中科大系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)課件04延遲與平滑、測(cè)試函數(shù)

系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)

(SystemDynamics)主講：張學(xué)民(4)延遲與平滑延遲的現(xiàn)象比比皆是系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型中包含的物質(zhì)流與信息流可能存在延遲。在現(xiàn)實(shí)生活中，延遲的現(xiàn)象比比皆是：廠家向顧客交付訂貨；感染－潛伏期－病癥；播種與收獲；投資與回報(bào)；。。。。延遲是信息反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中頗為重要的一個(gè)角色。延遲與DELAY1函數(shù)考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的疾病蔓延模型，處潛伏期人口INC，其輸入速率為感染率INF，輸出速率為疾病癥候顯現(xiàn)率SYMP，方程如下：LINC.K=INC.J

+DT*(INF.JK–SYMP.JK)NINC=TSS*INFRSYMP.KL=INC.K/TSS式中TSS為潛伏期，比如流感的潛伏期為3天。上述方程式可用DYNAMO中的DELAYl函數(shù)代替，功能相同，但簡(jiǎn)明方便得多(可以取消INC變量，即INC為隱含水平變量)。RSYMP.KL=DELAYl(INF.JK,TSS)延遲與DELAY1函數(shù)(續(xù))

DELAYl的結(jié)構(gòu)：輸入為INF(感染率)，輸出為SYMP(癥侯顯現(xiàn)率)。SYMP與CURE兩速率的結(jié)構(gòu)是相同的，都是[水平]/[時(shí)間常數(shù)]。一階物質(zhì)流的延遲環(huán)節(jié)的輸出變化率取同一類型表達(dá)式LEV.K/DEL，LEV為內(nèi)部隱含的水平變量，DEL為延遲時(shí)間。DELAY3——三階延遲環(huán)節(jié)同理，可把一階延遲環(huán)節(jié)中隱含的一個(gè)水平變量再細(xì)分成若干個(gè)水平變量。假定潛伏期TSS＝3天，可把處潛伏期的人口INC劃分為三部分，INCl，INC2及INC3分別表示處于潛伏期第1天、第2天和第3天的人口。此時(shí)由INC到SYMP的延遲稱為三階指數(shù)物質(zhì)延遲，DYNAM0中以DELAY3表示：RSYMP.KL=DELAY3(INF.JK,TSS)注意：一個(gè)DELAY3方程等效于3個(gè)水平變量方程，三個(gè)N方程和三個(gè)速率方程。物質(zhì)延遲的階次階次的含義在延遲結(jié)構(gòu)中，指的是延遲環(huán)節(jié)內(nèi)部包含的水平變量數(shù)。下圖給出了不同階次延遲環(huán)節(jié)的輸入量發(fā)生突變時(shí)，(即為階躍輸入時(shí))，其相應(yīng)的輸出量的曲線。這是一簇曲線，包括1，2，3，6和12階延遲的響應(yīng)。曲線簇表明，l階與3階的延遲特性彼此差別很大。1階延遲表現(xiàn)出簡(jiǎn)單的指數(shù)形增長的特性，2階延遲開始表現(xiàn)出S形增長特性，3階時(shí)的S形增長特性已較明顯，6階與12階的S形增長特性也就更加突出了。隨著階數(shù)的增加，延遲環(huán)節(jié)的響應(yīng)的增長模式本質(zhì)相同，其錯(cuò)開程度取決于延遲時(shí)間。顯而易見，l階與3階的曲線差別很大，增長模式全然不同，但3階曲線與6階甚至12階曲線相比則無本質(zhì)差別，只是程度上差異而已，同樣是S形模式。因此，DYNAMO中僅備有DELAYl與DELAY3函數(shù)，而無更高階次的單個(gè)函數(shù)。信息延遲與物質(zhì)在系統(tǒng)中流動(dòng)存在延遲類似，信息在系統(tǒng)中傳遞也存在延遲。商品信息的傳遞一般都帶有延遲的特性。這種信息傳遞的延遲，往往是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中不可避免的組成部分。平均或平滑信息導(dǎo)致延遲。系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)中描述信息的延遲可用平滑函數(shù)。平滑函數(shù)與信息的平滑以生產(chǎn)經(jīng)營管理中的現(xiàn)象為例，企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)人決不會(huì)認(rèn)定某日銷售額突增的信息作為長遠(yuǎn)的趨勢(shì)，把它作為庫存、生產(chǎn)安排與招工等問題決策的依據(jù)。決策者總是力圖從銷售信息中排除隨機(jī)的因素，找出真實(shí)的趨勢(shì)。換言之，對(duì)銷售信息應(yīng)求其在一段期間內(nèi)的平均值。這種“平均”與“平滑”的處理方式在系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的模型中屢見不鮮。DYNAMO提供這一功能的函數(shù)稱為平滑。信息的平滑或平均實(shí)質(zhì)上是一種積累過程。它們可以包含一個(gè)或多個(gè)水平變量。平滑函數(shù)與信息的平滑(續(xù))在DYNAMO中1階信息平滑或平均的機(jī)制等效于如圖的流圖結(jié)構(gòu)?？蓪懗鲆浑A“平滑”或“平均”函數(shù)的方程如下：LSVAR.K＝SVAR.J+DT*SRATE.JKNSVAR＝VARRSRATE.KL＝(VAR.K-SVAR.K)/STIME式中：

SVAR——已平滑的變量；

VAR——待平滑的變量；

SRATE——平滑速率；

STIME——平滑時(shí)間。平滑函數(shù)與信息的平滑(續(xù))在DYNAMO中可在輔助方程中用SMOOTH函數(shù)代表上述方程：ASVAR.K＝SMOOTH(VAR.K，STIME)式中：SMOOTH為平滑函數(shù)。被平滑的變量可以是水平、速率和輔助變量。平滑時(shí)間STIME通常為常數(shù)，但也可以是變量。直觀地看，平滑時(shí)間系指變量VAR經(jīng)積累達(dá)到指數(shù)加權(quán)滑動(dòng)平均值所需的時(shí)間。平滑函數(shù)對(duì)輸入量的響應(yīng)持性若變量VAR為階躍函數(shù)(突增后保持恒定)，其平滑值SVAR將漸漸趨于此恒定值。若VAR是一個(gè)脈沖，SVAR不能達(dá)到VAR的幅值，并按另一指數(shù)式的尋的特性下降。若VAR是一振蕩的輸入量，其平滑值SVAR亦將隨著振蕩，但幅值要小得多。因此平滑函數(shù)具有平滑原變量的激烈起伏功能。經(jīng)平滑得到的平均值正是所期望的真實(shí)趨勢(shì)。信息延遲(續(xù))當(dāng)一變化量增加時(shí)，其平滑值也隨之增加，但有滯后現(xiàn)象。三階信息延遲函數(shù)DLINF3可以把數(shù)個(gè)1階平滑函數(shù)串接成為高階的信息延遲。如圖為三階信息延遲的流圖。圖中每一水平變量都力圖跟蹤前一級(jí)的水平值。利用DYNAMO的三階信息延遲函數(shù)DLINF3，用一個(gè)方程式就能代表。ASV3．K＝DLINF3(VAR．K，STIME)式中：

SV3——三階信息延遲輸出；DLINF3——三階信息延遲：

VAR——輸入變量；STIME——平滑或延遲時(shí)間。物質(zhì)延遲與信息平滑和延遲函數(shù)的流圖符號(hào)測(cè)試函數(shù)測(cè)試函數(shù)通過不同類型的攝動(dòng)實(shí)驗(yàn)可從模型及其代表的反饋系統(tǒng)獲取大量信息。這些攝動(dòng)實(shí)驗(yàn)是藉助各類測(cè)試函數(shù)進(jìn)行的。在模型測(cè)試中可采用變量的突增，斜坡，振蕩與隨機(jī)干擾等。這些實(shí)驗(yàn)均有助于揭示模型內(nèi)部結(jié)構(gòu)與其動(dòng)態(tài)行為的關(guān)系。這類測(cè)試的目的在于深入地研究模型和它所代表的信息反饋系統(tǒng)。DYNAMO有各類模擬外生攝動(dòng)的測(cè)試函數(shù)，包括：斜坡RAMP，脈沖PULSE，正弦SIN，和噪聲NOISE。簡(jiǎn)化的庫存模型(流圖)簡(jiǎn)化的庫存模型(方程)簡(jiǎn)化的庫存模型(方程)速率變量訂貨ORDRS的來歷：RORDRS.KL＝AVSHIP.K+INVADJ.KAAVSHIP.K＝SMOOTH(SHIP.JK,TAS)AINVADJ.K＝(DSINV-INV.K)/TAT式中：ORDRS——訂貨率(件/周)；AVSHIP——平均發(fā)貨率(件/周)；

SHIP——發(fā)貨率(件/周)；

INVADJ——庫存調(diào)節(jié)率(件/周)；DSINV——期望庫存(件)；

INV——庫存(件)；

TAS——發(fā)貨率平滑時(shí)間(周)；

TAT——庫存調(diào)整時(shí)間(周)。隱含在這一組方程中的思想是，訂貨率ORDRS等于平均發(fā)貨率加上庫存調(diào)節(jié)率INVADJ。當(dāng)庫存INV小于期望庫存DSINV時(shí)，INVADJ值為正。ORDRS值高于近期的平均發(fā)貨率，使庫存量增長并趨向期望值；若INV大于DSINV，則產(chǎn)生與上述相反的過程，使庫存量INV降低，最終也趨向于期望值DSINV。簡(jiǎn)化的庫存模型(方程)發(fā)貨率SHIP方程包含測(cè)試函數(shù)，測(cè)試函數(shù)系一長串函數(shù)的相加，模擬時(shí)可選用其中任一函數(shù)。這些函數(shù)分別乘以常數(shù)TESTl，TEST2…，它們的初值均為0。當(dāng)模型運(yùn)行者欲選用某測(cè)試函數(shù)時(shí)只需將其相應(yīng)常數(shù)置為1即可。階躍函數(shù)STEP階躍函數(shù)為幅值在給定時(shí)刻發(fā)生突變的函數(shù)。它常被用來突然改變變量數(shù)值。STEP函數(shù)的形式為：

STEP(A，B)式中：

A——階躍的幅度；

B——階躍發(fā)生的時(shí)刻。在時(shí)刻B前STEP函數(shù)值為0，當(dāng)時(shí)間等于和大于B時(shí)，STEP函數(shù)等于A的值。A與B可為任何數(shù)量的名，其涵義由它們?cè)赟TEP函數(shù)中位置決定，第一個(gè)變量表示階躍的幅值，第二個(gè)變量表示階躍發(fā)生時(shí)刻。階躍幅值可正可負(fù)。階躍函數(shù)STEP測(cè)試簡(jiǎn)化庫存模型的模擬結(jié)果所用測(cè)試函數(shù)的表達(dá)式如下：ATEST.K=STEP(HGHT,STRT)CHGHT=10CSTRT=2式中：TEST——測(cè)試函數(shù)；HGHT——階躍幅值；STRT——階躍發(fā)生時(shí)刻。階躍函數(shù)STEP測(cè)試簡(jiǎn)化庫存模型的模擬結(jié)果(續(xù))發(fā)貨率SHIP的正常值NSHIP為100件/周，階躍函數(shù)于第2周(STRT=2)，由0突增加10件/周，使SHIP增加了10％，達(dá)110件/周并保持不變。虛線為發(fā)貨率SHIP隨時(shí)間變化曲線；實(shí)線為庫存INV相應(yīng)的變化特性。當(dāng)發(fā)貨率突增10％后，庫存量從期望值DSINV300件，迅速下降，與此同時(shí)，訂貨率ORDRS增加，以補(bǔ)充庫存的減少。然而從訂貨到廠家交貨存在延遲(模型中設(shè)定為平均3周)，所以庫存量繼續(xù)下降，大約到第6周達(dá)谷底；之后才回升。由于整個(gè)系統(tǒng)存在延遲環(huán)節(jié)與負(fù)反饋的調(diào)節(jié)作用，庫存量呈現(xiàn)為圍繞其期望值衰減振蕩特性。斜坡函數(shù)(RAMP)斜坡函數(shù)是一種連續(xù)增長或下降的時(shí)間的線性函數(shù)。其DYNAMO的書寫形式為：

RAMP(A,B)式中：

A——表示線性函數(shù)的斜率；

B——表示斜坡函數(shù)的起始時(shí)刻。在時(shí)間B時(shí)刻前，RAMP取0值，在B或B時(shí)刻之后其值由線性函數(shù)決定：

A*(TIME.K-B)斜坡函數(shù)RAMP測(cè)試簡(jiǎn)化庫存模型的模擬結(jié)果現(xiàn)用RAMP函數(shù)作為測(cè)試函數(shù)，使庫存模型的發(fā)貨率SHIP按RAMP函數(shù)增長，研究庫存INV隨時(shí)間變化的特性。下面是測(cè)試函數(shù)TEST:ATEST.K＝RAMP(SLP，STRT)CSLP＝20CSTRT＝2式中：

SLP——斜坡函數(shù)的斜率；

STRT——斜坡函數(shù)起始時(shí)刻。斜坡函數(shù)RAMP測(cè)試簡(jiǎn)化庫存模型的模擬結(jié)果(續(xù))RAMP函數(shù)代表對(duì)發(fā)貨率線性增長的需求。INV幾乎跌落至0，但對(duì)發(fā)貨率無任何影響。可以預(yù)料，若斜坡函數(shù)的斜率值再大些，INV將出現(xiàn)負(fù)值。顯然這是不合理的。在現(xiàn)實(shí)生活中，庫存INV的下降情況需對(duì)發(fā)貨率SHIP施加負(fù)反饋的信息，這一點(diǎn)在此簡(jiǎn)化庫存模型中未予考慮。脈沖函數(shù)PULSE脈沖函數(shù)為DYNAMO提供瞬時(shí)沖擊的方法。在現(xiàn)實(shí)生活中它描述變量的獨(dú)立變化現(xiàn)象，也就是變量在每一次短促的變動(dòng)后立即回至原值。在DYNAMO中脈沖函數(shù)的形式為：

PULSE(A，B，C)式中：

A——脈沖的幅度；

B——第一個(gè)脈沖出現(xiàn)的時(shí)刻；

C——相鄰兩個(gè)脈沖之間的間隔。脈沖寬度為DT。脈沖函數(shù)是一個(gè)周期性函數(shù)。如果模型使用者希望只對(duì)系統(tǒng)施加一個(gè)單脈沖，只需把C賦予一個(gè)很大的值，即較模型中其它時(shí)間量的值大得多的值就行。脈沖函數(shù)PULSE測(cè)試簡(jiǎn)化庫存模型的模擬結(jié)果如圖所示為單脈沖與周期性脈沖施加于庫存控制模型的模擬結(jié)果。所采用的測(cè)試函數(shù)方程為：ATEST.K＝PULSE(HGHT,STRT,INTVL)CHGHT＝10CSTRT＝2CINTVL=200(單脈沖)，5(周期性脈沖)式中：

HGHT——脈沖函數(shù)幅值；

STRT——脈沖發(fā)生時(shí)刻；

INTVL——脈沖間隔。脈沖函數(shù)PULSE測(cè)試簡(jiǎn)化庫存模型的模擬結(jié)果(續(xù))本例發(fā)貨率脈沖的幅度值為10件/周，DT＝0.25周；庫存量受單脈沖的作用所降低的值等于(10件/周)*(0.25周)＝2.5件，模擬結(jié)果的庫存變化曲線由300件跌為297.5件，即較期望值少了2.5件。正弦函數(shù)SIN正弦函數(shù)可用來測(cè)試模型對(duì)于振蕩(比如正弦)輸入變量的響應(yīng)。正弦函數(shù)的DYNAMO表達(dá)式為：

A*SIN(6.283*TIME.K/B)式中：

A——振蕩幅度；

B——振蕩周期；6.283——2pi(pi為圓周率)。正弦函數(shù)SIN測(cè)試簡(jiǎn)化庫存模型的模擬結(jié)果測(cè)試函數(shù)為：

TEST.K=AMP*SIN(6.283*TIME.K/PER)AMP=10PER=5(左圖)，10(右圖)式中：

TEST––––變化率測(cè)試函數(shù)(件/周)；AMP––––正弦函數(shù)幅值(件)；

PER––––周期(周)。噪聲函數(shù)NOISEDYNAMO備有隨機(jī)數(shù)發(fā)生函數(shù)，稱為噪聲NOISE。此函數(shù)表示式為：

NOISE[]NOISE的值是無規(guī)則變化的，從-0.5至+0.5，呈均勻分布。為了產(chǎn)生變化范圍為A以B為中心的隨機(jī)數(shù)，可用DYNAM0的表示式如下：

A*NOISE[]+B上式產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)的平均值為B，其變化范圍為：[B-A/2,B+A/2]噪聲函數(shù)NOISE測(cè)試簡(jiǎn)化庫存模型的模擬結(jié)果測(cè)試函數(shù)為：

TEST.K=RANGE*NOISE[]

RANGE=20水平變量庫存INV的特性與隨機(jī)噪聲大相徑庭。INV表現(xiàn)出和模型在階躍與脈沖函數(shù)作用下同一類型的振蕩特性，具有相同的振蕩周期。庫存反饋系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)決定了這一振蕩的自然周期，不受隨機(jī)干擾的影響。簡(jiǎn)化庫存模型的測(cè)試模擬研究小結(jié)可得出結(jié)論：庫存量往往呈振蕩特性，振蕩特性根植于企業(yè)內(nèi)部的訂貨政策，而不是別的。換言之，市場(chǎng)需求的變動(dòng)性的影響并非主要問題，管理人員應(yīng)著眼于研究系統(tǒng)內(nèi)部的反饋結(jié)構(gòu)。準(zhǔn)確度與計(jì)算間隔DT的選擇DT大小的選擇將影響模擬結(jié)果的準(zhǔn)確度計(jì)算間隔DT的取值對(duì)計(jì)算結(jié)果究竟有多大影響?離散數(shù)值模擬的結(jié)果與連續(xù)函數(shù)的解析解有多大誤差?拋開計(jì)算機(jī)計(jì)算準(zhǔn)確度的理論