期中復(fù)習(xí)（壓軸題50題特訓(xùn)）-蘇科版八年級《數(shù)學(xué)》上冊重難點專題提優(yōu)訓(xùn)練（解析版）VIP

期中復(fù)習(xí)壓軸題精選50題特訓(xùn)

一.選擇題（共14小題）

1.如圖，AELA8且AE=AB,BC_LCD且BC=CD,請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù),

計算圖中實線所圍成的圖形的面積S是（）

【答案】A

【解答】解：'：AEA.ABKAE=ABfEFA,FH,BG上FH,

；?NEAB=NEFA=/BGA=90°,

NEAF+NBAG=90°,ZABG+ZBAG=90c,

AZEAF=/ABG,

在△￡心和△AG8中，

VZEM=ZAGB,ZEAF=ZABGfAE=AB.

：./^EFA^/\AGB(A4S),

：.AF=BG,AG=EF.

同理證得△BGC絲AC”。得GC=D”，CH=BG.

故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=i6

故5=2(6+4)X16-3X4-6X3=50.

2

2.如圖是由4個相同的小正方形組成的網(wǎng)格圖，其中N1+N2等于（）

第1頁共63頁

A.150°B.180°C.210°D.225°

【答案】B

【解答】解：在△ABC與中，

rAB=ED

<ND=NB'

BC=CD

A/XABC^^EDC（SAS）,

：.ZBAC=Z\,

Zl+Z2=180°.

故選：B.

3.如圖，A。是△ABC的角平分線，DFLAB,垂足為F,DE=DG,Z\AOG和

△4￡O的面積分別為50和39,則尸的面積為（）

【答案】B

【解答】解：作交AC于M,作ONJ_AC于點M

?；DE=DG,

:.DM=DG,

???AZ）是△ABC的角平分線，DFLAB,

:?DF=DN,

在RtADEF和RtADM/V中，

[DN=DF,

〔DM二DE,

第2頁共63頁

:?Rt/\DEFmRt/\DMN(HL),

AADG和△AEQ的面積分別為50和39,

:?S.MDG=S.ADG~S^ADM=50-39=11,

S^DNM—S&EDF=工：MOG=—

22

4.如圖，點E在正方形A4CQ的對角線AC上，且EC=2A￡直角三角形FEG

的兩直角邊氏產(chǎn)、EG分別交AC、QC于點股、M若正方形ARC力的邊長為

。，則重疊部分四邊形EMCN的面積為（）

A."B.hrC.為之D.與之

3499

【答案】D

【解答】解：過E作EP_LBC于點P,EQLCD于點Q,

：.ZBCD=90°,

第3頁共63頁

D.4個

【答案】D

【解答】解：:△AB。、△BCE為等邊三角形，

:.AB=DB,ZABD=ZCBE=60°,BE=BC

：.ZABE=ZDBC,NPBQ=60°,

rAB=DB

在△/WE和△O3C中，＜NABE=NDBC，

BE=BC

??.△ABE絲△OBC(SAS),

???①正確；

丁/XABE^/XDBC,

：.ZBAE=ZBDC,

VZBDC+ZBCD=180°-60°-60°=60°,

；?NDMA=NBAE+NBCD=NBDC+NBCD=60°,

???②正確；

在△A8P和△O3Q中，

rZBAP=ZBDQ

AB=DB，

IZABP=ZDBQ

:?叢ABP9叢DBQ(ASA),

:?BP=BQ,

為等邊三角形，

???③正確；

9：ZDMA=60°,

AZAMC=\20°,

AZAMC+ZPBQ=\S0°,

:?P、B、Q、M四點共圓，

第5頁共63頁

?：BP=BQ,

，/BMP=NBM。，

即MB平分NAMC；

，④正確；

綜，所述：正確的結(jié)論有4個；

故選：D.

6.如圖，在△ABC中，AQ=PQ,PR=PS,PRLAB于R,PS_LAC于S,則三

個結(jié)論①AS=AR；②QP〃AR；③△BPR也ZXQS尸中()

A.全部正確B.僅①和②正確C.僅①正確D.僅①和③正確

【答案】B

【解答】解：■:PR=PS,PR上AB于R,PS_L4C于S,AP=AP

:.4ARP匕叢ASP(HL)

：.AS=AR,ZRAP=ZSAP

?：AQ=PQ

：.ZQPA=ZSAP

：.ZRAP=ZQPA

：.QP//AR

而在△6PR和△QSP中，只滿足N6R〃=NQS尸=90°和PR=PS,找不到第

3個條件，所以無法得出△3PRgZ\QSP

故本題僅①和②正確.

故選：B.

7.如圖所示，把一張長方形紙片對折，折痕為48,再以A8的中點。為頂點,

把平角NA08三等分，沿平角的三等分線折疊，將折疊后的圖形剪出一個以

第6頁共63頁

0為頂點的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展開鋪平后得到的平面

圖形一定是（）

【答案】A

【解答】解：,??平角NA08三等分,

???NO=6()°,

V90°-60°=30°,

???剪出的直角三角形沿折痕展開一次得到底角是30°的等腰三角形，

再沿另一折痕展開得到有一個角是30°的直角三角形，

最后沿折痕AB展開得到等邊三角形，

即正三角形.

故選：A.

8.如圖，已知：NMON=30°，點4、4、A3…在射線ON上，點3、&、By-

在射線OM上，△4552、△42&A3、…均為等邊三角形，若OAi=

A.6B.12C.32D.64

【答案】C

【解答】解：..,△Ai31A2是等邊三角形，

???48I=A28I,N3=N4=N12=60°,

：.Z2=120°,

???NMON=30°,

AZI=180°-120°-30°=30°,

又?.?N3=6()°,

第7頁共63頁

.?.N5=180°-60°-30°=90°,

???NMON=N1=30°,

：.OA\=A\B\={>

?"281=1,

???△A2B/3、△4^4是等邊三角形，

.*.Zll=Z10=60°,N13=60°,

VZ4=Z12=60°，

???4B〃A2&〃A3&,8IA2〃82A3,

???Nl=N6=/7=30°,N5=N8=90°,

.*.A2B2=2B\A2I83X3=282713,

/.A3B3=4BIA2=4,

人血=8。14=8,

455=16314=16,

以此類推：4A=32SA2=32.

9.圖①是一塊邊長為1,周長記為P的正三角形紙板，沿圖①的底邊剪去一塊

邊長為1的正三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的

2

正三角形紙板（即其邊長為前一塊被剪掉如圖正三角形紙板邊長的工）后，

2

得圖③,④，…，記第〃（〃23）塊紙板的周長為P〃，則Pn-P〃.I的值為（）

1n-1[n1n-11n

A.(—)B.(—)C.(y)D.(y)

【答案】C

第8頁共63頁

【解答】解:Pi=l+1+1=3,

?3=1+1+1+1x3=11,

2244

PA=1+A+A+AX2+AX3=絲

22488

JP3-P2=ll-$=2=工，

2

4242

P4-P\=^---11=A=_1_,

84823

則Pn-Pn-\=；_]=(-i-)

10.如圖。是長方形紙帶，ZDEF=20o,將紙帶沿E尸折疊成圖從再沿8b

【答案】B

【解答】解:?:AD//BC,

:?/DEF=/EFB=2N,

在圖〃中NGFC=1800-2ZEFG=140°,

在圖c中NCFE=NGR7-/以七=120°,

故選：B.

11.附加題：下圖是由九個等邊三角形組成的一個六邊形，當(dāng)最小的等邊三角形

第9頁共63頁

邊長為2cm時，這個六邊形的周長為()cm.

A.30B.40C.50D.60

【答案】D

【解答】解：?AB=X9

???等邊三角形的邊長依次為x,x,x,2,x+2,x+2,x+2X2,x+2X2,x+3X

2,

???六邊形周長是2x+2(x+2)+2(x+2X2)+(x+3X2)=7x+18,

*：AF=2ABt即x+6=2x,

.*.x=6cm,

，周長為7x+18=60cm.

故選：D.

12.勾股定理是幾何中的一個重要定理.在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若

勾三，股四，則弦五”的記載.如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角

形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗證勾股定理.圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到

的，NB4C=90°,A8=3,AC=4,點O,E,F,G,H,/都在矩形KLM/

的邊上，則矩形KLM/的面積為()

【答案】C

【解答】解：如圖，延長A8交K尸于點。，延長AC交GM于點P,

第10頁共63頁

易得△C48四ABO/絲△方ZG,

：.AB=OF=3tAC=OB=FL=4,

.?.OA=OL=3+4=7,

VZCAB=ZBOF=ZL=90°,

所以四邊形AOLP是正方形，

邊長AO=AB+AC=3+4=7,

所以KL=3+7=10,LM=4+7=11,

因此矩形KLM/的面積為10X11=110.

故選：C.

13.如圖是一個圓柱形飲料罐，底面半徑是5,高是12,上底面中心有一個小圓

孔，則一條到達底部的直吸管在罐內(nèi)部分。的長度（罐壁的厚度和小圓孔的

大小忽略不計）范圍是（）

A.12W〃W13B.12W〃W15C.5W〃W12D.5WaW13

【答案】A

【解答】解：。的最小長度顯然是圓柱的高12,最大長度根據(jù)勾股定理，得：

752+122=13-

即a的取值范圍是12W〃W13.

故選：A.

14.如圖所示，是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖

案，已知大方形面積為49,小正方形面積為4,若用x,y表示直角三角形

第11頁共63頁

的兩直角邊（x>y）,下列四個說法：①『+）2=49,②x-），=2,③2x），+4=

49,@x+y=9.其口說法正確的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【答案】B

【解答】解：①大正方形的面積是49,則其邊長是7,顯然，利用勾股定理

可得f+）2=49,故選項①正確；

②小正方形的面積是4,則其邊長是2,根據(jù)圖可發(fā)現(xiàn)），+2=x,即l-y=2,

故選項②正確：

③根據(jù)圖形可得四個三角形的面積+小正方形的面積=大正方形的面積，即4

X』xy+4=49,化簡得2xy+4=49,故選項③正確；

2

'22

④x+y=49,則/y=洞，故此選項不正確.

2xy+4=49

故選：B.

二.填空題（共9小題）

15.如圖在中，NAC8=9（）°,ZCAB=36Q,在直線AC或3c上取

點、M,使得為等腰三角形，符合條件的M點有」個.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：如圖,

①以A為圓心，為半徑畫圓，交直線AC有二點Mi,M2,交有一點

%,（此時AB=AM）：

第12頁共63頁

②以8為圓心，84為半徑畫圓，交直線有二點%,MA,交AC有一點

林（止匕時8M=8A）.

③AB的垂直平分線交AC一點M7,交直線8c于點Ms；

?,?符合條件的點有8個.

故答案為：8.

16.如圖，ADfBE在AB的同側(cè)，AO=2,BE=2,AB=4,點。為AB的中點,

若NOCE=120°,則DE的最大值是一6.

ACB

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：如圖，作點A關(guān)于直線CD的對稱點M,作點B關(guān)于直線CE

的對稱點N,連接DM,CM,CN,MN,

由題意AD=EB=2,AC=CB=2fDM=CM=CN=EN=2,

???NACO=NAOC,NBCE=NBEC,

*：ZDCE=120°,

第13頁共63頁

???NACQ+N8CE=60°，

*：ZDCA=ZDCMf/BCE=/ECN,

：.ZACM+ZBCN=\20a,

???NMCN=60°,

■:CM=CN=2,

???△CMN是等邊三角形，

:.MN=2,

VDEWDM+MN+EN,

:?DEW6,

???當(dāng)。，M,N,E共線時，OE的值最大，最大值為6,

故答案為：6.

17.如圖，/R9C=9°,點4在O"上，且。4=1,按下列要求畫圖：

以A為圓心，1為半徑向右畫弧交。。于點4,得第1條線段A4；

再以4為圓心，1為半徑向右畫弧交0B于點A2,得第2條線段4A2；

再以4為圓心，1為半徑向右畫弧交0C于點小，得第3條線段A滔3；…

這樣畫下去，直到得第〃條線段，之后就不能再畫出符合要求的線段了，則〃

=9.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：由題意可知：AO=A\A.…，

則NAO4=NO4A,NAMA2=N4AM,…，

9：ZHOC=9°,

???N4AB=18°,NA2Ale=27°,NA3A2^=36°,N4A3c=45°,…，

A9°n<90°,

解得〃V10.

由于〃為整數(shù)，故，!=9.

故答案為:9.

18.如圖，△ABC是功長為3的等功三角形，△5DC是等腰三角形，且NBDC

第14頁共63頁

=120°.以。為頂點作一個60°角，使其兩邊分別交AB于點M,交AC于

點M連接MM則△AMN的周長為6.

A

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：?.?△3。。是等腰三角形，且N8DC=12()°

：.ZBCD=ZDBC=3Q°

???△ABC是邊長為3的等邊三角形

ZABC=NBAC=ZBCA=60°

：.ZDBA=ZDCA=90°

延長A8至F,使BF=CN,連接OF,

在RtZXB。/7和RtZ\C￡W中，BF=CN,DB=DC

:ABDF"/\CDN,

:./BDF=/CDN,DF=DN

?；NMDN=60°

:.NBDM+NCDN=60°

:?/BDM+/BDF=60°,ZFDM=600=/MDN,QM為公共邊

:?XDMN”叢DMF、

:.MN=MF

：.△AMN的周長是：AM+AN+MN=AM+MB+8R+4N=A8+AC=6.

19.如圖，ZAOB=30°,OP平分N40B,PC//OB,PDtOB,如果尸C=6,

那么P。等于3

第15頁共63頁

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：過P作PEJ_OA于點E,則2。=尸E,

,：PC//OB,NAOB=30°，

：.ZECP=ZAOB=30°

在RtZXEC尸中，PE=1PC=3

2

：.PD=PE=3.

20.如圖，OP=1,過戶作PP」OP,得OPi=&；再過Pi作PIP2_LOPI且P1P2

=1,得OP2=?；又過P2作尸2P3_LOP2且P2P3=1,得。尸3=2;…依此法

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：由勾股定理得：。尸4=五可=而，

VOP\=y[2\得0尸2=近；OP3=C，

依此類推可得。幾=而1,

OP2012=V2013,

故答案為：V2013.

21.某校九年級學(xué)生準(zhǔn)備畢業(yè)慶典，打算用橄欖枝花圈來裝飾大廳圓柱.已知大

廳圓柱高4米，底面周長1米.由于在中學(xué)同學(xué)三年，他們打算精確地用花

第16頁共63頁

圈從上往下均勻纏繞圓柱3圈（如圖），那么螺旋形花圈的長至少5米.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：將圓柱表面切開展開呈長方形，

則有螺旋線長為三個長方形并排后的長方形的對角線長

???圓柱高4米，底面周長1米

f=（1X3）2+42=9+16=25

所以，花圈長至少是5，〃.

22.我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為

“趙爽弦圖”（如圖1）.圖2由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角

形拼接而成.記圖中正方形A3CD,正方形EFGH,正方形MNKT的面積分

別為Si,S2,S3,若Sl+S2+S3=10,則S2的值是包.

一3一

因1圖2

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：將四邊形M7KN的面積設(shè)為x,將其余八個全等的三角形面積一

第17頁共63頁

個設(shè)為y,

;正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面積分別為S,Sz,S3,S1+S2+S3

=10,

???得出Si=8y+.t,Si~4y+x,S3=x,

???Si+S2+S3=3.E+12y=10,故3x+12y=1(),

x+4y=￥，

所以S2=x+4y=曲，

3

故答案為：衛(wèi).

3

23.勾股定理是初等幾何中的一個基本定理.這個定理有十分悠久的歷史，兩千

多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，我國古代三國時期吳國的數(shù)學(xué)家

趙爽創(chuàng)造的弦圖，是最早證明勾股定理的方法，所謂弦圖是指在正方形的每

一邊上各取一個點，再連接四點構(gòu)成一個正方形，它可以驗證勾股定理.在

如圖的弦圖中，已知：正方形EFGH的頂點E、F、G、〃分別在正方形ABC。

的邊DA、AB、BC、CD±.若正方形ABC。的面積=16,AE=\；則正方形

EFGH的面積=10.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：：四邊形是正方形,

:?EH=FE,/FEH=9U",

VZAEF+ZAFE=^)°,ZAEF+ZDEH=9()°,

???/AFE=ZDEH,

???在△AEE和△力"E中,

(ZA=ZD

NAFE=NDEH，

IEF=HE

，/XAEF^/XDHE,

第18頁共63頁

：.AF=DEf

???正方形A8CO的面積為16,

：.AB=BC=CD=AD=4,

：.AF=DE=AD-AE=4-1=3,

在RtZXAE/中，EF=7AE2+AF2=V10>

故正方形EFGH的面積一百3又，13—10.

故答案為：10.

三.解答題(共24小題)

24.(1)如圖1,在四邊形ABCD中，AB=ADfZB=ZD=90°,E、尸分別

是邊BC、CO上的點，且/￡4產(chǎn)=2/84力.求證：EF=BE+FD；

2

(2)如圖2,在四邊形ABCQ中，AB=ADfZB+ZD=180°,E、產(chǎn)分別是

邊8C、C。上的點，且NEA/=2NB4。，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？

2

(3)如圖3,在四邊形ABCO中，AB=ADfZB+Z/4DC=180°,E、F分

別是邊BC、CQ延長線上的點，且NE4尸=2/BA。，(1)中的結(jié)論是否仍

2

然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】證明：(1)延長￡8到G,使8G=。產(chǎn)，連接AG.

第19頁共63頁

VZABG=ZABC=ZD=90°,AB=AD,

：.△ABG^MADF.

：.AG=AF,Z1=Z2.

.??N1+N3=N2+N3=NE4/T/ZMQ.

2

：.ZGAE=ZEAF.

又TA石二AE,

???AAEG^AAEF.

：.EG=EF.

?：EG=BE+BG.

：.EF=BE+FD

(2)(1)中的結(jié)論E/HBE+fD仍然成立.

(3)結(jié)論ER=5E+F。不成立，應(yīng)當(dāng)是EF=BE-FD.

證明：在BE上截取8G,使8G=QF,連接4G.

9：ZB+ZADC=1SO°,ZADF+ZADC=1SO°,

：.ZB=ZADF.

9：AB=AD,

：./\ABG^/\ADF.

：.ZBAG=ZDAF,AG=AF.

：.ZBAG+ZEAD=^DAF+ZEAD

=ZEAF=1ZBAD.

2

第20頁共63頁

：.ZGAE=ZEAF.

*：AE=AE,

：./\AEG^/\AEF.

：.EG=EF

■:EG=BE-BG

：?EF=BE-FD.

25.如圖1,在△ABC中，NACB為銳角，點。為射線BC上一點，連接AD,

以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.

(1)如果A8=AC,ZBAC=90°,

①當(dāng)點。在線段8C上時(與點8不重合)，如圖2,線段CR80所在直

線的位置關(guān)系為線段CR3Q的數(shù)量關(guān)系為相等；

②當(dāng)點。在線段AC的延長線上時，如圖3.①中的結(jié)論是否仍然成立，并說

明理由；

(2)如果ABWAC,N8AC是銳角，點。在線段BC上，當(dāng)N4CB滿足什么

條件時，C/_LBC(點C、/不重合)，并說明理由.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】證明：（1）①正方形AO石/中，AD=AF,

9：ZBAC=ZDAF=90°,

：.ZBAD=ZCAF,

又,.,AB=4C,

.?.△OABg△胡C,

:?CF=BD,N8=/ACR

???NAC8+NAC/=90°，BPCFA.BD.

第21頁共63頁

②當(dāng)點。在BC的延長線上時①的結(jié)論仍成立.

由正方形AOEb得AO=ARND4"=90度.

VZBAC=90°,

:?/DAF=/BAC,

：.ZDAB=ZFAC,

又,.,AB=AC,

.??△OABg△胡C,

:?CF=BD,ZACF=ZABD.

*：ZBAC=90°,AB=AC,

，乙WC=45°,

AZACF=45°,

/./RCF=/ACR+/ACF=^度.

B|JCF1,BD,

（2）當(dāng)NAC8=45°時，。尸_L8。（如圖）.

理由：過點A作AG_LAC交C8的延長線于點G,

則NG4c=90°,

VZACB=45°,ZAGC=W-ZACB,

：.ZAGC=90°-45°=45°,

AZACB=ZAGC=45°,

：.AC=AG,

VZDAG=AFAC（同角的余角相等），AD=AF,

.二△GAO9△（?",

AZACF=ZAGC=45°,

ZBCF=ZACB+ZACF=450+45°=90°,HPCF±BC.

第22頁共63頁

26.如圖，已知NABC=90°,。是直線AB上的點，AD=BC.

(1)如圖1,過點A作并截取A尸=80,連接DF、CF,判

斷△C。方的形狀并證明；

(2)如圖2,E是直線上一點，且CE=5O,直線AE、CO相交于點P,

ZAPD的度數(shù)是一個固定的值嗎？若是，請求出它的度數(shù)；若不是，請說明

【解答】解：(1)△COR是等腰直角三角形，理由如下：

9：AF±AD,ZABC=90°,

：.ZFAD=ZDBC,

在△物Q與△DBC中，

'AD=BC

<NFAD=NDBC，

AF=BD

/.△MD^ADBC(SAS),

:,FD=DC,

???△CQb是等腰三角形，

:?/FDA=/DCB,

?：/BDC+NDCB=90°,

:?/BDC+/FDA=90°,

???△CO/是等腰直角三角形；

(2)作A凡L48于-A,使A/=30,連接拉RCF,如圖,

VAF1AD,ZABC=90°,

第23頁共63頁

：?/FAD=NDBC,

在△欣。與△OBC中，

'AD=BC

,NFAD=NDBC，

AF=BD

.,.△MD^ADBC(SAS),

:.FD=DC,

???△CQ/是等腰三角形，

???△胡。絲△QBC,

:?/FDA=/DCB,

?；/BDC+/DCB=90°,

:?NBDC+NFDA=9()°,

???ACDF是等腰直角二角形，

：.ZFCD=45°,

9

\AF//CEf&.AF=CEf

???四邊形A”CE是平行四邊形,

：.AE//CF,

：.ZAPD=ZFCD=45°.

27.（本題有3小題，第（1）小題為必答題，滿分5分；第（2）、（3）小題

為選答題，其中，第（2）小題滿分3分，第（3）小題滿分6分，請從中任

選1小題作答，如兩題都答，以第（2）小題評分.）

在△ABC中，NAC8=90°,4C=8C,直線經(jīng)過點C,且于Z）,

BELMN于E.

（1）當(dāng)直線MN繞點。旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：

①△ADg^CEB；②DE=AD+BE；

（2）當(dāng)直線MN繞點。旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：DE=AD-BE：

第24頁共63頁

(3)當(dāng)直線MN繞點。旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問。E、A。、BE具有怎樣

的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】證明：(1)?VZADC=ZACB=ZBEC=90°,

??.NCAO+NACO=9()°,NBCE+NCBE=90°,ZACD+ZBCE=90°

：.ZCAD=ZBCE.

9：AC=BC,

：.△AOC絲△CEB.

②,:△4。。空△CEB,

：.CE=AD,CD=BE.

：.DE=CE+CD=AD+BE.

解：⑵VZADC=ACEB=ZACB=90°,

.??ZACD=ZCBE.

又?.?AC=8C,

???△ACD9XCBE.

：.CE=AD,CD=BE.

：.DE=CE-CD=AD-BE.

(3)當(dāng)MN旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，A。、DE、BE所滿足的等量關(guān)系是0E=

BE-AD(或AO=BE-Q￡,BE=AD+DE等).

?：NADC=NCEB=NACB=90°,

，ZACD=ZCBE,

XVAC=BC,

/\ACD^/\CBE,

第25頁共63頁

:.AD=CE,CD=BE,

：.DE=CD-CE=BE-AD.

28.(1)如圖1,正方形ABC。中，點E,尸分別在邊8C,CQ上，N￡4/=45’，

延長CO到點G,使。G=3E,連接ERAG.求證：EF=FG.

(2)如圖2,等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,A3=AC,點M,N

在邊上，且NMAN=45°，若BM=1,CN=3,求MN的長.

B

圖2

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】(1)證明：在正方形ABCO中,

NABE=NADG,AD=AB,

在△ABE和△AQG中，

'AD=AB

<ZABE=ZADG

DG=BE

:?△ABE94ADG（SAS）,

:?/BAE=/DAG,AE=AG,

：.ZEAG=90°,

在△雨E和△朋G中，

'AE=AG

'NEAF=NFAG=45°，

AF=AF

（SAS）,

:?EF=FG；

（2）解：如圖，過點C作CE_LBC,垂足為點C,截取CE,使CE=3M.連

接AE、EN.

第26頁共63頁

8A

M

I/

c

*：AB=AC,ZBAC=90°,

：.ZB=ZACB=45°.

9：CE±BC,

：.ZACE=ZB=45°.

在△A3M和七中，

'AB=AC

<ZB=ZACE

BM=CE

.二△ABM絲△ACE(SAS).

：.AM=AE.ZBAM=ZCAE.

VZBAC=90°,/MAN=45°,

???NB4M+NC4N=45°.

于是，由N3AM=/C4E,得NMAN=NE4N=45°.

在和△E4N44,

MI=AE

<ZMAN=ZEAN

AN=AN

:.AMAN@MEANISAS).

:.MN=EN.

在RtZXENC中，由勾股定理，得EM=EC2+NC2.

:.MN2=BM?+NC2.

?；BM=1,CN=3,

AMA^=l24-32,

29.如圖：AE1AB,AFLAC,AE=AB,AF=AC,

(1)圖中EC、3廠有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？試證明你的結(jié)論.

(2)連接4M,求證：平分NEMF.

第27頁共63頁

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】(1)解：結(jié)論：EC=BF,ECLBF.

理由：*：AELAB,AFLAC,

：.ZEAB=ZCAF=90°,

???ZEAB+ZBAC=ZCAF+ZBAC,

：?/FAC=/RAF.

在△E4C和△BAb中，

'AE=AB

<NEAC=/BAF，

AC=AF

：./\EAC^/\BAF(SAS),

：.EC=BF./AEC=NABF

VZAEG+ZAGE=90°,NAGE=NBGM,

：.ZABF+ZBGM=90a,

工/EMB=90°,

：.EC±BF.

:?EC=BF,EC上BF.

(2)證明：作AP_LC石丁F,AQ-LBFTQ.

：.AP=AQ(全等三角形對應(yīng)邊上的高相等).

???AP_LCE于P,AQLB尸于Q,

???AM平分NEWF.

第28頁共63頁

F

30.如圖，已知△ABC中，AB=4C=10c〃z,BC=8c〃z,點。為AB的中點.

(1)如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由8點向。點運動，同時，點。

在線段C4上由C點向A點運動.

①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過15后，叢BPD與△CQP

是否全等，請說明理由；

②若點Q的運動速度與點戶的運動速度不相等，當(dāng)點Q的運動速度為多少時，

能夠使△BPO與△CQP全等？

(2)若點。以②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B

同時出發(fā)，都逆時針沿aABC三邊運動，求經(jīng)過多長時間點P與點。第一次

在△ABC的哪條邊上相遇？

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)①經(jīng)過1s后，△3PO與△CQP全等，理由如下:

Vz=b,

：.BP=CQ=3X\=3cm,

;AB=10c〃7,點。為A8的中點，

：.BD=5cm.

又,：PC=BC-BP,BC=8cm,

APC=8-3=5的,

：.PC=BD.

第29頁共63頁

又,：AB=A3

在△8PO和△CQP中，

PC=BD

<ZB=ZC

BP=CQ

???△BPZ注ZXCQP[SAS).

②?.WUQ,

；,BPWCQ,

若△BPD@ACPQ,/B=/C,

則BP=PC=4cm,CQ=BD=5cm,

二點P,點。運動的時間t里1s，

33

.CQ515/、

（c〃而）;

~3

（2）設(shè)經(jīng)過x秒后點尸與點Q第一次相遇,

由題意，得至..X=3A+2X10,

4

解得乂出.

x3

???點P共運動了幽X3=SOcm.

3

△ABC周長為：10+10+8=28?！?

若是運動了三圈即為：28X3=84c〃z,

V84-80=4c〃zVA8的長度，

???點P、點。在邊上相遇，

???經(jīng)過與,點P與點Q第一次在邊AB上相遇.

31.【閱讀理解】

課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

第30頁共63頁

E

圖1圖2

如圖1,△ABC中，若AB=8,AC=6,求BC邊上的中線A。的取值范圍.小

明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AZ)到點E,使0后=

AD,請根據(jù)小明的方法思考：

(1)由已知和作圖能得到△4。。/△皮出的理由是3.

A.SSSB.SASC.AASD.HL

(2)求得4茨的取值范圍是C.

A.6V4OV8B.6WAOW8C.1VAOV7D.1WAOW7

【感悟】

解題時，條件中若已現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等

三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中.

【問題解決】

(3)如圖2,人。是△ABC的中線，片石交AC于石，交人。于F,且AE=EF.求

證：AC=BF.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】(1)解：???在△AOC和△EQ8中

(AD=DE

NADO/BDE，

IBD=CD

:AADC"/\EDB(SAS),

故選B；

(2)解：???由(1)知：△ADCBXEOB,

；.BE=AC=6,AE=2AD,

???在△ABE中，A8=8,由三角形三邊關(guān)系定理得：8-6V2AQV8+6,

第31頁共63頁

：.\<AD<7,

故選C.

(3)證明：

延長A。到M,使40=?！?，連接

1,AO是△ABC中線，

；?CD=BD,

???在△AQC和△MZ)B中

rDC=DB

<ZADC=ZMDB

DA=DM

???/\ADC^/\MDB,

/CAD=/M.

?；AE=EF,

：.ZCAD=ZAFE,

*.*/AFE=/BFD,

：.ZBFD=ZCAD=ZM,

:.BF=BM=AC,

周JAC=BF.

32.如圖，CA=CB,CD=CE,NACB=NDCE=a,AD.BE交于點H,連CH.

(1)求證：△ACO公△BCE；

(2)求證：”C平分NAHE；

第32頁共63頁

（3）求NC"E的度數(shù).（用含a的式子表示）

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】（1）證明：???/ACB=NDCE=a,

工/ACD=/BCE,

在△AC。和△8CE中，

rCA=CB

NACD:NBCE，

lcD=CE

：./\ACD^/\RCE(SAS):

(2)證明：過點C作CMJ_A。于M,CNIBE于N,

△AC。也△BCE,

:?NCAM=/CBN,

在△ACM和中，

rZCAM=ZCBN

<ZAMC=ZBNC=90°，

AC=BC

(AAS),

:?CM=CN,

?,.”。平分4”后；

(3),:△A3QABCE、

:./CAD=/CBE,

：.ZAHB=ZACB=af

：.ZAHE=\SO0-a,

：?/CHE=L/AHE=900-la.

22

33.如圖，在△ABC中，A8=AC,點D,E,尸分別在A8,BC,4c邊上，且

BE=CF,BD=CE.

(1)求證：AOE尸是等腰三角形；

第33頁共63頁

(2)當(dāng)/A=50°時，求NOE尸的度數(shù)；

(3)若NA=NDEF,判斷尸是否為等腰直角三角形.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1),：AB=AC,

:?/B=/C,

在△8DE和△(?￡■/中，

rBE=CF

???.NB=NC，

BD=CE

:?△BDEgACEF(SAS),

:.DE=EF,

，△。后產(chǎn)是等腰三角形；

(2)?；/DEC=NB+NBDE,

即ZDEF+ZCEF=/B+NBDE,

?：4BDE馬/XCEF,

：?NCEF=NBDE,

：.ZDEF=ZB,

又???在△ABC中，AB=AC,ZA=50°,

：.ZB=65°,

：.ZDEF=65°；

(3)由(1)知：△OEb是等腰三角形，BPDE=EF,

由(2)知，/DEF=/B,

而N3不可能為直角，

，△。石”不可能是等腰直角三角形.

34.如圖1,OA=2,0B=4,以A點為頂點、力B為腰在第三象限作等腰為△

第34頁共63頁

ABC,

（1）求C點的坐標(biāo);

（2）如圖2,尸為y軸負半軸上一個動點，當(dāng)P點向y軸負半軸向下運動時，

以P為頂點，PA為腰作等腰RtAAPD,過。作DEYx軸于E點,求。尸一

（3）如圖3,己知點尸坐標(biāo)為（-2,-2）,當(dāng)G在y軸的負半軸上沿負方

向運動時，作Rt△尸G從始終保持NG"7=9（T,R7與y軸負半軸交于點G

（0,m）,與x軸正半軸交于點”（小0）,當(dāng)G點在），軸的負半軸上沿

負方向運動時，以下兩個結(jié)論：①〃?■〃為定值；②機+〃為定值，其中只有一

個結(jié)論是正確的，請找出正確的結(jié)論，并求出其值.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）過C作CM_Lx軸于M點，如圖1,

'：CMLOA,ACLAB,

第35頁共63頁

???NM4C+NOAB=90°,NOA8+NOBA=90°

則NMAC=N08A

在△M4C和△08A中，

rZCMA=ZAOB=90°

<ZMAC=ZOBA

AC=BA

則△MACgZXOBA(A4S)

則CM=0A=2,MA=0B=4,則點C的坐標(biāo)為(-6,-2)；

(2)過。作OQ_L。尸于0點:，如圖2,則。戶?OE=P。，ZAPO+ZQPD=

90°

ZAPO+ZOAP=903,則NQPO=NQAP,

在△ACP和APOQ中，

，ZA0P=ZPQD=90o

,ZQPD=Z0AP

AP=PD

則△AO尸治△POQHAS)

：.OP-DE=PQ=OA=2；

(3)結(jié)論②是正確的，〃汁〃=-4,

如圖3,過點尸分別作FS_Lr軸于S點，F(xiàn)T_Ly軸于7點，

則所二/丁二？，/FHS=/HFT=/FGT,

在△/<$'“和中，

|rZFSH=ZFTG=90"

ZFHS=ZFGT

IFS=FT

則△f'S"空(AAS)

貝ijGT=HS,

又?：G(0,m),H",0),點E坐標(biāo)為(-2,-2),

OT=OS=2,0G=\m\=-m,OH=n,

：.GT=OG-OT=-m-2,HS=OH+OS=n+2t

則-2?〃z=〃+2,

第36頁共63頁

NC4B=90°,AB=AC,D為AC的中點,

連接BD,過點C作CFVBD交BD的延長線于點F,過點A作AEVAF于點

A.

(1)求證：/\ABE^/\ACF；

（2）過點4作于點”，求證：CF=EH.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】證明：(1)???AE_L4RNCAB=9()°,

：.ZEAF=ZCAB=9(r

第37頁共63頁

AZEAF-ZEAC=ZCAB-NE4C即NBAE=NCAF

VCF1BD,

：.ZBFC=90°=/CAB,

：.ZBDA+ZABD=^°,ZDCF+ZFDC=90°,

???/ADB=/FDC,

：.NABD=NDCF,

在AABE和△ACF中，

rZBAE=ZCAF

<AB=AC，

ZABD=ZDCF

A/XABE^/XACF(ASA),

(2);由(1)知

：.AE=AF,

*：ZEAF=9O0,

；?NAEF=NAFE=45°,

VA/71BF,

AZAHF=ZAHE=90c=/CFH,

：.ZEAH=\SO°-ZAHE-ZAEF=45°=NAEF,

：.AH=EH,

???。為AC中點，

:?AD=CD,

在△4/)”和△CD尸中，

rZAHF=ZCFH

,NADB=NFDC，

AD=CD

:?△ADgACDF(AAS),

:?AH=CF,

：.EH=CF.

36.如圖(1),AB=4cm,AC1AB,BD_LAB,AC=BD=3cm.點P在線段

AB上以lcm/s的速度由點A向點B運動，同時，點。在線段B。上由點B向

點。運動.它們運動的時間為，(s).

第38頁共63頁

(1)若點Q的運動速度與點尸的運動速度相等，當(dāng)，=1時，4ACP與4BPQ

是否全等，請說明理由，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；

(2)如圖(2),將圖(1)中的“AC_LA8,8Q_LA8”改為“NCAB=NDBA

=60°”，其他條件不變.設(shè)點Q的運動速度為xc加s,是否存在實數(shù)x,使

得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的無、/的值；若不存在，請說明

理由.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)當(dāng)，=1時，AP=BQ=\,BP=AC=3,

又???/A=/8=90°,

在△ACP和△8PQ中，

rAP=BQ

<ZA=ZB

AC=BP

A/^ACP^ABPQ(SAS).

???4ACP=4BPQ,

：.ZAPC+ZBPQ=^APC+ZACP=90°.

：.ZCPQ=90°,

即線段PC與線段尸Q垂直.

(2)①若△ACP02X8PQ,

則AC=B尸，AP=BQ,

f3=4-t

9

t=xt

解得

②若△ACPg/XBQH

則4c=30,AP=BP,

第39頁共63頁

3=xt，

t=4-t

解得

't=2

,3；

x至

綜上所述，存在

(-ft=2

(I或］3

Ix=lx=^-

使得△人《「與△BPQ全等.

37.如圖，在△ABC中，已知NABC=45°,過點。作CDJ_AB于點。，過點B

作BMA.AC于點M,CD與BM相交于點E,且點E是CD的中點，連接MD,

過