福建省福州市2024學(xué)年高一下冊期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷附解析VIP

/福建省福州市2024學(xué)年高一下冊期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．2．已知，，為三個不同的平面，，為兩條不同的直線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則3．若數(shù)據(jù),,…,的平均數(shù)是4，方差是4，數(shù)據(jù),,…,的平均數(shù)是，標(biāo)準(zhǔn)差是，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，4．已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，，下面使得有兩組解的的值可以為（

）A．3 B． C．2 D．5．某人射擊5槍，命中3槍，3槍中恰有2槍連中的概率為（

）A． B． C． D．6．已知軸截面為正方形的圓柱，為下底面直徑，是弧的中點，則與所成的角為（

）A． B． C． D．7．我國許多地方都有風(fēng)格迥異的古塔.現(xiàn)在在某塔底共線三點，，處分別測得塔頂點的仰角為，，，且，設(shè)該塔高為，示意圖如圖.則該塔高（

）m.A．60 B．30 C． D．8．已知非零向量，，在同一平面，其中是單位向量.與的夾角為，，則的最小值是（

）A．2 B．1 C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．為純虛數(shù) B．C． D．10．連擲一枚均勻骰子兩次，所得向上的點數(shù)分別為a，b，記，下列說法錯誤的是（

）A．事件“”的概率為 B．事件“m是奇數(shù)”與“”為互斥事件C．事件“”的概率為 D．事件“m為偶數(shù)”與“”互為獨立事件11．已知四面體的各個面均為全等的等腰三角形，且.設(shè)E為空間內(nèi)任一點，且A，B，C，D，E五點在同一個球面上，則（

）A．四面體的表面積為B．四面體的體積為C．當(dāng)時，點E的軌跡長度為D．當(dāng)三棱錐的體積為時，點的軌跡長度為三、填空題（本大題共3小題）12．已知平面向量，，，若，則.13．已知是關(guān)于的方程（其中p、q為實數(shù)）的一個根，則的值為.14．已知，，，是表面積為的球體表面上四點，若，，，且三棱錐的體積為，則線段長度的最大值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，其中是實數(shù).(1)若是實數(shù)，求的值；(2)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，求的取值范圍.16．為了調(diào)查疫情期間數(shù)學(xué)網(wǎng)課學(xué)習(xí)情況，某校組織了高一年級學(xué)生進行了數(shù)學(xué)測試.根據(jù)測試成績（總分100分），將所得數(shù)據(jù)按照，，，，，分成6組，其頻率分布直方圖如圖所示.(1)求圖中的值；為了更全面地了解疫情對網(wǎng)課的影響，求該樣本的60百分位數(shù)；(2)試估計本次數(shù)學(xué)測試成績的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）.17．目前低碳的生活理念流行，越來越多的年輕人加入自行車騎游行列.某自行車租車點的收費標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租車時間不超過小時免費，超過小時的部分每小時收費元（不足一小時的部分按一小時計算）.有甲、乙兩人分別來該租車點租車騎游（各租一車一次），設(shè)甲、乙不超過小時還車的概率分別為，；1小時以上且不超過2小時還車的概率分別為，；兩人租車時間互不影響且都不會超過3小時.(1)求甲、乙兩人租車時間超過2小時，且不超過3小時的概率；(2)求甲、乙兩人所付的租車費用相同的概率；(3)求甲、乙兩人所付的租車費用之和為4元的概率.18．在中，角，所對的邊分別為，.(1)求；(2)若的面積為，內(nèi)角的角平分線交邊于，，求的長；(3)若，邊上的中線，設(shè)點為的外接圓圓心，求的值.19．如圖，在四棱臺中，平面，底面為平行四邊形，，且分別為線段的中點.(1)證明：；(2)證明：平面平面；(3)若，當(dāng)與平面所成的角最大時，求四棱臺的體積.

答案1．【正確答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算可得，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念分析判斷.【詳解】因為，則，所以.故選A.2．【正確答案】D【分析】由空間中的線面位置關(guān)系，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】對于A：若，，則可能平行，可能相交，可能異面，故A錯誤；對于B：若，，則，故B錯誤；對于C：若，，則可能平行，可能相交，故C錯誤；對于D：若，，由線面垂直的性質(zhì)定理可得，故D正確.故選D.3．【正確答案】D【分析】由數(shù)據(jù),,…,的平均數(shù)是4，方差是4，數(shù)據(jù),,…,的平均數(shù)是，方差，代入計算可得平均數(shù)，方差的值，開方求出標(biāo)準(zhǔn)差，可得答案.【詳解】因為數(shù)據(jù),,…,的平均數(shù)是4，方差是4，即，，數(shù)據(jù),,…,的平均數(shù)，數(shù)據(jù),,…,的方差，所以標(biāo)準(zhǔn)差是.故選D.4．【正確答案】B【分析】由正弦定理可得，由，且，即可得到答案.【詳解】由題意，根據(jù)正弦定理有，所以，要使有兩組解，則，且，即，即，即，所以選項所給四個數(shù)據(jù)中只有符合.故選B.5．【正確答案】B【分析】根據(jù)列舉法寫出基本事件，利用古典概型的計算公式即可求解.【詳解】由題意可知，射擊5槍，命中3槍，總的方法包含，共10種，其中3槍中恰有2槍連中的情況有,,,,,，共6種，所以3槍中恰有2槍連中的概率為.故選B.6．【正確答案】C【分析】作出輔助線，找到或其補角為與所成的角，并求出各邊長，得到⊥，又，故，故.【詳解】連接，過點作交底面圓于點，連接，因為為底面圓的直徑，所以，所以，所以四邊形為矩形，因為是弧的中點，所以，所以四邊形為正方形，因為，所以或其補角為與所成的角，設(shè)，則，易知，故由勾股定理得，，則，故，又，則，故，與所成的角為.故選C.7．【正確答案】A【分析】設(shè)，利用直角三角形的特殊角可表示長度，再根據(jù)余弦定理解計算即可.【詳解】如圖，設(shè)，在中，，所以，同理可得，，在中，由余弦定理得，同理可得，因為，所以，所以，即，解得，所以塔高.故選A.8．【正確答案】D【分析】先確定向量所表示的點的軌跡，一個為直線，一個為圓，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求最小值.【詳解】以向量的起點為原點，以為軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，則由與的夾角為得，得，，由得，所以點在直線上，點在圓上，又，所以等于點到點的距離，圓的圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離，因此的最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，即為.故選D.【方法總結(jié)】以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、曲線方程等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的坐標(biāo)運算，將問題轉(zhuǎn)化為解方程、解不等式、求函數(shù)值域或直線與曲線的位置關(guān)系，是解決這類問題的一般方法.9．【正確答案】BC【分析】設(shè)，由，得到，再逐項判斷.【詳解】設(shè)，由，得，解得，對于A：，當(dāng)時，不為純虛數(shù)，故A錯誤；對于B：因為，，所以，故B正確；對于C：由，得，則，故C正確；對于D：因為，如，兩者不等，所以，故D錯誤.故選BC.10．【正確答案】ACD【分析】對于AC，求出對應(yīng)的概率判斷；對于B，根據(jù)互斥的概率判斷；對于D，計算與是否相等來判斷.【詳解】連擲一枚均勻骰子兩次，共有種情況，事件“”只有一種情況，故概率為，故A錯誤；事件“”只有一種情況，故概率為，故C錯誤；事件“m是奇數(shù)”與“”不能同時發(fā)生，故他們?yōu)榛コ馐录?，故B正確；事件“m為偶數(shù)”，則同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，設(shè)“m為偶數(shù)”為事件，“”為事件，事件中基本事件有，共種，事件中基本事件有，共種，事件與同時發(fā)生的基本事件有共種，所以，所以，即事件“m為偶數(shù)”與“”不相互獨立，故D錯誤.故選ACD.11．【正確答案】AC【分析】根據(jù)題意，求得的值，結(jié)合四面體的各個面均為全等的等腰三角形，可判定A正確；根據(jù)錐體的體積公式，求得四面體的體積，可得判定B錯誤；根據(jù)題意，確定軌跡的形狀，結(jié)合圓的周長公式，求得軌跡的長度或范圍，可判定C正確，D錯誤.【詳解】對于A：因為四面體的各個面均為全等的等腰三角形，且，設(shè)為的中點，連接，則，所以，則四面體的表面積為，故A正確；對于B：將四面體放入長方體中，如圖所示，設(shè)長方體的相鄰的三條棱長分別為，則，解得，由，所以異面直線和的距離為，因為為的中點，在等腰和中，可得，又因為且平面，所以平面，所以四面體的體積為，故B錯誤；對于C：由四面體的外接球和補成的長方體的外接球為同一個球，設(shè)四面體的外接球的半徑為，可得，所以，由，可得點的軌跡為一個圓，設(shè)軌跡圓的半徑為，因為，所以的軌跡圓不在點與球心之間，而在球心遠離點的一側(cè)，則，解得，所以軌跡的長度為，故C正確；對于D：由題意得，所以，所以的外接圓的半徑為，所以球心到所在平面的距離為，設(shè)三棱錐的高為，由三棱錐的體積為時，可得，解得，又由，所以點的軌跡為外接球上平行于平面且到平面的距離為的兩個截面圓，其中一個圓為外接球的大圓，其軌跡長度為，因為點的軌跡為外接球上平行于平面兩個截面圓，所以軌跡的長度大于，故D錯誤.故選AC.【方法總結(jié)】對于立體幾何體中截面的軌跡問題的求解策略：1、立體幾何中的動態(tài)問題主要包括：空間動點軌跡的判斷，求解軌跡的長度及動角的范圍等問題；2、解答方法：一般是根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標(biāo)運算求出動點的軌跡方程；3、對于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后再該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；4、對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若有解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在.12．【正確答案】4【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運算求解.【詳解】因為平面向量，，所以，又因為，且，所以，解得.13．【正確答案】【分析】思路一：把代入方程中，再利用復(fù)數(shù)相等求出、，即可得解.思路二：依題意根據(jù)虛根成對原理可得也是關(guān)于的方程的一個根，利用韋達定理求出、，即可得解.【詳解】方法一：由已知可得，即，所以，解得，所以.方法二：因為是關(guān)于的方程（其中p、q為實數(shù)）的一個根，所以也是該方程的一個根，由韋達定理得，解得，所以.故答案為.【思路導(dǎo)引】將方程的根帶入到方程中，方程仍然成立，即可計算出的值；根據(jù)虛根成對的原理得到方程的另一個根，結(jié)合韋達定理計算出結(jié)果.14．【正確答案】【分析】根據(jù)題意分別作出圖形，根據(jù)題中幾何關(guān)系分別求出外接圓的半徑為及面積，設(shè)出點到平面的距離，從而求出點所在截面圓的半徑，從而再利用幾何知識可求解.【詳解】由球的表面積為，可得球的半徑.，，，，，，則外接圓的半徑為.設(shè)到平面的距離為，則，解得，則點與平面在球心的異側(cè).設(shè)球心到平面的距離為，則，設(shè)在球的截面圓所在的平面為，故球心到平面的距離為2，則截面圓的半徑為.設(shè)在平面上的投影為，當(dāng)最長時最長，則，故長度的最大值為..

【方法總結(jié)】解決與球相關(guān)的切、接問題，其通用方法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，則球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，則球心到接點的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.15．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由復(fù)數(shù)的除法和乘法運算結(jié)合復(fù)數(shù)的意義計算即可；（2）由共軛復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的運算結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義計算即可.【詳解】（1），因為是實數(shù)，則，所以；（2），因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，則，故a的取值范圍為.16．【正確答案】(1)，60百分位數(shù)為(2)【分析】（1）由頻率分布直方圖區(qū)間頻率和為求參數(shù)；設(shè)該樣本的60百分位數(shù)為，由題意可得，即可求得該樣本的60百分位數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖求數(shù)學(xué)測試成績的平均分即可.【詳解】（1）由，解得；設(shè)該樣本的60百分位數(shù)為，因為，，，，對應(yīng)的頻率分別為，所以60百分位數(shù)在這組數(shù)據(jù)內(nèi)，由題意可得，解得，所以該樣本的60百分位數(shù)為；（2）數(shù)學(xué)測試成績的平均值為分.17．【正確答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)互斥事件的概率公式和對立事件概率公式計算可得；（2）根據(jù)相互獨立事件及互斥事件的概率公式計算可得；（3）甲、乙兩人所付的租車費用之和為元可能的情況是甲、乙的租車費用分別為：①元、元，②元、元，③元、元，再根據(jù)相互獨立事件及互斥事件的概率公式計算可得.【詳解】（1）甲租車時間超過2小時，且不超過3小時的概率為，乙租車時間超過2小時，且不超過3小時的概率為；（2）甲、乙兩人所付的租車費用相同可分為租車費用都為元、元、元三種情況，甲、乙兩人租車費用都為元的概率為，甲、乙兩人租車費用都為元的概率為，甲、乙兩人租車費用都為元的概率為，所以甲、乙兩人所付的租車費用相同的概率為；（3）甲、乙兩人所付的租車費用之和為元可能的情況是甲、乙的租車費用分別為：①元、元，②元、元，③元、元，所以甲、乙兩人所付的租車費用之和為元的概率為.18．【正確答案】(1)(2)2(3)【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再求出，即可得解；（2）根據(jù)，再結(jié)合基本不等式即可得解；（3）由題意，兩邊平方，結(jié)合余弦定理可求出，再根據(jù)數(shù)量積與幾何意義即可得解.【詳解】（1）在中，由及正弦定理，得，而，則，由，因此，則，由，得，解得，又，所以；（2）由，得，而，則，又，因為內(nèi)角的角平分線交邊于，所以，所以，所以；（3）在中，由余弦定理，得，由邊上的中線，又因為，兩邊平方得，則，即，解得，令邊的中點分別為，由點為的外接圓圓心，得，，，，所以.【方法總結(jié)】在解三