【信號(hào)處理領(lǐng)域的小波變換分析3100字】

XII信號(hào)處理領(lǐng)域的小波變換分析綜述目錄TOC\o"1-3"\h\u11549信號(hào)處理領(lǐng)域的小波變換分析綜述 -1-260761.1分辨率問題 -1-260291.2小波母函數(shù) -4-48631.3連續(xù)小波變換 -5-173841.4離散小波變換 -6-1.1分辨率問題關(guān)于分辨率可分為時(shí)域分辨率和頻域分辨率，這兩個(gè)分辨率關(guān)系到一個(gè)定理，名為海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理，不確定性原理由海森堡在1927年的論文中首次提出。首先海森堡測(cè)不準(zhǔn)定理是指：（3-9）為信號(hào)的時(shí)間不確定度，為信號(hào)的頻率不確定度，總的來說就是我們無法同時(shí)確定一個(gè)信號(hào)的確切時(shí)間和確切頻率。頻率其實(shí)就是時(shí)域周期性。如果我只給你一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，問你這個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的頻率是多少，這肯定是做不到的。要確定頻率，就需要一個(gè)時(shí)域區(qū)間（包含幾個(gè)時(shí)域周期）的信號(hào)。時(shí)域區(qū)間越寬，信號(hào)的時(shí)間定位越不準(zhǔn)，時(shí)間不確定度越大，得到的頻率越準(zhǔn)，頻率不確定度越小，稱這種情況為：低的時(shí)域分辨率，高的頻域分辨率；時(shí)域區(qū)間越窄，信號(hào)的時(shí)間定位越準(zhǔn)，時(shí)間不確定度越小，但是得到的頻率越不準(zhǔn)，頻率不確定度越大，就稱為高的時(shí)域分辨率，低的頻域分辨率。對(duì)于低頻信號(hào)，為了更好地確定頻率，我們希望，時(shí)域區(qū)間寬一些，即時(shí)間不確定度

大一些，根據(jù)海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理，頻率不確定度自然小一些；即低頻信號(hào)，我們希望寬窗子，低的時(shí)域分辨率，高的頻域分辨率；對(duì)于高頻信號(hào)，為了更好地在時(shí)域定位，我們希望，時(shí)域區(qū)間窄一些，即時(shí)間不確定度

小一些，根據(jù)海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理，頻率不確定度自然大一些；即高頻信號(hào)，我們希望窄窗子，高的時(shí)域分辨率，低的頻域分辨率。 圖3-16這是一張采集信號(hào)的分辨率圖，每個(gè)小矩形在時(shí)間軸的寬度很小，說明時(shí)間分辨率很好，可以確定每個(gè)采樣點(diǎn)的時(shí)間，再看每個(gè)小矩形在頻率軸的寬度非常大，說明頻率分辨率很差。 圖3-17這是一張傅里葉變換的分辨率圖，可以看到頻率軸方向的寬度很短，在時(shí)間軸方向的寬度很大，說明有良好的頻域分辨率，很差的時(shí)域分辨率，所以就正如之前在傅里葉變換時(shí)提到的缺點(diǎn)，傅里葉變換會(huì)導(dǎo)致信號(hào)在時(shí)域的信息完全丟失。圖3-18上圖是我們所想要的動(dòng)態(tài)分辨率，每個(gè)小矩形的面積是相等的，這樣保證了時(shí)域分辨率乘頻域分辨率是定值，可以最大程度地滿足海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理。通過這個(gè)圖可以看出來，我們希望對(duì)于低頻信號(hào)有低的時(shí)域分辨率，高的頻率分辨率，對(duì)于高頻信號(hào)則需要高的時(shí)域分辨率，低的頻域分辨率。對(duì)于整體低頻，局部高頻的信號(hào)來說，這種動(dòng)態(tài)調(diào)整分辨率規(guī)則很有用，在實(shí)際信號(hào)中，頻率非常高的高頻信號(hào)往往是一種噪聲。圖3-19上圖為短時(shí)傅里葉變換的分辨率圖，可以從圖中看出所有的矩形都是一樣的大小，也就是說無論高頻低頻，分辨率都是不可調(diào)的，這與之前所期望的動(dòng)態(tài)分辨率不符，所以對(duì)于短時(shí)傅里葉變換來說，當(dāng)對(duì)一個(gè)信號(hào)展開時(shí)頻分析時(shí)，當(dāng)窗子的寬度選擇合適時(shí)，是可以得到時(shí)域分辨率和頻域分辨率都還不錯(cuò)的情況的，但是在作分析之前我們無法知道窗子是否合適。短時(shí)傅里葉的缺點(diǎn)就就是無法隨著動(dòng)態(tài)調(diào)整。1.2小波母函數(shù)為了解決動(dòng)態(tài)分辨率的問題，引入了小波母函數(shù)，小波母函數(shù)不是一個(gè)特定的函數(shù)，是一種函數(shù)的集合，滿足了一定條件的函數(shù)均可以作為小波母函數(shù)。小波母函數(shù)需要滿足的有幾個(gè)條件：條件一，緊支撐性：，即僅在一小部分定義域里不為0，剩下部分均為0。條件二，波動(dòng)性：即在定義域內(nèi)積分為0，可以證明母函數(shù)是一個(gè)波。條件三，容許條件：，這個(gè)條件便使變換可逆。條件四，正交性：這也是為了使變換可逆。圖3-20上圖是一個(gè)小波母函數(shù)的例圖，可以從圖中直觀地看到小波母函數(shù)是滿足前兩個(gè)條件的。小波母函數(shù)既然是一個(gè)波，說明也是具有頻率的，將小波母函數(shù)與采集到的信號(hào)相乘并且積分可以篩選出信號(hào)在小波母函數(shù)在非0部分相近的頻率成分。不同于傅里葉變換的是，小波變換的基函數(shù)并不是具有一個(gè)特定的頻率，而是有一個(gè)頻率范圍，去篩選一個(gè)范圍內(nèi)的頻率成分，類似于一個(gè)帶通濾波器。小波變換的公式：（3-10）從公式可以看出，不同于傅里葉變換，變量只有頻率，小波變換有兩個(gè)變量：尺度和平移量。尺度控制小波函數(shù)的伸縮，平移量控制小波函數(shù)的平移。尺度就對(duì)應(yīng)于頻率（反比），平移量

τ就對(duì)應(yīng)于時(shí)間。下圖是我們對(duì)圖3-20進(jìn)行一個(gè)放縮。圖3-21可以通過對(duì)小波函數(shù)進(jìn)行放縮來解釋它為什么擁有動(dòng)態(tài)分辨率，如上圖，中間的圖，受到了擠壓，尺度較小，頻率就相應(yīng)提高，右側(cè)的圖被拉伸，尺度較大，頻率相應(yīng)減小，這不正是所需要的“低頻，寬窗，差的時(shí)間分辨率，好的頻域分辨率；高頻，窄窗，好的時(shí)間分辨率，差的頻域分辨率”。有很多種類小波母函數(shù)，比如Haar小波，db系列小波，sym系列小波，coif系列小波等等，如何使用這些小波要看具體情況，各有不同。1.3連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換公式為：（3-11）接下來我們對(duì)一個(gè)信號(hào)進(jìn)行連續(xù)小波變換來解釋這個(gè)公式，下圖藍(lán)色部分為小波函數(shù)，黃色部分為信號(hào)。

圖3-22如上圖，選擇較小的對(duì)小波母函數(shù)進(jìn)行縮放，此時(shí)小波函數(shù)頻率較高，窗子較窄，用來篩選高頻部分，小波函數(shù)在時(shí)間軸上平移，每一次平移就相乘再積分，在該母函數(shù)下，時(shí)間分辨率較好，頻率分辨率較差。圖3-23如上圖，將增大，此時(shí)小波函數(shù)頻率降低，窗子變寬，用來篩選中頻部分。小波函數(shù)在時(shí)間軸上平移，每一次平移就相乘再積分，時(shí)間分辨率變差，頻率分辨率變好。圖3-24如上圖，將進(jìn)一步增大，此時(shí)小波函數(shù)頻率進(jìn)一步降低，窗子更寬，用來篩選低頻部分，此時(shí)窗子很寬，時(shí)間分辨率很差，頻率分辨率很好。這樣就可以很好的解釋連續(xù)小波變換是如何完成我們所需要的動(dòng)態(tài)分辨率，通過改變小波母函數(shù)的尺度來改變窗子大小。1.4離散小波變換盡管已經(jīng)能夠在電腦上計(jì)算離散形式的連續(xù)小波變換，但它還不是真正意義上的離散變換。因?yàn)樾〔?jí)數(shù)只是連續(xù)小波變換的采樣版，就信號(hào)重構(gòu)而言，由它提供的信息是高度冗余的，而這種冗余性又需要大量的計(jì)算資源。離散小波變換對(duì)于信號(hào)的分析和重構(gòu)來說可以提供充足的信息，并且計(jì)算時(shí)間極大地減少了。與連續(xù)小波變換相比，離散小波變換要更容易實(shí)現(xiàn)。離散小波變換稱為DWT，DWT有很多種實(shí)現(xiàn)方式，這里講的主要是Mallat算法來實(shí)現(xiàn)對(duì)小波的離散變換，之前在連續(xù)小波變換時(shí)我們是通過控制窗長(zhǎng)，也就是控制時(shí)間分辨率來達(dá)到動(dòng)態(tài)分辨率。小波母函數(shù)本質(zhì)上是一個(gè)帶通濾波器，可以通過小波母函數(shù)構(gòu)造一個(gè)高通濾波器和一個(gè)低通濾波器。比如一個(gè)信號(hào)中最高頻率為，高通濾波器就是篩選出（）的部分，低通濾波器就是篩選出（）的部分，如下圖：圖3-25這個(gè)過程可以稱為一次半子帶濾波。這里還要提出一個(gè)下采樣的概念，N倍下采樣的過程就是將采樣點(diǎn)進(jìn)行N倍稀釋，下圖是一個(gè)2倍下采樣的例子：圖3-26離散小波分解的過程可以簡(jiǎn)單描述為一層一層地進(jìn)行小波分解，一層小波分解就是進(jìn)行一次半子帶濾波和一次2倍下采樣。假設(shè)有原采樣信號(hào)N個(gè)點(diǎn)，信號(hào)最高頻率為，經(jīng)過一次高通濾波后，得到了的部分，再經(jīng)過一次2倍下采樣就變成了個(gè)點(diǎn)，我們將這個(gè)點(diǎn)稱為小波分解的高頻系數(shù)。經(jīng)過一次低通濾波后，我們得到的是部分，同樣經(jīng)過一次下采樣會(huì)得到小波分解的低頻系數(shù)，也就是說經(jīng)過一次小波分解后，總長(zhǎng)度還是N。當(dāng)經(jīng)過第一次小波分解后，我們可以得到的第一層小波分解的高頻系數(shù)和的第一層小波分解的低頻系數(shù)。第二層小波分解就是保持第一層小波分解高頻系數(shù)不變，把，個(gè)點(diǎn)的低頻系數(shù)當(dāng)做信號(hào)，再進(jìn)行一次小波分解，就可以得到個(gè)點(diǎn)的第二層高頻系數(shù)和個(gè)點(diǎn)的第二層低頻小波分解系數(shù)。當(dāng)經(jīng)過第二層小波分解，所有的加起來還是N個(gè)點(diǎn)，長(zhǎng)度還是不變的。依次類推，當(dāng)在不斷地小波分解下，直到層小波分解時(shí)，低頻系數(shù)和高頻系數(shù)都只剩下一個(gè)點(diǎn)了，下圖可以很清楚地演示出小波分解的過程。圖3-27是指采樣信號(hào)的