件是()A.α內(nèi)存在一條直線與l平行B.l平行α內(nèi)無數(shù)條直線C.垂直于α的直線都垂直于lD.存在一個與α平行的平面經(jīng)過l4.已知P為△ABC所在平面外一點，平面α∥平面ABC，且α分別交線段PA，PB，PC于點A'，B'，C'，若PA'∶AA'=2∶3，則S△A'B'C'∶S△ABC等于()A.2∶3 B.2∶5C.4∶9 D.4∶255.(2024·衡水模擬)如圖，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，E為AD的中點，F(xiàn)為PC上一點，當(dāng)PA∥平面EBF時，PFFCA.23 B.14 C.136.(2025·廣州模擬)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AM=2MA1，BN=2NB1，過MN作一平面分別交底面△ABC的邊BC，AC于點E，F(xiàn)，則()A.MF∥EBB.A1B1∥NEC.四邊形MNEF為平行四邊形D.四邊形MNEF為梯形二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.下列說法不正確的有()A.若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行B.若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行C.若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行D.若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行8.已知三棱臺ABC-A'B'C'，上、下底面邊長之比為1∶2，棱AB，BC，AC的中點分別為點M，P，N，則下列結(jié)論錯誤的有()A.A'N∥PC'B.A'P與AC為異面直線C.AB∥平面A'C'PD.平面A'MN∥平面BCC'B'三、填空題(每小題5分，共10分)9.如圖，α∥β，△PAB所在的平面與α，β分別交于CD，AB，若PC=2，CA=3，CD=1，則AB=.10.如圖所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動，則M只需滿足條件，就有MN∥平面B1BDD1.(注：請?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況)

四、解答題(共28分)11.(13分)如圖，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，M，N分別是AB，PC的中點.(1)證明：MN∥平面PAD；(7分)(2)若平面PAD∩平面PBC=l，判斷BC與l的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(6分)12.(15分)如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，E為棱AA1的中點，AB=2，AA1=3.(1)求三棱錐A-BDE的體積；(6分)(2)在DD1上是否存在一點P，使得平面PA1C∥平面EBD.如果存在，請說明P點位置并證明；如果不存在，請說明理由.(9分)每小題5分，共10分13.如圖所示，過三棱臺上底面的一邊A1C1，作一個平行于棱BB1的截面，與下底面的交線為DE，若D，E分別是AB，BC的中點，則V幾何體A.37 B.12 C.2514.四棱錐P-ABCD的底面是正方形，如圖所示，點E是棱PD上一點，PE=35PD，若PF=λPC且滿足BF∥平面ACE，則λ=答案精析1.D2.B3.D4.D[∵平面α∥平面ABC，∴A'C'∥AC，A'B'∥AB，B'C'∥BC，∴S△A'B'C'∶S△ABC=(PA'∶PA)2，又PA'∶AA'=2∶3，∴PA'∶PA=2∶5，∴S△A'B'C'∶S△ABC=4∶25.]5.D[連接AC交BE于點G，連接FG，因為PA∥平面EBF，PA?平面PAC，平面PAC∩平面EBF=FG，所以PA∥FG，所以PFFC=AG又AD∥BC，E為AD的中點，所以AGGC=AEBC=12，所以PF6.D[由于B，E，F(xiàn)三點共面，F(xiàn)∈平面BEF，M?平面BEF，EB不過點F，故MF，EB為異面直線，故A錯誤；由于B1，N，E三點共面，B1∈平面B1NE，A1?平面B1NE，NE不過點B1，故A1B1，NE為異面直線，故B錯誤；∵在平行四邊形AA1B1B中，AM=2MA1，BN=2NB1，∴AM∥BN，AM=BN，故四邊形AMNB為平行四邊形，∴MN∥AB.又MN?平面ABC，AB?平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN?平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC=EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，顯然在△ABC中，EF≠AB，∴EF≠MN，∴四邊形MNEF為梯形，故C錯誤，D正確.]7.ABD[若兩條直線和同一平面所成的角相等，這兩條直線可能平行，也可能異面，也可能相交，故A錯誤；若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等，這兩個平面可能平行，也可能相交，故B錯誤；由線面平行的性質(zhì)定理可知C正確；若兩個平面垂直同一個平面，則兩平面可以平行，也可以垂直，故D錯誤.]8.AC[對于A，因為A'N?平面A'C'CA，C'∈平面A'C'CA，P?平面A'C'CA，且C'?A'N，所以A'N，PC'是異面直線，故A錯誤；對于B，因為AC?平面A'C'CA，A'∈平面A'C'CA，P?平面A'C'CA，且A'?AC，所以A'P與AC為異面直線，故B正確；對于C，因為棱AB，BC的中點分別為點M，P，所以AC∥MP，因為AC∥A'C'，所以MP∥A'C'，可得AB∩平面A'C'PM=M，故C錯誤；對于D，因為AB，AC的中點分別為點M，N，所以MN∥BC，因為MN?平面BCC'B'，BC?平面BCC'B'，所以MN∥平面BCC'B'，因為AC∥A'C'，A'C'=12AC=NC，所以四邊形A'C'CN為平行四邊形，可得A'N∥C'C，因為A'N?平面BCC'B'，C'C?平面BCC'B'，所以A'N∥平面BCC'B'，因為MN∩A'N=N，MN，A'N?平面A'MN，所以平面A'MN∥平面BCC'B'，故D正確.9.510.點M與點H重合(點M在線段FH上即可)解析連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N(圖略)，則FH∥DD1，HN∥BD，F(xiàn)H∩HN=H，F(xiàn)H，HN?平面FHN，DD1，BD?平面B1BDD1，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，則MN?平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.11.(1)證明取CD中點Q，連接MQ，NQ.因為M，N，Q分別為AB，PC，CD的中點，故MQ∥AD，NQ∥PD，又MQ?平面PAD，AD?平面PAD，故MQ∥平面PAD，同理NQ∥平面PAD.又MQ，NQ?平面MNQ，MQ∩NQ=Q，故平面MNQ∥平面PAD，又MN?平面MNQ，故MN∥平面PAD.(2)解BC∥l，證明如下.因為四邊形ABCD為平行四邊形，故AD∥BC，又BC?平面PAD，AD?平面PAD，故BC∥平面PAD.又平面PAD∩平面PBC=l，B