湖南省婁底市部分學(xué)校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

湖南省婁底市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．若，，則（

）A． B．C． D．2．若（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．3．已知向量，，若，則（

）A． B．1 C．2 D．44．已知是公差為2的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列，則等于（

）A．63 B．72 C．81 D．905．設(shè)為銳角，若，則（

）A． B． C． D．6．已知直線和圓，則直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．相交或相切7．已知函數(shù)且，若在上為減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知定義在上的函數(shù)滿足，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列命題中，正確的命題為（

）A．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若，，則B．將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)后，方差可能會(huì)變C．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則D．對(duì)于回歸分析，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大，說(shuō)明擬合效果越好10．已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的有（

）A．不是的周期B．成立的充要條件是，C．的圖象可通過(guò)的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到D．在區(qū)間上單調(diào)遞減11．已知定義在上的函數(shù)滿足，若時(shí)，，則下列選項(xiàng)正確的有（

）A．的最小正周期B．的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)C．D．函數(shù)在區(qū)間上所有的零點(diǎn)之和為2三、填空題12．展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為．13．如圖，在中，，，為的中點(diǎn)，沿將翻折至的位置，使得平面平面，則三棱錐外接球的表面積為．14．甲、乙、丙3臺(tái)機(jī)床加工統(tǒng)一型號(hào)的零件，它們加工的零件依次占總數(shù)的，，，已知甲機(jī)床加工的次品率為0.05，乙機(jī)床加工的次品率為0.15，丙機(jī)床加工的次品率為0.15，加工出來(lái)的零件混放在一起，現(xiàn)從中任取一個(gè)零件為次品的概率為，該次品來(lái)自乙機(jī)床的概率為．四、解答題15．在中，角，，對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，滿足．(1)求；(2)若，求的取值范圍．16．已知橢圓，為的左焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)到的距離為，且離心率為，直線過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于、兩點(diǎn)（、異于左、右頂點(diǎn)），求直線與的斜率之積．17．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，側(cè)面為等腰直角三角形，平面平面，且，．

(1)求證：；(2)求平面與平面夾角的余弦值．18．慢跑是一項(xiàng)簡(jiǎn)單且高效的有氧運(yùn)動(dòng)，長(zhǎng)期堅(jiān)持能顯著提升身體健康水平，它通過(guò)增強(qiáng)心肺功能、促進(jìn)代謝、改善情緒等多方面作用，成為大眾健身的首選方式之一．某志愿者協(xié)會(huì)隨機(jī)對(duì)全市100位居民的跑步時(shí)間進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，并將問(wèn)卷中的這100人根據(jù)其跑步時(shí)長(zhǎng)分組統(tǒng)計(jì)如圖所示．(1)求的取值以及這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)（結(jié)果精確到）；(2)已知跑步時(shí)長(zhǎng)在分鐘內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)之比為，若在該區(qū)間的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行采訪，求2人均為男生的概率；(3)用樣本估計(jì)總體，在全市慢跑居民中隨機(jī)抽取3人，記抽取的3人中時(shí)長(zhǎng)在區(qū)間中的人數(shù)為，求的分布列及期望．19．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求證：總存在唯一的極小值點(diǎn)，且．

湖南省婁底市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題參考答案題號(hào)12345678910答案BADCCDABADBCD題號(hào)11答案BC1．B【詳解】，解得，，又，.故選：B.2．A【詳解】由已知得，化簡(jiǎn)得.故選：A.3．D【詳解】由已知得：，，所以，解得.故選：D4．C【詳解】由是公差為2的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列，可得，即，解得，代入，故.故選：C.5．C【詳解】.故選：C6．D【詳解】由題意，直線可化為：，直線過(guò)定點(diǎn)，代入圓中，易知該點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，所以直線1與圓相交或相切.故選：D.7．A【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，此時(shí)，若當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則，此時(shí)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，解得，又，所以.故選：A.8．B【詳解】設(shè)，則，因?yàn)?，所以，又，所以恒成立，所以在定義域上單調(diào)遞增．故原不等式可轉(zhuǎn)化為，又，所以，所以，所以，故不等式的解集為．故選：B9．AD【詳解】A選項(xiàng)：，，，正確；B選項(xiàng)：將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)后，方差恒不變，錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，若，則，則，錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：對(duì)于回歸分析，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大，說(shuō)明擬合效果越好，正確.故選：AD10．BCD【詳解】A：是的最小正周期，故是的周期，錯(cuò)．B：當(dāng)時(shí)，，，則，，正確．C：把的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，正確．D：，則，在區(qū)間上單調(diào)遞減，正確．故選：BCD11．BC【詳解】因?yàn)椋允瞧婧瘮?shù)；因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，則，因而，所以的最小正周期，故A錯(cuò)誤；由，則的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，故B正確；，故C正確；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增且值域?yàn)椋驗(yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以在單調(diào)遞減且值域?yàn)?，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以在的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)且值域?yàn)?，所以函?shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，且所有零點(diǎn)之和為-2，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12．【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為（且），令，解得，所以，即展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：13．【詳解】在中，，，為的中點(diǎn)，則，平面平面，平面平面，平面，且，平面，又，取的中點(diǎn)，連接，則，過(guò)作，則平面，設(shè)三棱錐的外接球球心為，則球心必位于上，如圖：設(shè)其半徑為，則，，，解得，三棱錐的外接球的表面積為．故答案為：14．0.1/0.3/【詳解】記為事件“零件為第臺(tái)車(chē)床加工”，則，，，B為事件“任取一個(gè)零件為次品”，由全概率公式得：，由貝葉斯公式得：.故答案為：0.1；0.3.15．(1)(2)【詳解】（1），，在中，由正弦定理得，因?yàn)椋瑒t,，則．因?yàn)?，所以．?）由（1）知，又，則由正弦定理，，，，又在中，,則，，，，故.16．(1)(2)【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由已知點(diǎn)、，依題意得，解得，所以橢圓的方程為.（2）依題意可得直線的斜率存在且不為，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，由得，，可得，由韋達(dá)定理可得，?，已知，則，同理可得，所以.17．(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）底面為直角梯形，，為直角，，，，，得，所以，又平面平面，平面平面，平面，則平面，又平面，，又側(cè)面為等腰直角三角形，，，又，平面，又平面，所以，．（2）平面平面，平面平面，可過(guò)點(diǎn)作垂足為，由題意知為等腰直角三角形，故點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且，分別以過(guò)點(diǎn)與直線，平行的直線為軸，軸，以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，

所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，，，則，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18．(1)，56.7(2)(3)分布列見(jiàn)解析，【詳解】（1）根據(jù)題意可得，解得；因?yàn)榍?組的頻率依次為0.1，0.2，0.3，，所以中位數(shù)在50和60之間，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，所以該市群眾每天慢跑時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)約為56.7.（2）慢跑時(shí)長(zhǎng)在分鐘內(nèi)有人，因?yàn)槟猩鷶?shù)與女生數(shù)之比為，所以其中男生6人，女生4人，記“隨機(jī)抽取2人進(jìn)行采訪，2人均為男生”為事件，所以.（3）因?yàn)橛脴颖竟烙?jì)總體，所以任取1人時(shí)長(zhǎng)在的概率為，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，即，的可能取值為0，1，2，3，，，，，所以的分布列如下表：X0123P.19．（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）證明見(jiàn)解析．【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以