判斷是否為線性系統(tǒng)例題

例1.6-1在以下系統(tǒng)中，f(t)為鼓勵(lì)，y(t)為響應(yīng)，x(0-)為初始狀態(tài)，試判定它們是否為線性系統(tǒng)。(1)y(t)=x(0-)f(t)(2)y(t)=x(0-)2+f(t)(3)y(t)=2x(0-)+3|f(t)|(4)y(t)=af(t)+b判斷是否為線性系統(tǒng)例題解由于系統(tǒng)(1)不滿足分解性；系統(tǒng)(2)不滿足零輸入線性；系統(tǒng)(3)不滿足零狀態(tài)線性，故這三個(gè)系統(tǒng)都不是線性系統(tǒng)。對(duì)于系統(tǒng)(4)，如果直接觀察y(t)~f(t)關(guān)系，似乎系統(tǒng)既不滿足齊次性，也不滿足疊加性，應(yīng)屬非線性系統(tǒng)。但是考慮到令f(t)=0時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)為常數(shù)b,假設(shè)把它看成是由初始狀態(tài)引起的零輸入響應(yīng)時(shí)，系統(tǒng)仍是滿足線性系統(tǒng)條件的，故系統(tǒng)(4)是線性系統(tǒng)。通常，以線性微分(差分)方程作為輸入輸出描述方程的系統(tǒng)都是線性系統(tǒng)，而以非線性微分(差分)方程作為輸入輸出描述方程的系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)。例1.6-2試判斷以下系統(tǒng)是否為時(shí)不變系統(tǒng)。(1)yf(t)=acos［f(t)］t≥0(2)yf(t)=f(2t)t≥0輸入輸出方程中f(t)和yf(t)分別表示系統(tǒng)的鼓勵(lì)和零狀態(tài)響應(yīng)，a為常數(shù)。判斷時(shí)不變例題解(1)設(shè)那么其零狀態(tài)響應(yīng)故該系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。(2)這個(gè)系統(tǒng)代表一個(gè)時(shí)間上的尺度壓縮，系統(tǒng)輸出yf(t)的波形是輸入f(t)在時(shí)間上壓縮1/2后得到的波形。直觀上看，任何輸入信號(hào)在時(shí)間上的延遲都會(huì)受到這種時(shí)間尺度改變的影響。所以，這樣的系統(tǒng)是時(shí)變的。設(shè)相應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)為圖1.6-2例1.6-2圖例1.6-3對(duì)于以下系統(tǒng)：由于任一時(shí)刻的零狀態(tài)響應(yīng)均與該時(shí)刻以后的輸入無(wú)關(guān)，因此都是因果系統(tǒng)。而對(duì)于輸入輸出方程為因果性例題其任一時(shí)刻的響應(yīng)都將與該時(shí)刻以后的鼓勵(lì)有關(guān)。例如，令t=1時(shí)，就有yf(1)=f(2)，即t=1時(shí)刻的響應(yīng)取決于t=2時(shí)刻的鼓勵(lì)。響應(yīng)在先，鼓勵(lì)在后，這在物理系統(tǒng)中是不可能的。因此，該系統(tǒng)是非因果的。同理，系統(tǒng)yf(t)=f(2t)也是非因果系統(tǒng)。在信號(hào)與系統(tǒng)分析中，常以t=0作為初始觀察時(shí)刻，在當(dāng)前輸入信號(hào)作用下，因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)只能出現(xiàn)在t≥0的