2025年四川輕化工大學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題VIP

四川輕化工大學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題一、選擇題1.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值為M，最小值為m，則M-m的值為（）[單選題]*A.4B.16C.20D.24答案：A。原因：首先對f(x)求導(dǎo)得f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0，解得x=0或x=2。計(jì)算f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，所以M=2，m=-2，M-m=4。2.若向量a=(1,2)，b=(2,-1)，則(a+b)·(a-b)的值為（）[單選題]*A.-8B.-6C.0D.6答案：B。原因：先求a+b=(3,1)，a-b=(-1,3)，然后計(jì)算它們的數(shù)量積為3×(-1)+1×3=-6。3.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a3+a7=10，則S9等于（）[單選題]*A.45B.50C.55D.60答案：A。原因：根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)a1+a9=a3+a7=10，而S9=(a1+a9)×9÷2=10×9÷2=45。4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x-1)2+(y-2)2=4，則圓C的圓心到直線x+y-1=0的距離為（）[單選題]*A.2B.√2C.1D.2√2答案：B。原因：圓的圓心坐標(biāo)為(1,2)，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式d=|1+2-1|÷√(12+12)=√2。5.若sinα=3/5，α∈(π/2,π)，則tan(α+π/4)的值為（）[單選題]*A.1/7B.-1/7C.7D.-7答案：A。原因：由sinα=3/5，α∈(π/2,π)可得cosα=-4/5，tanα=-3/4，再根據(jù)正切公式tan(α+π/4)=(tanα+1)÷(1-tanα)=1/7。6.從5名男生和3名女生中任選3人參加志愿者活動，則所選3人中至少有1名女生的選法共有（）種。（）[單選題]*A.46B.56C.64D.70答案：A。原因：從8人中選3人的總選法有C(8,3)=56種，沒有女生即全是男生的選法有C(5,3)=10種，所以至少有1名女生的選法有56-10=46種。7.若雙曲線x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=2x，則離心率e的值為（）[單選題]*A.√5B.√3C.2D.√6答案：A。原因：雙曲線漸近線方程為y=±b/ax，已知一條漸近線為y=2x，所以b/a=2，離心率e=√(1+(b/a)2)=√5。8.若函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，當(dāng)x≤1時(shí)，f(x)=x2+1，則當(dāng)x>1時(shí)，f(x)的表達(dá)式為（）[單選題]*A.f(x)=(x-2)2+1B.f(x)=(x-1)2+1C.f(x)=(x+1)2+1D.f(x)=(x+2)2+1答案：A。原因：因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于x=1對稱，設(shè)x>1，則2-x<1，f(x)=f(2-x)=(2-x)2+1=(x-2)2+1。9.設(shè)復(fù)數(shù)z=1+i，則z2-2z/z-1的值為（）[單選題]*A.2iB.-2iC.2D.-2答案：A。原因：將z=1+i代入式子，z2=(1+i)2=2i，2z=2(1+i)，化簡式子可得2i。10.若函數(shù)f(x)=ln(x2-ax+1)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）（）[單選題]*A.(-2,2)B.(-∞,-2]∪[2,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.[-2,2]答案：B。原因：函數(shù)值域?yàn)镽，則x2-ax+1能取到所有大于0的值，所以判別式Δ=a2-4≥0，解得a的范圍是(-∞,-2]∪[2,+∞)。11.在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=BC=2√2，則三棱錐P-ABC的外接球半徑為（）（）[單選題]*A.√6/2B.√3C.2√6/3D.√6答案：A。原因：該三棱錐為正三棱錐，設(shè)其外接球半徑為R，底面三角形外接圓半徑r=2√6/3，根據(jù)勾股定理R2=(2√6/3-R)2+(2√3/3)2，解得R=√6/2。12.若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(1,4)，則P(X<3)的值為（）（已知Φ(1)=0.8413）（）[單選題]*A.0.8