河北省N20名校聯合體2024-2025學年高二下學期4月期中考試數學試題（含解析）

NT20名校聯合體4月高二年級期中考試數學考試說明：1.本試卷共150分.考試時間120分鐘.2.請將各題答案填涂在答題卡上.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，若，則實數的取值范圍為（）A.B.C.D.2.若，則（）A.B.C.D.3.若數列滿足，則該數列前12項和（）A.22B.32C.42D.534.已知是兩個單位向量，在上的投影向量為，則向量在向量上的投影向量為（）A.B.C.D.5.除以7的余數為（）A.3B.2C.4D.56.已知是定義在上的奇函數，且滿足，當時，，則（）A.B.C.D.7.已知橢圓的上頂點，左頂點，下頂點，右頂點分別是，直線均與橢圓相切，則菱形周長的取值范圍是（）A.B.C.D.8.小朋友們在如圖所示的正八邊形的游樂場玩丟手絹.場地被等分成8段（標記為到），每個點有一個小朋友，小明從點處開始選擇順時針或逆時針方向在8個小朋友身后放手絹，小明每跑完一段（例如）需要3秒，在每個點都會隨機選擇順時針或逆時針方向繼續(xù)跑動.若小明一直不停下來，21秒恰好在點的概率是（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.已知隨機變量，則下列說法正確的是（）A.B.C.隨機變量的密度曲線比隨機變量的密度曲線更“瘦高”D.10.已知函數，曲線在點處的切線方程為.則下列結論正確的有（）A.B.C.若在上有最大值，則的取值范圍為D.11.正三棱臺上下底面邊長分別為2和6，側棱長為分別為兩個底面正三角形的中心.點在側面內運動（包括邊界），，點分別在線段上，且滿足，則下列結論正確的是（）A.存在一個球和正三棱臺的所有面都相切B.的最小值為C.若存在唯一的點使得，則D.平面把線段分割成的兩段長度之比為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的常數項為__________.13.記為數列的前項和，且，當取最大值時，__________.14.的內角的對邊分別為，若，且的面積為，則的最大值為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）已知函數.（1）求函數的圖象在點處的切線方程.（2）求函數的單調區(qū)間；16.（本小題滿分15分）某學校器樂大賽有7名選手進入最后決賽，6名評委給出評分如下表，按去掉2個最高分和2個最低分規(guī)則計算選手成績：選手評委1評委2評委3評委4評委5評委619.609.409.809.209.659.3029.109.359.158.959.379.3539.709.559.659.459.759.5048.908.859.058.608.958.7059.209.309.509.159.409.1068.808.708.408.208.358.2578.008.158.358.808.258.05（1）試確定冠軍、亞軍、季軍選手的序號；（2）若比賽結束后從7名選手中任選3名談參賽體會，設談體會的3人中含有冠軍或亞軍的人數為，求的分布列和數學期望以及方差.17.（本小題滿分15分）已知橢圓，橢圓上一點到焦點的最短距離為，長軸長是短軸長的2倍.（1）求橢圓方程；（2）若點在橢圓外，過作直線交橢圓于兩點，橢圓的上頂點為（不重合）.求的值.18.（本小題滿分17分）數列滿足.（1）證明：數列是等差數列；（2）令，求數列的前項和.19.（本小題滿分17分）在平行六面體中，，.（1）以為空間的一個基底，求平面的一個法向量；（2）求點到平面的距離；（3）若動點滿足，且，則的最小值為多少？NT20名校聯合體4月高二年級期中考試數學參考答案1.D【解析】因為，所以.即的取值范圍為.故選：D.2.A【解析】若，則，故，所以.故選：A.3.C【解析】由等差數列的性質可知：，.故選：C.4.C【解析】由題意得，在上的投影向量為，則，因為是單位向量，即，所以，向量在向量上的投影向量為，，向量在向量上的投影向量為.故選：C.5.B【解析】，前面10項都是7的倍數，最后一項不是7的倍數，除以7的余數為除以7的余數，又除以7的余數為2，故除以7的余數為2.故選：B.6.B【解析】奇函數滿足函數是周期為4的函數，當時，.，故選：B.7.D【解析】橢圓具有對稱性，不妨討論在第一象限.設與相切于，切線方程：.，又，當，即時取等號，菱形周長的取值范圍是.故選：D.8.C【解析】小明21秒后恰好停在，則小明不停的狀態(tài)下走了7段路恰好停在點，有以下情況.（1）從處順時針走6步返回1步，即順時針走6段小路，逆時針走1段小路，此情況有種可能；（2）從處逆時針走5步返回2步，即順時針走2段小路，逆時針走5段小路，此情況有種可能；由（1）（2）可知所求概率為.故選：C.9.AD【解析】選項A，根據正態(tài)分布曲線的對稱性，可得，故A正確；選項B，因為，這里，那么，而不是2，故錯誤.選項C，由正態(tài)分布的概率性質可知，越大，則正態(tài)分布曲線越矮胖，故C錯誤；選項D，因為隨機變量，所以，，因為，又，所以，故D正確.故選：AD.10.ACD【解析】依題意可知，點為切點，代入切線方程可得，，即.又由，得.而由切線的斜率可知，，即，由，解得，故A正確，B錯誤；對于C，，得在上單調遞增，在上單調遞減，所以的極大值為，В..因為在區(qū)間上有最大值，的取值范圍為，故C正確；對于D，，故D正確.故選：ACD.11.BC【解析】補全圖形成正三棱錐，根據已知數據易得，是特殊的正四面體.棱長，則正四面體的體高，可易得正三棱錐內切球半徑：選項A.根據以上數據，要使得球和正三棱臺的所有面都相切，棱臺的高為，則必須是用和底面平行的中截面截取正三棱錐所得到的正三棱臺，故A錯誤；選項B，因為點到側面的距離為正四面體的體高，則點在側面的軌跡是圓，圓心是側面對應的正三角形的中心，半徑為，此時為正三角形外接圓的半徑，所以的最小值為，故B正確；選項C，設為的中點，做的中垂截面三角形，考慮過點垂直于的截面分別交于，根據相似比例易得，此時的中垂面與側面的交線為梯形的中位線，且剛好與點的軌跡圓相切.即存在唯一的點使得，意味著與重合.所以，故C正確；選項D，根據，易得為的中點，設的中點為.平面與的交點為，作出的中垂截面三角形，易得：，由勾股定理得：，三角形和三角形相似，根據相似比易得，，所以，故D錯誤.故選：BC.12.60【解析】的展開式的通項公式為，令，得所以展開式中的常數項為.13.9【解析】方法一：（利用二次函數的對稱性）由易證得數列為等差數列，并計算，再利用得，函數圖象開口向下，根據二次函數的對稱性可得9，當時，取得最大值.方法二：（利用二次函數的最值）由易證得數列為等差數列，并計算，再利用得，所以可得，所以當吋，取得最大值.14.8【解析】由余弦定理可得：，又，，因此，故.所以，即，即，當且僅當時，等號成立，故的最大值為8.15.【解析】（1）已知函數于是而所以得即.（2）令則.由得當時，單調遞增；當時，單調遞減.從而.即.所以函數的單調減區(qū)間為，無增區(qū)間16.【解析】（1）考察各選手得分發(fā)現，4，6，7號選手得分較低，不可能進入前三名，按規(guī)則計算其余選手得分如下：1號選手平均得分，同理可得2，3，5號選手平均得分所以本次決賽的冠軍，亞軍，季軍分別是3號，1號，2號選手.（2）的可能取值為，所以隨機變量的分布列為012所以，故隨機變量的數學期望為17.【解析】（1）當時，由題得，解出，即故橢圓方程為：.同理可得當時，橢圓方程為故橢圓方程為或（2）由題知：點在橢圓外得橢圓方程為設直線方程為，令直線與橢圓聯立，即得因為，所以.表示出將韋達定理代入得18.【解析】（1）方法一：（從定義出發(fā)）.是首項為，公差為1的等差數列.方法二：，同