專項(xiàng)復(fù)習(xí)：相似三角形折疊問(wèn)題（分層練習(xí)）（綜合練）

相似三角形折疊問(wèn)題（分層練習(xí)）（綜合練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2022秋·福建福州·九年級(jí)?？计谀⑷切渭埰慈鐖D所示的方式折疊，使點(diǎn)落在邊上，記為點(diǎn)，折痕為．已知，，若，那么的長(zhǎng)度是（

）A． B．4 C． D．22．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖，在矩形紙片中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，把紙片按如圖所示的方式沿折疊，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，連接并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)G，當(dāng)G為線段中點(diǎn)時(shí)，線段的長(zhǎng)為（

）A． B．11 C．12 D．3．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考一模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)落在矩形內(nèi)點(diǎn)處，連接，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．4．（2022·山東淄博·統(tǒng)考二模）如圖矩形紙片ABCD中，，，若將矩形紙片折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為EF，則折痕EF的長(zhǎng)為（

）A． B．5cm C．4.8cm D．5．（2021秋·河南周口·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，等邊中，點(diǎn)，分別在，上，沿把折疊，使點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)落在邊上，若：：，則：（

）A．： B．： C．： D．：6．（2021·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，將沿直線折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，若，，那么線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．7．（2022·河北邯鄲·?？既＃┤鐖D，在矩形中，，．將矩形沿對(duì)角線折疊，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，則的長(zhǎng)是（

）A．1.5 B． C．1.4 D．18．（2023春·重慶榮昌·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，將點(diǎn)折疊到邊上點(diǎn)處，折痕為，連接，，若點(diǎn)是中點(diǎn)，則長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．9．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，矩形的邊，將矩形沿直線折疊到如圖所示的位置，線段恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)落在軸的點(diǎn)位置，點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．10．（2023·浙江杭州·校聯(lián)考二模）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形中，點(diǎn)E為的中點(diǎn)．連接，把沿直線折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，交對(duì)角線于點(diǎn)G，則的長(zhǎng)是（）

A． B． C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）、11．（2023春·湖北·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，E是邊上一點(diǎn)，將沿直線折疊，得到，當(dāng)點(diǎn)F落到矩形的對(duì)角線上時(shí)，線段的長(zhǎng)為．

12．（2023·安徽馬鞍山·?？家荒＃┤鐖D，折疊邊長(zhǎng)為的正方形紙片，折痕是，點(diǎn)落在處，分別延長(zhǎng)、交于點(diǎn)、，若是邊的中點(diǎn)，則，

13．（2023春·江蘇南京·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，將等邊折疊，折痕為，使點(diǎn)落在邊上得到點(diǎn)．若，則．14．（2023·山東濟(jì)南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形紙片，，點(diǎn)，分別在，上，把紙片如圖沿折疊，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，連接并延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)，則的值為．15．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）在矩形中，，將其沿對(duì)角線折疊，頂點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E（如圖1），交于點(diǎn)F；再折疊，使點(diǎn)D落在F處，折痕交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N（如圖2．則折痕的長(zhǎng)為．16．（2023春·湖北·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將矩形紙片折疊，折痕為，點(diǎn)M，N分別在邊，上，點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，且點(diǎn)F在矩形內(nèi)部，的延長(zhǎng)線交邊于點(diǎn)G，交邊于點(diǎn)H．，，當(dāng)點(diǎn)H為三等分點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)為．

17．（2022秋·河南南陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形的邊、分別在、軸上，將矩形沿對(duì)角線折疊，點(diǎn)落在了點(diǎn)處，與軸的交點(diǎn)為．已知點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．

18．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，，，為上一點(diǎn)，連接交對(duì)角線于點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在上，連接，則的長(zhǎng)為．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，矩形中，P為上一點(diǎn)，且，連接，把矩形沿著折疊，點(diǎn)B落到，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于Q，已知．（1）若，求；（2）若，求．20．（8分）（2023秋·廣東惠州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖所示的一張矩形紙片，將紙片折疊一次，使點(diǎn)A與C重合，再展開(kāi)，折痕EF交AD邊于E，交BC邊于F，分別連接AF和CE．（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）在線段AC上是否存在一點(diǎn)P，使得?若存在，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)P的位置，并予以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．（10分）（2021春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，連接，是對(duì)角線的中點(diǎn)，連接．當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)．當(dāng)平分時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，連接，點(diǎn)在上，將矩形沿直線折疊，折疊后點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且．①求的值；②連接，與是否相似？請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案1．B【分析】設(shè)，根據(jù)折疊的性質(zhì)用x表示出和，最后根據(jù)兩三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解．解：設(shè)，則由折疊的性質(zhì)可知：，，當(dāng)時(shí)，有，即：，解得：；故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形相似的性質(zhì)，掌握“相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例”是解題的關(guān)鍵．2．A【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)與交于點(diǎn)，利用兩角對(duì)應(yīng)相等求證，即可得出，然后利用勾股定理求出，即可解決問(wèn)題．解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)與交于點(diǎn)，如圖：，由折疊與對(duì)應(yīng)，得，，∵，，∴，即又∵，∴，∴，在中，，而點(diǎn)G為線段中點(diǎn)，∴，∴，∴．故選A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了翻折變換，矩形性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，通過(guò)翻折變換推出，進(jìn)而利用利用角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得出是解題的關(guān)鍵．3．D【分析】如圖所示，過(guò)作于，根據(jù)折疊可知是等腰三角形，可證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．解：如圖所示，過(guò)作于，∵將沿折疊，使點(diǎn)落在矩形內(nèi)點(diǎn)處，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴是等腰三角形，∴是中點(diǎn)，平分，且平分，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴，根據(jù)題意，矩形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，即，∴在中，，∴，即，∴，∵，∴，故選：D．【點(diǎn)撥】本題中主要考查矩形，直角三角形，相似三角形的綜合，理解矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．D【分析】過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于G，根據(jù)四邊形ABCD為矩形，得出∠D=∠DCB=90°，AB=CD=6cm，AD=BC=8cm，根據(jù)勾股定理AC=，可證四邊形EGCD為矩形，然后再證△EFG∽△ACD，得出，即即可．解：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于G，∴∠EGF=∠EDC=90°，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠D=∠DCB=90°，AB=CD=6cm，AD=BC=8cm，AC=，∴∠EDC=∠D=∠DCB=90°，∴四邊形EGCD為矩形，∴EF=CD=6cm，∠AEG=∠DEG=90°，∵折痕為EF，∴EF⊥AC，∴∠DAC+∠AEG=∠AEG+∠FEG=90°，∴∠DAC=∠FEG，∴△EFG∽△ACD，∴，即，解得cm．故選D．【點(diǎn)撥】本題考查矩形判定與性質(zhì)，折疊性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，掌握矩形判定與性質(zhì)，折疊性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．D【分析】設(shè)，則，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得：，，再通過(guò)證明∽即可證明：的值．解：連接，，：：，設(shè)，則，是等邊三角形，，，由折疊的性質(zhì)可知：是線段的垂直平分線，，，，，，，，，∽，：：，即：：，故選：．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟知等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，證明三角形的相似是解題的關(guān)鍵．6．B【分析】首先根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)折疊前后的兩個(gè)三角形全等得到CD的長(zhǎng)以及∠CDE=90°，然后證明△CDE∽△CBA，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出DE的長(zhǎng)．解：連接AE，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得：，∵將Rt△ABC沿直線DE折疊使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為DE，∴△CDE≌△ADE，∴CD=AD=AC=，∠CDE=90°，∵△ABC是直角三角形，∠B=90°，∴∠CDE=∠B，又∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CBA，∴，∴，∴DE=．故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，能夠識(shí)別常見(jiàn)的三角形相似的模型是解題的關(guān)鍵．7．C【分析】設(shè)與交于，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到．求得．根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到．設(shè)，則．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．解：設(shè)與交于，，．由翻折的性質(zhì)可知：．．．由翻折的性質(zhì)可知：，．，．在和中，，．，在矩形中，，，，．設(shè)，則．在中，依據(jù)勾股定理得：，解得：．．，，，，，，即，解得：．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換（折疊問(wèn)題），相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．A【分析】依據(jù)矩形的性質(zhì)以及折疊，即可得到，，的長(zhǎng)；再根據(jù)，利用對(duì)應(yīng)邊成比例即可得的長(zhǎng)．解：矩形中，，

，又是的中點(diǎn)，，中，，由題可得，，，，，，即，解得，故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了折疊問(wèn)題、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，翻折變換折疊問(wèn)題實(shí)質(zhì)上就是軸對(duì)稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．9．D【分析】首先證明，求出，連結(jié)，設(shè)與交于點(diǎn)F，然后求出，可得，再用含的式子表示出，最后在中，利用勾股定理構(gòu)建方程求出即可解決問(wèn)題．解：∵矩形的邊，，∴，，，由題意知，∴，又∵，∴，∴，由折疊知，，∴，∴，即，連接，設(shè)與交于點(diǎn)F，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，，，∴，由折疊知，，∴，∵在中，，∴，解得：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：D．

【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，通過(guò)證明三角形相似，利用相似三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．10．B【分析】根據(jù)題意，延長(zhǎng)交于H連，通過(guò)證明、得到，再由得到，進(jìn)而即可求得的長(zhǎng)．解：延長(zhǎng)交于H，連接，

∵由沿折疊得到，∴，，∵E為中點(diǎn)，正方形邊長(zhǎng)為1，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形全等的判定及性質(zhì)、三角形相似的判定及性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)幾何知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．11．【分析】根據(jù)余角性質(zhì)得出，證明，得出，求出．解：在矩形中，，，根據(jù)折疊可知，點(diǎn)與點(diǎn)F關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，解得：．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì),軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，證明，是解題的關(guān)鍵．12．【分析】連接，可證得，則，設(shè)，則，利用勾股定理求得，再由，即可求得答案．解：如圖，連接，

四邊形是正方形，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，由折疊得：，，，，，，在和中，，，，設(shè)，則，，，在中，，，解得：，，，，，，，，，即，．故答案為：，．【點(diǎn)撥】此題考查了折疊的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．此題有一定難度，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．13．【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得到，由折疊的性質(zhì)得到，設(shè)，則，然后求出的周長(zhǎng)，再證明，根據(jù)相似三角形周長(zhǎng)之比等于相似比進(jìn)行求解即可．解：∵是等邊三角形，∴，由折疊的性質(zhì)可得，設(shè)，則，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟知相似三角形的周長(zhǎng)之比對(duì)應(yīng)相似比是解題的關(guān)鍵．14．【分析】利用矩形判定及性質(zhì)證得，根據(jù)折疊性質(zhì)則可得出是的垂直平分線，則由直角三角形性質(zhì)及矩形性質(zhì)證明相似三角形判定推出，，即可求得結(jié)果．解：過(guò)作于，設(shè)交于，如圖：四邊形是矩形，，，，四邊形是矩形，，，，把紙片如圖沿折疊，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，是的垂直平分線，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的折疊問(wèn)題，掌握折疊的性質(zhì)、矩形及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．【分析】首先折疊性質(zhì)求出DF長(zhǎng)度，再由和分別求出MG、NG的長(zhǎng)，相加即可．解：如圖MN與AD交于點(diǎn)G由折疊性質(zhì)可知，F(xiàn)G=DG，∵四邊形ABCD是矩形∴，∴，∵，∴∴∴BF=DF在中，由勾股定理可得∴則解得AF=3則BF=8-AF=8-3=5∴DF=5∴DG=∵，∴∴即解得MG=∵∴，∴∴即∴GN=則MN=MG+NG=故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、相似的判定和性質(zhì)、勾股定理以及矩形的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．4或【分析】根據(jù)點(diǎn)為三等分點(diǎn)，分兩種情況分別計(jì)算，根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明，得到，證明，求出的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，設(shè)，根據(jù)勾股定理列方程求出即可．解：當(dāng)時(shí)，，∵將矩形紙片折疊，折痕為，∴，，，，，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，

設(shè)，則，∴，∴，∵，∴，解得：，∴；當(dāng)時(shí)，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，解得：，∴；故答案為：4或．【點(diǎn)撥】本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，考查了分類討論的思想，根據(jù)勾股定理列方程求解是解題的關(guān)鍵．17．（）【分析】過(guò)點(diǎn)作軸，交點(diǎn)為，由折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得，由勾股定理可求，的長(zhǎng)，由平行線分線段成比例，的長(zhǎng)，即可求解．解：如圖，過(guò)點(diǎn)作軸，交點(diǎn)為，

點(diǎn)，，，將矩形沿對(duì)角線折疊，，，，，，，，，，點(diǎn)在第三象限，點(diǎn)（）故答案為：（）．【點(diǎn)撥】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形變化，平行線，解決本題的關(guān)鍵是掌握對(duì)稱的性質(zhì)．18．/【分析】根據(jù)折疊可得，根據(jù)矩形的性質(zhì)，勾股定理可求出的長(zhǎng)，根據(jù)等面積法可求出的長(zhǎng)，可證，可得，可求出的長(zhǎng)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，可證，由此可求出的長(zhǎng)，在中根據(jù)勾股定理即可求解．解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，由折疊得，，，四邊形是矩形，，，，，，∵，，解得，在中，∵，，，∴，∴，∴，即，則，∵，，，，，，且，∴，，，，，解得，，，，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)的綜合，掌握以上知識(shí)的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．19．（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得以及，可證得，即可求解；（2）先證明，可得，同（1）可得，從而得到，即可求解．（1）解：∵把矩形沿著折疊，點(diǎn)B落到，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于Q，∴，∵，∴，∴，即，解得，∴的長(zhǎng)為；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，即，解得或8，∵，∴，∴，同（1）可得，∴，即，解得．【點(diǎn)撥】本題考查矩形中的翻折變換，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)，能用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列方程解決問(wèn)題．20．（1）見(jiàn)分析；（2）存在，過(guò)點(diǎn)E作AD的垂線，交AC于點(diǎn)，點(diǎn)就是符合條件的點(diǎn)，見(jiàn)分析【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得出EF垂直平分AC，OA=OC，由矩形的性質(zhì)得出∠B=90°，AD∥BC，得出∠∠，∠EAO=∠FCO，由ASA證明△AOE≌△COF，得出AE=CF，證出四邊形AFCE是平行四邊形，即可得出結(jié)論；（2）過(guò)E作EP⊥AD交AC于P，則P就是所求的點(diǎn)．則∠AEP=90°，證出△AOE∽△AEP，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，則AE2=AO?AP，再由AO＝AC，即可得出結(jié)論．解：（1）證明：在矩形ABCD中,AD∥BC∴∠∠，∠＝∠由折疊可知：OA=OC∴△≌△∴AE=CF，又AE∥CF∴四邊形是平行四邊形又由折疊可知:AF=CF，∴四邊形是菱形.（2）存在，過(guò)點(diǎn)E作AD的垂線，交AC于點(diǎn)，點(diǎn)就是符合條件的點(diǎn).理由如下：由作法得：∠AEP=90°，由（1）得：AC⊥EF，