2025秋初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)（滬科版 安徽專用）上課課件 22.3 相似三角形的性質(zhì)

22.3相似三角形的性質(zhì)1.掌握相似三角形中相應(yīng)線段的比等于相似比.2.掌握相似三角形的周長比等于相似比.3.掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方.4.進(jìn)一步體會(huì)利用類比的思想研究相似圖形與全等圖形的方法，解決簡單的實(shí)際問題.5.探究經(jīng)歷“試驗(yàn)、猜想、證明”的過程，感受幾何命題的合理性，并通過證明確認(rèn)命題正確，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力.類比全等三角形的研究方法，來研究相似三角形的性質(zhì)

全等三角形相似三角形圖形性質(zhì)CABA'B'C'CABA'B'C'形狀相同，大小相同，完全重合整體：角：對(duì)應(yīng)角相等形狀相同，大小不一定不同，不一定能重合整體：角：對(duì)應(yīng)角相等線段：對(duì)應(yīng)邊相等對(duì)應(yīng)邊上的高線、中線相等對(duì)應(yīng)角的角平分線相等線段：對(duì)應(yīng)邊成比例，都等于相似比對(duì)應(yīng)邊上的高線之比等于相似比嗎？對(duì)應(yīng)角的角平分線之比等于相似比嗎？對(duì)應(yīng)邊上的中線之比等于相似比嗎？在相似三角形中，對(duì)應(yīng)邊上的高線之比等于相似比嗎？思路點(diǎn)撥：構(gòu)造包含高線在內(nèi)的相似三角形.A'B'C'D'ABCD

已知：如圖，△ABC∽△A′B′C′，它們的相似比為k，AD，A′D′是對(duì)應(yīng)的高.求證：合作探究在相似三角形中，對(duì)應(yīng)邊上的高線之比等于相似比嗎？證明：∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B=∠B′．又△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，∴∠ADB=∠

A′D′B′．∴△ABD∽△A′B′D′．∴

．反思：證明過程反復(fù)依賴于相似三角形的判定與性質(zhì)，強(qiáng)化對(duì)相似三角形判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用.A'B'C'D'ABCD歸納總結(jié)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比.符號(hào)語言：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比是k且AD⊥BC，A′D′⊥B′C′．∴．相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比呢？合作探究

已知：如圖，△ABC∽△A′B′C′，它們的相似比為k，AD，A′D′是對(duì)應(yīng)的中線.求證：A'B'C'D'ABCD證明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B′=∠B，

又∵AD，AD′分別為對(duì)應(yīng)邊BC，B′C′的中線，∴△ABD∽△A′B′D′.三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比合作探究

已知：如圖，△ABC∽△A′B′C′，它們的相似比為k，AD，A′D′是對(duì)應(yīng)的角平分線.求證：A'B'C'D'ABCD證明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B′=∠B，∠B′A′C′=∠BAC.又∵AD，A′D′分別為對(duì)應(yīng)角的平分線，∴∠BAD=∠△B′A′D′.∴△ABD∽△A′B′D′.三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比都等于相似比.相似三角形的性質(zhì)定理1A'B'C'ABCD'DFF'EE'符號(hào)語言相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比∵△ABC∽△

A′B′C′，相似比是k，且AD、A′D′是對(duì)應(yīng)邊的高線，BF、B′F′是對(duì)應(yīng)邊的中線，CE、C′E′是對(duì)應(yīng)角的角平分線，∴和對(duì)應(yīng)角平分線的比歸納總結(jié)做一做兩個(gè)相似三角形相似比是2∶5，其中一個(gè)三角形的一條高線為10，那么另一個(gè)三角形對(duì)應(yīng)的高線長度是

.4或25分析：相似三角形的對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比.解：設(shè)另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)的高線長度是h，則解得，h=4或h=25.或

所以另一個(gè)三角形對(duì)應(yīng)的高線長度是4或者是25.不確定是哪個(gè)三角形A'B'C'ABC思考相似三角形周長的比和面積的比分別與相似比有什么關(guān)系？已知：如圖，△ABC∽△A′B′C′，它們的相似比為k，求兩個(gè)三角形的周長比.解：∵

△ABC∽△A′B′C′，且它們的相似比是k，由等比性質(zhì)，得即△ABC與△A′B′C′的周長比等于相似比k.

A'B'C'D'ABCD思考相似三角形周長的比和面積的比分別與相似比有什么關(guān)系？已知∶如圖，△ABC∽△A′B′C′，它們的相似比為k，求兩個(gè)三角形的面積比.解：∵

△ABC∽△A′B′C′，且它們的相似比是k，根據(jù)三角形面積公式，得即兩三角形的面積比等于相似比的平方k2.

∴其對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，即

歸納總結(jié)相似三角形的性質(zhì)定理2相似三角形周長的比等于相似比.A'B'C'D'ABCD相似三角形的性質(zhì)定理3相似三角形面積的比等于相似比的平方.做一做已知兩個(gè)相似三角形的一對(duì)對(duì)應(yīng)邊分別為32cm，12cm.求這兩個(gè)三角形的周長比和面積比.相似三角形周長的比等于相似比.相似三角形面積的比等于相似比的平方.解：∵

兩個(gè)三角形相似，且一對(duì)對(duì)應(yīng)邊分別為32cm，12cm，∴兩個(gè)三角形的相似比為32∶12=

8∶3.∵相似三角形的周長比等于相似比，∴兩個(gè)三角形的周長比是8∶3.∵相似三角形的面積比等于相似比的平方，∴兩個(gè)三角形的面積比是64∶9.典型例題例1如圖，一塊鐵皮呈銳角三角形，它的邊BC=80cm，高AD=60cm.要把該鐵皮加工成矩形零件，使矩形的兩邊之比為2∶1，且矩形長的一邊位于邊BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上.求這個(gè)矩形零件的邊長.ABCD80cm60cmSRPQ因?yàn)椤皟蛇呏葹?∶1”，所以“矩形的長∶矩形的寬=2∶1”.要求的是矩形零件的邊長，不妨設(shè)其寬為xcm，則長為2xcm.矩形的一條長邊為PQ，可以試著找一下與之相關(guān)的相似三角形進(jìn)行求解.例2如圖，一塊鐵皮呈銳角三角形，它的邊BC=80cm，高AD=60cm.要把該鐵皮加工成矩形零件，使矩形的兩邊之比為2∶1，且矩形長的一邊位于邊BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上.求這個(gè)矩形零件的邊長.ABCD80cm60cmSRPQ解：如圖，矩形PQRS為加工后的矩形零件，邊SR在邊BC上，頂點(diǎn)P，Q分別在邊AB，AC上，△ABC的高AD交PQ于點(diǎn)E.設(shè)PS為xcm，則PQ為2xcm.∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC.解這個(gè)方程，得x=24，2x=48.答：這個(gè)矩形零件的邊長分別是48cm和24cm.用相似三角形的性質(zhì)定理1解決問題①找到對(duì)應(yīng)的相似圖形，并確定其相似比；②根據(jù)相似圖形確定對(duì)應(yīng)線段；③根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理1計(jì)算.歸納總結(jié)典型例題例3如圖，△ABC的面積為25，直線DE平行于BC分別交AB，AC于點(diǎn)D，E.如果△ADE的面積是9，求的值.ABCDE相似三角形面積的比等于相似比的平方.△ABC和△ADE和相似嗎？如果兩三角形相似，易得兩三角形的相似比再結(jié)合等比的性質(zhì)，易得AD與DB的比值解題關(guān)鍵典型例題例3如圖，△ABC的面積為25，直線DE平行于BC分別交AB，AC于點(diǎn)D，E.如果△ADE的面積是9，求的值.ABCDE解：∵

DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.由等比性質(zhì)，得典型例題例4如圖，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D．若△ABC的邊BC上的高為6，面積為.求△DEF的邊EF上的高和面積．ABCDEF用相似三角形的性質(zhì)解決問題①找到對(duì)應(yīng)的相似圖形，并確定其相似比；②根據(jù)相似圖形確定對(duì)應(yīng)線段；③根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算.①由“AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D”得△ABC∽△DEF，且相似比為AB∶DE=2∶1；②對(duì)應(yīng)邊有“AB與DE，AC與DF，BC與EF”；③計(jì)算.典型例題例4如圖，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D．若△ABC的邊BC上的高為6，面積為.求△DEF的邊EF上的高和面積．ABCDEF解：∵AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，∴△ABC∽△DEF，且其相似比為AB∶DE=2∶1.∴BC與EF是一對(duì)對(duì)應(yīng)邊.又有△ABC的邊BC上的高為6，∴△DEF的邊EF上的高為3.又有△ABC的面積為，∴△DEF的面積為.(1)如果兩個(gè)三角形相似，相似比為3∶5，那么對(duì)應(yīng)角平分線的比等于多少？______。(2)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比為0.4，那么相似比為______，對(duì)應(yīng)角平分線的比為______。3∶50.40.4(3)若兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊之比為4∶3，則它們的對(duì)應(yīng)高之比為________，對(duì)應(yīng)中線之比為________。4∶34∶31.填空：2.已知：△ABC∽△

A′B′C′，BC=3.6cm，B′C′=6cm，AE是△ABC的一條中線，

AE=2.4cm，求△

A′B′C′中對(duì)應(yīng)中線A′E′的長.解：∵

△ABC∽△

A′B′C′，且BC=3.6cm，B′C′=6cm，∴其相似比為3.6∶6=3∶5.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得解得A′E′=4.所以△

A′B′C′中對(duì)應(yīng)中線A′E′的長4cm.3.兩個(gè)相似三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的長分別是6cm和8cm，如果它們對(duì)應(yīng)的兩條角平分線的和為42cm，那么這兩條角平分線的長分別是多少？解：設(shè)較短的角平分線的長為xcm，它們的相似比為6∶8=3∶4.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得則較長的長為(42–x)cm.解這個(gè)方程，得x=18，42–x=24.答：這兩條角平分線的長分別為18cm，24cm.4.已知△ABC∽△A′B′C′，其相似比為3∶4.(1)△ABC的周長為24cm，則△A′B′C′的周長為_______；(2)△A′B′C′的面積為64cm2，則△ABC的面積為______.32cm36cm25.如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為BC，AC，AB邊的中點(diǎn)，求：(1)△DEF的周長與△ABC的周長之比；(2)△DEF的面積與△ABC的面積之比.ABCFED△ABC和△DEF和相似嗎？如果兩三角形相似，易得兩三角形的相似比解題關(guān)鍵相似三角形周長的比等于相似比.相似三角形面積的比等于相似比的