福建省福州市2025屆高三下冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)試卷附解析VIP

/福建省福州市2025屆高三下冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．在二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（

）A．180 B．270 C．360 D．5403．若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．已知平面向量，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)解的一個(gè)必要不充分條件的是（

）A． B． C． D．6．函數(shù)被稱為“對(duì)勾函數(shù)”，它可以由雙曲線旋轉(zhuǎn)得到，已知直線和直線是函數(shù)的漸近線，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．7．曲線與交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．68．圖①是底面邊長(zhǎng)為2的正四棱柱，直線經(jīng)過其上，下底面中心，將其上底面繞直線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得圖②，若為正三角形，則圖②所示幾何體外接球的表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知，則下列不等式正確的是（）A． B． C． D．10．若函數(shù)，則（

）A．的極大值點(diǎn)為2B．有且僅有2個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是的對(duì)稱中心D．11．?dāng)?shù)學(xué)家笛卡爾研究了很多曲線，傳說笛卡爾給公主克里斯蒂娜寄的最后一封信上只有一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式：，克里斯蒂娜用極坐標(biāo)知識(shí)畫出了該曲線圖象“心形線”，明白了笛卡爾的心意.已知利用關(guān)系式和可將信中表達(dá)式轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的曲線方程.如圖，該曲線圖象過點(diǎn)，則（

）A．B．曲線經(jīng)過點(diǎn)C．當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，D．當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，三、填空題（本大題共3小題）12．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則公差．13．某市統(tǒng)計(jì)高中生身體素質(zhì)狀況，規(guī)定身體素質(zhì)指標(biāo)值在內(nèi)就認(rèn)為身體素質(zhì)合格，在[60，84]內(nèi)就認(rèn)為身體素質(zhì)良好，在內(nèi)就認(rèn)為身體素質(zhì)優(yōu)秀，現(xiàn)從全市隨機(jī)抽取100名高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值，經(jīng)計(jì)算．若該市高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值服從正態(tài)分布，則估計(jì)該市高中生身體素質(zhì)良好的概率為．（用百分?jǐn)?shù)作答，精確到）參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，．14．已知橢圓，過軸正半軸上一定點(diǎn)作直線，交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，有（為常數(shù)），則定點(diǎn)的坐標(biāo)為，.四、解答題（本大題共5小題）15．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且(1)求角A；(2)若為邊上一點(diǎn)，為的平分線，且，求的面積16．如圖，在正三棱柱中，.(1)證明：平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.17．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)和，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的最大值；18．已知平面內(nèi)一動(dòng)圓過點(diǎn)，且該圓被軸截得的弦長(zhǎng)為4，設(shè)其圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)梯形的四個(gè)頂點(diǎn)均在曲線上，，對(duì)角線與交于點(diǎn).求直線的斜率；19．閱讀以下材料：①設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若在區(qū)間D單調(diào)遞增；則稱為區(qū)上的凹函數(shù)；若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù).②平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)稱為函數(shù)的“切點(diǎn)”，當(dāng)且僅當(dāng)過點(diǎn)恰好能作曲線的條切線，其中.(1)已知函數(shù).（i）當(dāng)時(shí)，討論的凹凸性；（ii）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在軸右側(cè)且為的“3切點(diǎn)”，求點(diǎn)的集合；(2)已知函數(shù)，點(diǎn)在軸左側(cè)且為的“3切點(diǎn)”，寫出點(diǎn)的集合（不需要寫出求解過程）.

答案1．【正確答案】C【分析】分別求出兩個(gè)集合后根據(jù)交集定義求解.【詳解】，，即．故選C.2．【正確答案】A【詳解】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，所以常數(shù)項(xiàng)為.故選A.3．【正確答案】D【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得到方程組，即可求出、，最后根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】設(shè)，則，所以，又，所以，解得，所以，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選D.4．【正確答案】A【詳解】，所以向量在向量上的投影向量為.故選A.5．【正確答案】A【詳解】關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)解，則，解得，結(jié)合選項(xiàng)可知的一個(gè)必要不充分條件的是.故選A.6．【正確答案】B【詳解】因?yàn)橹本€和直線的夾角為，由題意可得雙曲線夾角為，而雙曲線的漸近線方程為，所以，則，解得（負(fù)值舍去），所以雙曲線的漸近線方程為.故選B.7．【正確答案】A【詳解】作出曲線與大致圖象，可知，而，由曲線與圖象知，曲線與有個(gè)交點(diǎn).故選A.8．【正確答案】A【詳解】如圖，設(shè)正四棱柱的上下底面中心分別為點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，依題意，易得直角梯形,因?yàn)檫呴L(zhǎng)為2的正三角形,則，且,又，則.設(shè)該幾何體外接球球心為點(diǎn),半徑為,則點(diǎn)為的中點(diǎn)，則,在中，,于是該幾何體外接球的表面積為.故選A.9．【正確答案】ABC【詳解】因?yàn)椋苫静坏仁娇傻?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，A正確；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，D錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，，故，，所以，C正確..故選ABC.10．【正確答案】BCD【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，由，得或；由，得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，作出其圖象.由圖知，函數(shù)在處取得極大值，只有一個(gè)極大值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；函數(shù)在處取得極小值，且當(dāng)時(shí)，，則有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，故B正確；因，則點(diǎn)是圖象的對(duì)稱中心，故C正確；因，故D正確.故選BCD.11．【正確答案】ABD【詳解】因?yàn)?，所以，利用關(guān)系式得，…（*）A選項(xiàng)：因?yàn)榍€圖象過點(diǎn)，所以此時(shí)，代入（*）得，所以，故A正確；B選項(xiàng)：因?yàn)?，所以?）化為，所以直角坐標(biāo)系下的曲線方程為，代入點(diǎn)滿足，故B正確；C選項(xiàng)：，設(shè)，則，令，得或，時(shí)，，所以，時(shí)，，則有極值，由對(duì)稱性，所以，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：方法1：由兩邊平方整理得:，令，則（*），由判別式，得.令，由于方程（*）在有解，（1）當(dāng)對(duì)稱軸，即或時(shí)，由得，所以；（2）當(dāng)對(duì)稱軸，即時(shí)，由，得，所以，綜上，.故D正確.方法2：，所以.故D正確.故選ABD.12．【正確答案】1【詳解】∵，∴，∴，∴，∴.13．【正確答案】【詳解】因?yàn)?00個(gè)數(shù)據(jù)的平均值，方差所以的估計(jì)值為的估計(jì)值為.設(shè)該市高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值為，由，得.14．【正確答案】6【詳解】設(shè)點(diǎn)，，當(dāng)直線的斜率不為時(shí)，設(shè)其方程為，代入橢圓方程并整理可得，，所以，因?yàn)楫?dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，有（為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，解得，所以，代入，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)也成立，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.故；6.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，且，即，整理可得，且，則，可得，又因?yàn)?，則，可得，所以.（2）因?yàn)闉榈钠椒志€，則，因?yàn)?，則，即，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），所以的面積.16．【正確答案】(1)證明見詳解；(2).【詳解】（1）記的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，為正三棱柱，所以平面，又平面，所以，因?yàn)闉檎切?，所以，以為原點(diǎn)，分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，因?yàn)?，所以，又平面，所以平?（2）因?yàn)?，所以，所以，由?）知，是平面的一個(gè)法向量，記直線與平面所成角為，則，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.17．【正確答案】(1)(2)5【詳解】（1）由，得，所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以，所以.又，所以，設(shè)的公差為，即解得所以的通項(xiàng)公式是（2）由（1）知，所以令，得，設(shè)，則數(shù)列是遞增數(shù)列.又，所以的最大值為5.18．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)圓心為，由題意可得：，整理可得，所以曲線的方程為.（2）由題意可知：直線的斜率不為0，設(shè)，聯(lián)立方程，消去可得，則，可得，可知直線，聯(lián)立方程，消去可得，由題意可知：，即，且，可得，同理可得.則因?yàn)椋瑒t，即，整理可得，由題意可知：點(diǎn)不在直線上，則，即，可得，即，所以直線的斜率；19．【正確答案】(1)（i）答案見解析；（ii）或(2)點(diǎn)的集合為或或【詳解】（1）因?yàn)?，所以，令，所?（i）當(dāng)時(shí)，，令，解得；令，解得；故為區(qū)間上的凹函數(shù)，為區(qū)間上的凸函數(shù)；當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得或，故為區(qū)間上的凹函數(shù)，為區(qū)間和上的凸函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，故為區(qū)間上的凸函數(shù)；.當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得或，故為區(qū)間上的凹函數(shù)，為區(qū)間和上的凸函數(shù)；綜上所述，當(dāng)時(shí)，為區(qū)間上的凹函數(shù)，為區(qū)間和上的凸函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為區(qū)間上的凸函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為區(qū)間上的凹函數(shù)，為區(qū)間和上的凸函數(shù)；