13　第二章　第7課時(shí)　指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

第二章函數(shù)的概念與性質(zhì)第7課時(shí)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)[考試要求]

1.掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).2.通過實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，會(huì)畫指數(shù)函數(shù)的圖象.3.理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、特殊點(diǎn)等性質(zhì)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用．鏈接教材·夯基固本1．根式(1)如果xn＝a，那么___叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.x根式aa0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于____,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．3．指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)aras＝_______；(ar)s＝____；(ab)r＝_____(a>0，b>0，r，s∈Q)．0ar＋sarsarbr4．指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中_______是自變量，定義域是R，___是底數(shù)．(2)形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0，如果是y＝kax，那么k還應(yīng)滿足k≠1；a＞0且a≠1)的函數(shù)叫做指數(shù)型函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)．指數(shù)xa(3)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)項(xiàng)目a>10<a<1圖象定義域R值域____________(0，＋∞)項(xiàng)目a>10<a<1性質(zhì)過定點(diǎn)_________，即x＝0時(shí)，y＝___當(dāng)x>0時(shí)，_______；當(dāng)x<0時(shí)，___________當(dāng)x<0時(shí)，_______；當(dāng)x>0時(shí)，____________在(－∞，＋∞)上是___函數(shù)在(－∞，＋∞)上是___函數(shù)(0,1)1y>10<y<1y>10<y<1增減[常用結(jié)論]指數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)(2)函數(shù)y＝a－x是R上的增函數(shù)．(

)(3)若am＜an(a＞0，且a≠1)，則m＜n.(

)×××√√3．(多選)(人教A版必修第一冊(cè)P117例3改編)下列各式比較大小正確的是(

)√√√典例精研·核心考點(diǎn)

考點(diǎn)一指數(shù)冪的運(yùn)算[典例1]

(1)(多選)已知a＋a－1＝3，則下列結(jié)論正確的是(

)A．a(chǎn)2＋a－2＝7

B．a(chǎn)3＋a－3＝18√√√

指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則(1)將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算．(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)．(3)底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先化成假分?jǐn)?shù)．(4)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)，形式要求統(tǒng)一．√考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用[典例2]

(1)(多選)已知實(shí)數(shù)a，b滿足等式2022a＝2023b，則下列式子可以成立的是(

)A．a(chǎn)＝b＝0 B．a(chǎn)<b<0C．0<a<b D．0<b<a√√√√(1)ABD

(2)C

[(1)如圖，觀察易知，a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.故選ABD.得a＋b＝0.又該函數(shù)圖象無限接近于直線y＝2，且不與該直線相交，所以b＝2，則a＝－2，所以ab＝－4.故選C．][跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象如圖所示，則y＝ax2＋x圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是(

)√(2)若曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________.(1)A

(2)

[－1,1]

[(1)由圖象知函數(shù)為減函數(shù)，則0＜a＜1，(2)曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b的圖象如圖所示，由圖象可得，如果曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點(diǎn)，則b應(yīng)滿足的條件是b∈[－1,1]．]√

考點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

比較指數(shù)式的大小[典例3]

(1)(2023·天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，則a，b，c的大小關(guān)系為(

)A．c＞a＞b B．c＞b＞aC．a(chǎn)＞b＞c D．b＞a＞c(2)若2x＋5y≤2－y＋5－x，則有(

)A．x＋y≥0 B．x＋y≤0C．x－y≤0 D．x－y≥0√(1)D

(2)B

[(1)由y＝1.01x在R上單調(diào)遞增，則a＝1.010.5＜b＝1.010.6，由y＝x0.5在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則a＝1.010.5＞c＝0.60.5.所以b＞a＞c.故選D.(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x－5－x，易知f(x)為增函數(shù)．又f(－y)＝2－y－5y，由已知得f(x)≤f(－y)，所以x≤－y，所以x＋y≤0.故選B.]

解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式

指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用[典例5]

(1)(2023·新高考Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x(x－a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是(

)A．(－∞，－2] B．[－2,0)C．(0,2] D．[2，＋∞)A．－2

B．－1C．1

D．2(3)若不等式4x－2x＋1＋a>0對(duì)任意x∈R都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.√√(1)D

(2)D

(3)(1，＋∞)(3)原不等式可化為a>－4x＋2x＋1對(duì)x∈R恒成立，令t＝2x，則t>0，所以y＝－4x＋2x＋1＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1≤1，當(dāng)t＝1，即x＝0時(shí)，ymax＝1，所以a>1.]

(1)利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助中間量．(2)求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷．√A．a(chǎn)a＜ab＜ba B．a(chǎn)a＜ba＜abC．a(chǎn)b＜aa＜ba D．a(chǎn)b＜ba＜aaA．f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)B．f(x)的值域?yàn)镽C．當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)為奇函數(shù)

D．當(dāng)a＝2時(shí)，f(－x)＋f(x)＝2√√√所以0＜a＜b＜1.當(dāng)0＜a＜1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y＝ax在R上是減函數(shù)，所以ab＜aa.當(dāng)0＜a＜1時(shí)，冪函數(shù)y＝xa在[0，＋∞