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5.1.1復數的概念第五章

復數

對于實系數一元二次方程

ax2+bx+c=0，當

Δ

=b2-4ac<0時沒有實數根.因此，在研究代數方程的過程中，如果限于實數集，有些問題就無法解決.從方程的角度看，負實數能不能開平方，就是方程

x2+a=0(a>0)有沒有解，進而可以歸結為方程

x2+1=0有沒有解.NZQR數系是一個不斷擴充的過程引入新數i，使得

x=i是方程

x2+1=0的根，即使得i2=-1.i和實數之間能夠進行加法和乘法運算，而且加法和乘法都滿足交換律、結合律，以及乘法對加法的分配律.思考：得到的新數是什么樣的形式呢？①定義：形如

a+bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中i叫做虛數單位，a叫做復數的實部，b叫做復數的虛部；全體復數構成的集合

C={a+bi|a，b∈R}叫做復數集；②表示方法：復數通常用字母z表示，即

z=a+bi(a，b∈R).

在復數集

C={a+bi|a，b∈R}中，任取兩個數

a+bi，c+di(a，b，c，d∈R)；

規(guī)定：a+bi與

c+di相等的充要條件是

a=c且

b=d.問題：如何定義兩個復數相等？復數(z=a+bi，a，b∈R)實數(b=0)虛數(b≠0)純虛數(a=0)非純虛數(a≠0)復數集虛數集實數集純虛數集例1：給出下列幾個命題，其中真命題的個數為（

）①若

z∈C，則

z2≥0；②2i-1虛部是2i；③2i的實部是0；④若實數

a與

ai對應，則實數集與純虛數集一一對應；⑤實數集的補集是虛數集.A.0 B.1 C.2

D.3解：令

z=i∈C，則i2=-1<0，故①不正確；②中2i-1的虛部應是2，故②不正確；

④當

a=0時，ai=0為實數，故④不正確；

∴只有③，⑤正確.例2：已知復數

z=a2-(2-b)i的實部和虛部分別是2和3，則實數

a，b的值分別是________.

解：（1）復數

z是虛數的充要條件是∴當

m≠-3且

m≠-2時，復數

z是虛數；

解得m=3；∴當

m=3時，復數

z是純虛數.（2）復數

z是純虛數的充要條件是例4：已知

x0是關于

x的方程

x2-(2i-1)x+3m-i=0(m∈R)的實根，則

m的值是_______.解：由題意，得

x02-(2i-1)x0+3m-i=0，即(x02+x0+3m)+(-2x0-1)i=0，1.若

xi-i2=y+2i，x，y∈R，則復數

x+yi等于（

）A.-2+iB.2+i

C.1-2i

D.1+2i解：由i2=-1，得

xi-i2=1+xi，則由題意得1+xi=y+2i，

根據復數相等的充要條件得

x=2，y=1，故

x+yi=2+i.2.若復數

z=m2-1+(m2-m-2)i為實數，則實數

m的值為（

）A.-1

B.2

C.1

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