2025屆遼寧省撫順市省重點高中六校協(xié)作體高三下學(xué)期4月一模聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省撫順市省重點高中六校協(xié)作體2025屆高三下學(xué)期4月一模聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則下列判斷錯誤的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意可得，所以.故選：A.2.若向量，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，因為，所以.故選：B.3.下列各二項式中，其展開式不存在常數(shù)項的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)二項展開式的第為常數(shù)項.對A：由，由，所以展開式的第6項為常數(shù)項，即的展開式有常數(shù)項；對B：由，由，所以展開式的第5項為常數(shù)項，即的展開式有常數(shù)項；對C：由，由，所以的展開式的第9項為常數(shù)項，即的展開式有常數(shù)項；對D：由，由，所以的展開式不存在常數(shù)項.故選：D4.已知虛數(shù)單位，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，則，故.故選：D5.如圖，這是一塊宋代橢圓形玉璧，采用上好的和田青玉雕琢而成，該橢圓形玉璧長，寬，玉璧中心的橢圓形孔長，寬，設(shè)該玉璧的外輪廓為橢圓，玉璧中心的橢圓形孔對應(yīng)的曲線為橢圓，則（）A.的離心率等于的離心率B.的離心率小于的離心率C.的離心率大于的離心率D.與離心率無法比較大小【答案】B【解析】依題意可得的長軸長為，短軸長為的長軸長為1.6cm，短軸長為.因為，所以，又，所以越大，離心率越小，所以的離心率小于的離心率.故選：B.6.在正方體中，從直線以及該正方體的12條棱所在直線中任取2條直線，則這2條直線平行的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，，，，所以這2條直線平行的概率為.故選：D.7.如圖，在四邊形中，，則的最小值為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，則，，則在中利用余弦定理得，當(dāng)，即時，取得最小值.故選：C8.函數(shù)（）的最小值（）A.4 B. C.5 D.【答案】B【解析】當(dāng)時，，可視為與兩點間的距離，則P是直線上的動點，，可視為點到直線的距離，設(shè)與y軸交于點，過點P作，垂足為B，畫出示意圖如下：則待求為的最小值，當(dāng)三點共線，且時，點A到直線的距離為所求的最小值，此時，.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若關(guān)于的不等式在上恒成立，則該不等式稱為單位區(qū)間不等式.下列不等式是單位區(qū)間不等式的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】的解集為，A錯誤；當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），因為，所以在上恒成立，B正確；的解集為，在上恒成立，C正確；當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），因為，所以在上恒成立，D正確.故選：BCD.10.函數(shù)的部分圖象可能為（）A. B.C D.【答案】ABC【解析】對于選項A，由圖可知，的最小值為0，則，當(dāng)1時，，，的部分圖象可以如選項A所示.對于選項B，當(dāng)時，的部分圖象可以如選項B所示.對于選項C，由，得，即，當(dāng)時，的部分圖象可以如選項C所示.對于選項D，由，得，即，則，此時，排除D.故選：ABC11.已知函數(shù)對任意，都有，函數(shù)的定義域為，且的導(dǎo)函數(shù)滿足，則（）A.B.C.D.當(dāng)時，可能為偶函數(shù)【答案】BCD【解析】對A：令，得，即，A錯誤.對B：令，得，得.由，得，構(gòu)造函數(shù)，則，則為減函數(shù)，則，即，則，所以，故B正確；對C：令，得.根據(jù)B的結(jié)論，得：，所以，故C正確；對D：若，則可取滿足，則為偶函數(shù)，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若拋物線經(jīng)過點，則該拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為________．【答案】3【解析】將點代入拋物線方程，得.所以拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為3.故答案為：313.已知某社區(qū)有200人計劃暑假去云南或河南旅游，他們每人從云南與河南中選擇一個省份去旅游，將這200人分為東、西兩小組，經(jīng)過統(tǒng)計得到如下列聯(lián)表：去云南旅游去河南旅游合計東小組6040100西小組7030100合計13070200由表中數(shù)據(jù)可知，這200人選擇去云南旅游的頻率為__________（用百分?jǐn)?shù)表示），__________（填入“有”或“沒有”）的把握認為游客的選擇與所在的小組有關(guān).參考公式：.0.050.010.0013.8416.63510.828【答案】①.②.沒有【解析】由表中數(shù)據(jù)可知，這200人選擇去云南旅游的頻率為.因為，所以沒有的把握認為游客的選擇與所在的小組有關(guān).故答案為：，沒有.14.已知頂點為的圓錐有且僅有一條母線在平面內(nèi)，是母線的中點，點.若與圓錐底面所成的角為，圓錐外接球的表面積為，且圓錐底面圓心到直線的距離為，則與圓錐底面所成角的正弦值為__________.【答案】【解析】因為與圓錐底面所成的角為，所以圓錐的軸截面為正三角形，設(shè)圓錐外接球的半徑為，則圓錐的軸截面外接圓的半徑為，由正弦定理得，所以，解得.過點作，由題意知平面與圓錐相切于直線，則平面，設(shè)在內(nèi)的射影為，則為的中點，過點作的垂線，分別交于點，即，，又，則，，因為，且平面，則平面，又平面，平面，所以，，即，從而，又，，，所以，由，得，所以，，設(shè)與圓錐底面所成的角為，因為與圓錐底面垂直，又，，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù).（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若，證明：.（1）解：因為，所以，則，則.因為，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）證明：的定義域為，令，得.令，得，則在上單調(diào)遞減；令，得，則在上單調(diào)遞增..因為，所以，即.16.甲、乙兩人進行一場網(wǎng)球比賽，比賽采用三局兩勝制，每局都沒有平局，且甲第一局獲勝的概率為.從第二局開始，若上一局甲獲勝，則下一局甲獲勝的概率為，若上一局甲未獲勝，則下一局甲獲勝的概率為.（1）當(dāng)時，求甲第二局獲勝的概率.（2）設(shè)甲第一局未獲勝且第二局獲勝的概率為.①求；②記這場比賽需要進行的局?jǐn)?shù)為，求的分布列與期望.解：（1）設(shè)“甲第局獲勝”，其中，依題意得，當(dāng)時，由全概率公式得.，所以甲第二局獲勝的概率為.（2）①甲第一局未獲勝且第二局獲勝的概率為，依題意得，解得.②可能取值為2，3.，所以的分布列為23.17.如圖，在高為6的直三棱柱中，底面的周長為分別為棱，上的動點.（1）若，證明：平面.（2）求的最小值.（3）若，求平面與底面夾角的余弦值的最大值.（1）證明：因為底面的周長為12，且，所以，則，所以.在直三棱柱中，底面，又平面，則，又，平面，所以平面.（2）解：將直三棱柱的側(cè)面沿剪開展平成矩形，如圖所示，其中，所以，所以的最小值為.（3）解：設(shè)的中點分別為，連接，因為三棱柱是直三棱柱，則.因為，底面的周長為，所以，所以，則.以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，又，則，，則.設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，得.易得底面的一個法向量為，則，當(dāng)時，取得最小值，則取得最大值，且最大值為，所以平面與底面夾角的余弦值的最大值為.18.已知雙曲線的兩條漸近線的斜率之積為.（1）求的離心率.（2）若過點且斜率為1的直線與交于兩點（在左支上，在右支上），且.①求的方程；②已知不經(jīng)過點的直線與交于兩點，直線的斜率存在且直線與的斜率之積為1，證明：直線過定點.解：（1）由題意可知，則.（2）①解：直線的方程為，聯(lián)立得，.設(shè)，則，由，得，代入，得，則的方程為.②證明：設(shè)的方程為.聯(lián)立得，，且，.因為，所以，即，則，整理得，即.因為點不在直線上，所以，則，則，故直線過定點.19.已知正數(shù)的整數(shù)部分記為，例如.（1）若，求數(shù)列的前項和.（2）設(shè).①求；②求數(shù)列的通項公式；③求數(shù)列的前100項和.解：（1），當(dāng)時，.（2）①，因為，且，所以.②令，則，則，所以.因為，所以，又為正整數(shù)，所以.③方法一：因為，所以數(shù)列的前100項和為.方法二：數(shù)列的前100項和為.遼寧省撫順市省重點高中六校協(xié)作體2025屆高三下學(xué)期4月一模聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則下列判斷錯誤的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意可得，所以.故選：A.2.若向量，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，因為，所以.故選：B.3.下列各二項式中，其展開式不存在常數(shù)項的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)二項展開式的第為常數(shù)項.對A：由，由，所以展開式的第6項為常數(shù)項，即的展開式有常數(shù)項；對B：由，由，所以展開式的第5項為常數(shù)項，即的展開式有常數(shù)項；對C：由，由，所以的展開式的第9項為常數(shù)項，即的展開式有常數(shù)項；對D：由，由，所以的展開式不存在常數(shù)項.故選：D4.已知虛數(shù)單位，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，則，故.故選：D5.如圖，這是一塊宋代橢圓形玉璧，采用上好的和田青玉雕琢而成，該橢圓形玉璧長，寬，玉璧中心的橢圓形孔長，寬，設(shè)該玉璧的外輪廓為橢圓，玉璧中心的橢圓形孔對應(yīng)的曲線為橢圓，則（）A.的離心率等于的離心率B.的離心率小于的離心率C.的離心率大于的離心率D.與離心率無法比較大小【答案】B【解析】依題意可得的長軸長為，短軸長為的長軸長為1.6cm，短軸長為.因為，所以，又，所以越大，離心率越小，所以的離心率小于的離心率.故選：B.6.在正方體中，從直線以及該正方體的12條棱所在直線中任取2條直線，則這2條直線平行的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，，，，所以這2條直線平行的概率為.故選：D.7.如圖，在四邊形中，，則的最小值為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，則，，則在中利用余弦定理得，當(dāng)，即時，取得最小值.故選：C8.函數(shù)（）的最小值（）A.4 B. C.5 D.【答案】B【解析】當(dāng)時，，可視為與兩點間的距離，則P是直線上的動點，，可視為點到直線的距離，設(shè)與y軸交于點，過點P作，垂足為B，畫出示意圖如下：則待求為的最小值，當(dāng)三點共線，且時，點A到直線的距離為所求的最小值，此時，.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若關(guān)于的不等式在上恒成立，則該不等式稱為單位區(qū)間不等式.下列不等式是單位區(qū)間不等式的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】的解集為，A錯誤；當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），因為，所以在上恒成立，B正確；的解集為，在上恒成立，C正確；當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），因為，所以在上恒成立，D正確.故選：BCD.10.函數(shù)的部分圖象可能為（）A. B.C D.【答案】ABC【解析】對于選項A，由圖可知，的最小值為0，則，當(dāng)1時，，，的部分圖象可以如選項A所示.對于選項B，當(dāng)時，的部分圖象可以如選項B所示.對于選項C，由，得，即，當(dāng)時，的部分圖象可以如選項C所示.對于選項D，由，得，即，則，此時，排除D.故選：ABC11.已知函數(shù)對任意，都有，函數(shù)的定義域為，且的導(dǎo)函數(shù)滿足，則（）A.B.C.D.當(dāng)時，可能為偶函數(shù)【答案】BCD【解析】對A：令，得，即，A錯誤.對B：令，得，得.由，得，構(gòu)造函數(shù)，則，則為減函數(shù)，則，即，則，所以，故B正確；對C：令，得.根據(jù)B的結(jié)論，得：，所以，故C正確；對D：若，則可取滿足，則為偶函數(shù)，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若拋物線經(jīng)過點，則該拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為________．【答案】3【解析】將點代入拋物線方程，得.所以拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為3.故答案為：313.已知某社區(qū)有200人計劃暑假去云南或河南旅游，他們每人從云南與河南中選擇一個省份去旅游，將這200人分為東、西兩小組，經(jīng)過統(tǒng)計得到如下列聯(lián)表：去云南旅游去河南旅游合計東小組6040100西小組7030100合計13070200由表中數(shù)據(jù)可知，這200人選擇去云南旅游的頻率為__________（用百分?jǐn)?shù)表示），__________（填入“有”或“沒有”）的把握認為游客的選擇與所在的小組有關(guān).參考公式：.0.050.010.0013.8416.63510.828【答案】①.②.沒有【解析】由表中數(shù)據(jù)可知，這200人選擇去云南旅游的頻率為.因為，所以沒有的把握認為游客的選擇與所在的小組有關(guān).故答案為：，沒有.14.已知頂點為的圓錐有且僅有一條母線在平面內(nèi)，是母線的中點，點.若與圓錐底面所成的角為，圓錐外接球的表面積為，且圓錐底面圓心到直線的距離為，則與圓錐底面所成角的正弦值為__________.【答案】【解析】因為與圓錐底面所成的角為，所以圓錐的軸截面為正三角形，設(shè)圓錐外接球的半徑為，則圓錐的軸截面外接圓的半徑為，由正弦定理得，所以，解得.過點作，由題意知平面與圓錐相切于直線，則平面，設(shè)在內(nèi)的射影為，則為的中點，過點作的垂線，分別交于點，即，，又，則，，因為，且平面，則平面，又平面，平面，所以，，即，從而，又，，，所以，由，得，所以，，設(shè)與圓錐底面所成的角為，因為與圓錐底面垂直，又，，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù).（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若，證明：.（1）解：因為，所以，則，則.因為，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）證明：的定義域為，令，得.令，得，則在上單調(diào)遞減；令，得，則在上單調(diào)遞增..因為，所以，即.16.甲、乙兩人進行一場網(wǎng)球比賽，比賽采用三局兩勝制，每局都沒有平局，且甲第一局獲勝的概率為.從第二局開始，若上一局甲獲勝，則下一局甲獲勝的概率為，若上一局甲未獲勝，則下一局甲獲勝的概率為.（1）當(dāng)時，求甲第二局獲勝的概率.（2）設(shè)甲第一局未獲勝且第二局獲勝的概率為.①求；②記這場比賽需要進行的局?jǐn)?shù)為，求的分布列與期望.解：（1）設(shè)“甲第局獲勝”，其中，依題意得，當(dāng)時，由全概率公式得.，所以甲第二局獲勝的概率為.（2）①甲第一局未獲勝且第二局獲勝的概率為，依題意得，解得.②可能取值為2，3.，所以的分布列為23.17.如圖，在