高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（含解析）吉林省“BEST合作體”2023-2024學(xué)年

吉林省“BEST合作體”2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題1．設(shè)復(fù)數(shù)z=1+2i，則（）A．z2=2z?3 B．z2=2z?4 C．2．某單位有職工160人，其中業(yè)務(wù)員有104人，管理人員32人，后勤服務(wù)人員24人，現(xiàn)用分層抽樣法從中抽取一個容量為20的樣本，則抽取管理人員（）A．3人 B．4人 C．7人 D．12人3．正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB的中點為M，A．0° B．45° C．60° D．90°4．在△ABC中，已知角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足a2=bA．π3 B．π6 C．2π3 D．5．如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓O，P為圓O上任一點，若AP=xAB+yA．83 B．2 C．436．甲?乙?丙三位同學(xué)進行乒乓球比賽，約定賽制如下：（1）累計負(fù)兩場者被淘汰；（2）比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；（3）每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；（4）當(dāng)一人被淘汰后，剩余兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽甲?乙首先比賽，丙首輪輪空，設(shè)每場比賽雙方獲勝概率都為12A．516 B．716 C．127．如圖，棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為線段AB1的中點，A．22 B．2 C．3 8．已知四棱錐P-ABCD的頂點都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD為正三角形，AB＝2AD＝4，則球O的表面積為（）A．323π B．32π C．64π D．649．下列說法正確的是（）A．1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的第60百分位數(shù)是6B．已知一組數(shù)據(jù)2,3,5,x,8的平均數(shù)為5，則這組數(shù)據(jù)的方差是5.2C．用分層隨機抽樣時，個體數(shù)最多的層里的個體被抽到的概率最大D．若x1,x10．如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥AC，AC=2AB，AD=3，A．1 B．2 C．3 D．211．已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為4，點E，F(xiàn)，G，M分別是A．直線GF，ECB．直線EG與平面ABCD所成角的正切值為2C．平面DMCD．三棱錐D1?AM12．為培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣，某校開展了為期一年的“弘揚傳統(tǒng)文化，閱讀經(jīng)典名著”活動.在了解全校學(xué)生每年平均閱讀了多少本文學(xué)經(jīng)典名著時，甲同學(xué)抽取了一個容量為10的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為5，方差為9；乙同學(xué)抽取了一個容量為8的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為6，方差為16.已知甲、乙兩同學(xué)抽取的樣本合在一起組成一個容量為18的樣本，則合在一起后的樣本平均數(shù)為，方差為.（精確到0.1）13．在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E、F分別是棱BC，CC14．如圖，等腰直角三角形ABC中，AC⊥BC，AB=4，D是邊AC上一動點（不包括端點）.將△ABD沿BD折起，使得二面角A1?BD?C為直二面角，則三棱錐A115．已知單位向量a，b的夾角為π3（1）若ka+b與a（2）若向量c滿足a?c?16．某高校承辦了奧運會的志愿者選拔面試工作，現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績并分成五組：第一組45,55，第二組55,65，第三組65,75，第四組75.85，第五組85,95，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知第三?四?五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同.（1）求a,b的值；（2）估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)和50%分位數(shù)（精確到0.1）；（3）在第四?五兩組志愿者中，按比例分層抽樣抽取5人，然后再從這5人中選出2人，求選出的兩人來自同一組的概率.17．甲、乙兩位同學(xué)參加某高校的入學(xué)面試．入學(xué)面試中有3道難度相當(dāng)?shù)念}目，已知甲答對每道題目的概率都是35，乙答對每道題目的概率都是1（Ⅰ）求甲第二次答題通過面試的概率；（Ⅱ）求乙最終通過面試的概率；（Ⅲ）求甲、乙兩人至少有一人通過面試的概率．18．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點O是△ABC的外心，acos（1）求角A；（2）若△ABC外接圓的周長為43π，求19．四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，CD=AD=12AB，∠PAD=45°，E是PA的中點，G在線段AB（1）求證：DE∥平面PBC；（2）求平面GPC與平面PBC夾角的余弦值．（3）在線段PA上是否存在點H，使得GH與平面GPC所成角的正弦值是33，若存在，求出AH

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：復(fù)數(shù)z=1+2i，則z2=1+2i2=?3+4i，2z=2+4i，

故答案為：C.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算可求得z22．【答案】B【解析】【解答】根據(jù)分層抽樣原理知，應(yīng)抽取管理人員的人數(shù)為：20×故答案為：B

【分析】結(jié)合題意由分層抽樣的定義代入數(shù)值計算出結(jié)果即可。3．【答案】D【解析】【解答】解：取A1A的中點為E，連接BE，如圖所示：

因為CN//BE，所以直線B1M與CN所成角就是直線B又因為B1M⊥BE，所以異面直線B1M與故答案為：D．【分析】取A1A的中點為E，則直線B1M與CN所成角就是直線4．【答案】C【解析】【解答】解：在△ABC中，a2由余弦定理cosA=b2+c故答案為：C.【分析】由題意，利用余弦定理計算即可.5．【答案】A【解析】【解答】解：作BC的平行線與圓相交于點P，與直線AB相交于點E，與直線AC相交于點F，如圖所示：設(shè)AP=λAE+μBC//EF，設(shè)AEAB=AF則AE=kAB即x=λk,y=μk故2x+2y=2（故答案為：A.【分析】作BC的平行線與圓相交于點P，與直線AB相交于點E，與直線AC相交于點F，利用向量共線定理求解即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：由題意，可知最小比賽4場，最多比賽5場，比賽結(jié)束，注意丙輪空時，甲乙比賽結(jié)果對下面丙獲勝概率沒有影響（或者用12若比賽4場，丙最終獲勝，則丙3場全勝，概率為(1若比賽5場，丙最終獲勝，則從第二場開始的4場比賽按照丙的勝負(fù)輪空結(jié)果有三種情況：勝勝負(fù)勝，勝負(fù)空勝，負(fù)空勝勝，概率分別為(1所以丙獲勝的概率為18故答案為：B．【分析】由題意，可得最小比賽4場，最多比賽5場，比賽結(jié)束，將丙最終獲勝的可能情況進行分類，分別求出各類事件發(fā)生的概率，再由互斥事件概率公式計算即可．7．【答案】D【解析】【解答】解：連接AC,A1C1，取AC中點E，過M作MF⊥面A1C1在正方體ABCD?A1B1C1D1中，因為AA1⊥平面A又因為平面ACC1A1∩平面A所以MF⊥平面A1因為P為AB1的中點，所以△APM?△AEM，故PM=EM，而對固定點M，當(dāng)MN⊥B1C此時由MF⊥面A1B1C1D1，B1C1?面A1B1C1D1，MF⊥B1C1，

又因為MN⊥B1C1，MF∩NF=F，且MF,NF?面MF=2故答案為：D.【分析】通過證明得到PM=EM，找到距離最小時，MN⊥B1C1，證明8．【答案】D【解析】【解答】解：設(shè)正三角形△PAD所在圓的圓心為O1，

因為AD=4，所以圓O1的半徑又因為平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB?平面ABCD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，所以O(shè)O1=12AB=2，則球O的表面積S=4πR故答案為：D.【分析】設(shè)正三角形△PAD所在圓的圓心為O1，利用正弦定理求△PAD所在圓的半徑，再利用勾股定理求出球O的半徑R9．【答案】B,D【解析】【解答】解：A、10×60%=6，則第60百分位數(shù)是：6+72B、易知2+3+5+x+85=5，解得x=7，則這組數(shù)據(jù)的方差為：C、根據(jù)分層抽樣的定義可知：分層抽樣中，每個個體被抽到的概率相等，故C錯誤；D、x1,x2,??,故答案為：BD.【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可判斷A；根據(jù)平均數(shù)和方差定義求解即可判斷B；根據(jù)抽樣的等可能性即可判斷C；根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的運算即可判斷D.10．【答案】C,D【解析】【解答】解：在△ABD中，設(shè)∠ADB=θ，

由正弦定理ABsinθ=由余弦定理可得AB2=AD在△DAC中，由余弦定理得C=75?2432cosθ+sinθ=75?72當(dāng)sinθ+φ=71故答案為：CD.【分析】在△ABD中，設(shè)∠ADB=θ，由正弦定理得AB?sin∠BAD=26sinθ，再由余弦定理得A11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、取FM的中點P，連接PC1，如圖所示：因為C1所以FP//GC1，F(xiàn)P=GC1，則四邊形因為PC1∩EC1B、建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則E2,4,0,G0,2,4，EG→=?2,?2,4，

易知平面ABCD的法向量為n→=0,0,1，

則直線則直線EG與平面ABCD所成角的正切值為2，故B錯誤；C、延長C1M，CB交于點H，連接HD交AB于點N，連接MN，AB因為BB1//CC1，M為B因為AD//BH，AD=BH，所以易知N為AB的中點，則MN//AB因為AD//B1C1，所以AB1//DC1，所以MN//D在等腰梯形MNDC1中，DC1=42，MN=22，

DN=M即等腰梯形MNDC1的面積為D、連接BC1，B1C，如圖所示：

則BC1⊥B1C，因為AB⊥又因為AB∩BC1=B，AB，BC1?平面又因為M為BB1的中點，所以三棱錐M?AC因為C1D1⊥面AA1DS△AC1D故答案為：ACD．【分析】利用圖形，作出合理輔助線，根據(jù)異面直線的判定方法即可判斷A；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解即可判斷B；作出截面為等腰梯形計算即可判斷C；利用頂點轉(zhuǎn)換法結(jié)合三棱錐體積公式即可判斷D.12．【答案】5.4；12.4【解析】【解答】解：記甲同學(xué)抽取的樣本的平均數(shù)記為x，方差記為sx2，則x=5記乙同學(xué)抽取的樣本的平均數(shù)記為y，方差記為sy2，則y=6合在一起后的樣本的平均數(shù)記為a，方差記為s2易知a=s=10×即合在一起后樣本的平均數(shù)為5.4，方差為12.4.故答案為：5.4；12.4.【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差公式直接計算即可.13．【答案】[【解析】【解答】解：在正方體ABCD?A1B1C因為點E、F分別是棱BC，CC1的中點，

則MN//BC1//EF，EF?平面AEF，MN?平面AEF，

顯然BEMB1為矩形，則ME//BB1//AA1，ME=BB1=AA1，

即四邊形AEMA1為平行四邊形，則A1M//AE，

又因為AE?平面AEF，A1M?平面AEF，

則A1M//平面AEF，A1M∩MN=M，A1M,MN?平面從而得出點P在線段MN上（不含端點），

在△A1MN中，A則等腰△A1MN底邊MN上高?=所以線段A1P長度的取值范圍是故答案為：[3【分析】先作出過點A1平行于平面AEF的平面與平面BCC114．【答案】32π【解析】【解答】解：易知△BCD是直角三角形，則其外接圓的圓心在Rt△BCD的斜邊BD上，即BD是該圓的直徑，因為平面A1BD⊥平面BCD，所以平面A1BD設(shè)球的半徑為r，球的體積為V，在△A1BD又因為BD∈22,4則V=4故答案為：32π3【分析】由題意，根據(jù)兩平面互相垂直判斷外接球球心的位置，再由已知條件計算出球半徑表達式，求外接球體積取值范圍即可.15．【答案】解：（1）a→，b→的夾角為π3，且a→=1,b→=1，

若ka→+b→與a垂直，則ka→+b→?a→=0，化簡得ka→2+a→?b→=0，

即k×12+1×1×12=0，解得k=?12；

（2）設(shè)OA→=a→，OB→=b【解析】【分析】（1）根據(jù)向量垂直可得ka（2）以O(shè)為原點，OA所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)向量c→=x,y的坐標(biāo)，根據(jù)a→?c→16．【答案】（1）解：由頻率分布直方圖可知：第三?四?五組的頻率之和為0.7，則0.045+0.020+a×10=0.7，解得a=0.005前兩組的頻率之和為1?0.7=0.3，即a+b×10=0.3，解得b=0.025（2）解：由（1）知，平均數(shù)為50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5；前兩組頻率之和為0.3，前三組頻率之和為0.75，所以中位數(shù)位于65,75組內(nèi)，且65+0.5?0.30.45×10≈69.4（3）解：第四?五兩組志愿者分別有20人，5人，故按照分層抽樣抽得第四組志愿者人數(shù)為4，分別設(shè)為a,b,c,d,第五組志愿者人數(shù)為1，設(shè)為e，這5人選出2人，所有情況有a,b,其中選出的2人來自同一組的有a,b,則選出的2人來自同一組的概率為610【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖每個小矩形面積代表頻率，所有頻率之和為1，列式求a，b得值即可；（2）根據(jù)直方圖中各個數(shù)字特征的求法運算即可；（3）先分層抽樣求出列舉法求出抽取的第四、第五兩組志愿者人數(shù)，再利用列舉法求出古典概型的概率即可．（1）因為第三?四?五組的頻率之和為0.7，所以0.045+0.020+a×10=0.7，解得a=0.005所以前兩組的頻率之和為1?0.7=0.3，即a+b×10=0.3，解得b=0.025（2）由（1）知，平均數(shù)為50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5；前兩組頻率之和為0.3，前三組頻率之和為0.75，所以中位數(shù)位于65,75組內(nèi)，且65+0.5?0.30.45×10≈69.4（3）第四?五兩組志愿者分別有20人，5人，故按照分層抽樣抽得第四組志愿者人數(shù)為4，分別設(shè)為a,b,c,d,第五組志愿者人數(shù)為1，設(shè)為e，這5人選出2人，所有情況有a,b,其中選出的2人來自同一組的有a,b,所以選出的2人來自同一組的概率為61017．【答案】解：（Ⅰ）設(shè)甲第二次答題通過面試為事件A，則p(A)=(1?3（Ⅱ）設(shè)乙最終通過面試為事件B，對立事件為乙最終沒通過面試，∵p(B∴p(B)=1?1（Ⅲ）設(shè)甲、乙兩人至少有一人通過面試為事件C，對立事件為甲、乙兩人都沒有通過面試，∵p(C∴p(C)=1?1【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合對立事件求概率公式和獨立事件乘法求概率公式，從而求出甲第二次答題通過面試的概率。

（2）利用已知條件結(jié)合對立事件求概率公式和獨立事件乘法求概率公式，從而求出乙最終通過面試的概率。

（3）利用已知條件結(jié)合對立事件求概率公式和獨立事件乘法求概率公式，從而求出甲、乙兩人至少有一人通過面試的概率。18．【答案】（1）解：過點O作AB的垂線，垂足為D，如圖所示：因為O是△ABC的外心，所以D為AB的中點，所以AO?AB|AB|則acosC?π則sinA整理得3sin因為C∈(0,π)，所以sinC>0，所以3sinA?又因為A∈(0,π)，A?π6∈(?π6（2）接：設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，因為△ABC外接圓的周長為43π，所以2Rπ=43則△ABC周長L=a+b+c=2R(sin由（1）知B=2π3?C因為C∈(0,2π3)，所以C+所以12<12sin(C+π則△ABC周長的取值范圍為(12,18].【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形外心的定義結(jié)合向量數(shù)量積的幾何意義化簡原式，再利用正弦定理整理化簡求角即可；（2）先求外接圓半徑，結(jié)合（1）和正弦定理將三角形周長表示為角C的三角函數(shù)，由正弦函數(shù)性質(zhì)求解即可.（1）過點O作AB的垂線，垂足為D，因為O是△ABC的外心，所以D為AB的中點所以AO?AB所以acossin所以sin整理得：3因為C∈(0,π)，所以sin所以3sinA?又A∈(0,π)，A?所以A?π6（2）記△ABC外接圓的半徑為R，因為△ABC外接圓的周長為43所以2Rπ=43π所以△ABC周長L=a+b+c=2R(由（1）知B=2π所以L=4因為C∈(0,2π3所以1所以12<12sin(C+所以△ABC周長的取值范圍為(12,18]19．【答案】（1）證明：取PB的中點M，連接ME,MC，如圖所示：因為AB∥DC且CD=12AB，所以E,M分別是PA,PB的中點，所以EM∥AB且EM=12AB，

所以EM//CD且又因為CM?平面PBC，DE?平面PBC，所以DE//平面PBC；（2）解：因為PD⊥平面ABCD，DA?平面ABCD，所以PD⊥DA，因為∠PAD=45°，所以PD=DA，令DA=1，又因為AB⊥AD，AB∥DC，所以DC⊥AD，以D為原點，DA,DC,DP所在方向分別為則A(1,0,0),B(1,2,0),C(0,1,0),P(0,0,1),E(1PC?設(shè)點G坐標(biāo)為(1,t,0)，則CG=(1,t?1,0),由CG⊥BD得CG·DB=1+2(t?1)=0，則t=12設(shè)平面GPC的一個法向量為n=(x,y,z)則n·PC=y?z=0n·CG=x?12設(shè)平面PBC的一個法向量為m=(a,b,c)，則m·PC=b?c=0n即平面PBC的一個法向量為m=(?1,1,1)cosn→,m→=n（3）解：存在，A