26屆高三備考核心微專題抽象函數(shù)及應(yīng)用

5.解決抽象函數(shù)的七大視角1.抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性2.抽象函數(shù)的對稱性與周期性3.賦值法解決抽象函數(shù)問題4.圖像法解決抽象函數(shù)問題5.求導(dǎo)公式（積分法）還原抽象函數(shù)6.抽象函數(shù)還原具體模型7.抽象函數(shù)求解析式1.抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性下面的例子將分析抽象函數(shù)模型的單調(diào)性與奇偶性，其所使用的方法就是賦值法，這是處理函數(shù)方程問題中最常見的手法.例1.定義在R上的單調(diào)函數(shù)滿足對任意x,y均有,試判斷的奇偶性.解：，故令，有又令，為奇函數(shù).例2．已知函數(shù)對任意，總有，且對，都有.判斷并用定義證明函數(shù)的單調(diào)性.解析：函數(shù)是上的減函數(shù)，證明如下：由題意，令，有，解得，任取，不妨設(shè)，則，因?yàn)?，則，所以，即，所以函數(shù)是上的減函數(shù).例3.設(shè)是定義在的函數(shù)，并且滿足，且當(dāng)時(shí)，．判斷的單調(diào)性并證明.解析：，故令，有又令，.令，故，，為單調(diào)減函數(shù).例4.設(shè)函數(shù)的定義域是R，對任意恒有，且當(dāng)時(shí)，．（1）求證：，且當(dāng)時(shí)，；（2）判斷在R上的單調(diào)性.解：（1），故令，有或者，當(dāng)時(shí)，，這與當(dāng)時(shí)，矛盾，故只有；又令，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，,對時(shí)恒成立.（2）令，，為單調(diào)減函數(shù).2.抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性函數(shù)對稱性主要有軸對稱和中心對稱兩種情況.函數(shù)對稱性研究的是一個(gè)函數(shù)本身所具有的性質(zhì).性質(zhì)1.軸對稱:函數(shù)圖象關(guān)于一條垂直于軸的直線對稱，則當(dāng)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離相等且函數(shù)值時(shí).我們就稱函數(shù)關(guān)于對稱.（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)）代數(shù)表示:(1).(2).即當(dāng)兩個(gè)自變量之和為一個(gè)定值，函數(shù)值相等時(shí),則函數(shù)圖像都關(guān)于直線對稱.一般地，若函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.特別地，偶函數(shù)(關(guān)于軸對稱)，，即當(dāng)橫坐標(biāo)到原點(diǎn)的距離相等(橫坐標(biāo)互為相反數(shù)），函數(shù)值相等.性質(zhì)2.中心對稱：函數(shù)上任意一點(diǎn)（）關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)（）也在函數(shù)圖像上，此時(shí)我們就稱函數(shù)為關(guān)于點(diǎn)()對稱的中心對稱圖像，點(diǎn)()為對稱中心.用代數(shù)式表示：(1).(2).一般地,若函數(shù)滿足,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.特別地，奇函數(shù)(關(guān)于原點(diǎn)對稱)，，即當(dāng)橫坐標(biāo)到原點(diǎn)的距離相等(橫坐標(biāo)互為相反數(shù)），函數(shù)值相反.（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)）性質(zhì)3.函數(shù)周期性有關(guān)結(jié)論:設(shè)是非零常數(shù)，若對于函數(shù)定義域內(nèi)的任一變量有下列條件之一成立，則函數(shù)是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期.(1).(2).(3).(4).3.函數(shù)的對稱性與周期性性質(zhì)4已知是定義在上的函數(shù)，若是奇函數(shù)，則的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱.性質(zhì)5.已知是定義在上的函數(shù)，若是偶函數(shù)，則的圖像關(guān)于直線對稱.性質(zhì)6.若函數(shù)同時(shí)關(guān)于直線與軸對稱，則函數(shù)必為周期函數(shù)，且.性質(zhì)7.若函數(shù)同時(shí)關(guān)于點(diǎn)與點(diǎn)中心對稱，則函數(shù)必為周期函數(shù)，且.（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)）性質(zhì)8.若函數(shù)既關(guān)于對稱，又關(guān)于直線軸對稱，則函數(shù)必為周期函數(shù)，且.性質(zhì)9.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，且，若與均為奇函數(shù)，則是周期函數(shù)，且為其一個(gè)周期.性質(zhì)10.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，且，若與均為偶函數(shù)，則是周期函數(shù)，且是其一個(gè)周期.性質(zhì)11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，且，若是奇函?shù)，是偶函數(shù)，則是周期函數(shù)，且為其一個(gè)周期.性質(zhì)12.周期性的應(yīng)用:(1).函數(shù)周期性的作用：簡而言之“窺一斑而知全豹”，只要了解一個(gè)周期的性質(zhì)，則得到整個(gè)函數(shù)的性質(zhì).(2).圖像：只要做出一個(gè)周期的函數(shù)圖象，其余部分的圖像可利用周期性進(jìn)行復(fù)制粘貼.(3).單調(diào)性：（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)）由于間隔的函數(shù)圖象相同，所以若函數(shù)在上單調(diào)增(減)，則在上單調(diào)增(減).二．典例分析例5．（2021新高考2卷）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．解析：因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，可得，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，所以，，所以，，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個(gè)選項(xiàng)未知.故選：B.例6．（2021全國甲卷）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則（

）A． B． C． D．解析：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以①；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因?yàn)椋?，令，由①得：，所以．由兩個(gè)對稱性可知，函數(shù)的周期．所以．故選：D．3.賦值法解決抽象函數(shù)問題例7．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點(diǎn)解析：因?yàn)椋瑢τ贏，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，故正確，對于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)無極值，故錯(cuò)誤.例8．（2021全國乙卷）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對稱，，則（

）A． B． C． D．解析：因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線對稱，所以，因?yàn)椋?，即，因?yàn)椋?，代入得，即，所以?因?yàn)?，所以，即，所?因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?lián)立得，，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以因?yàn)?，所?所以故選：D例9．（2022新高考1卷）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．解析：因?yàn)椋鶠榕己瘮?shù)，所以即，，所以，，則，故C正確；函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對稱，又，且函數(shù)可導(dǎo)，所以，所以，所以，所以，，故B正確，D錯(cuò)誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.故選：BC.4.圖像法解決抽象函數(shù)問題例10．函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)且，則使的取值范圍（

）A． B． C． D．解析：因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，，所以.因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，所以函數(shù)的草圖如圖所示，因，所以滿足已知的函數(shù)的圖象在第二、四象限，所以.故選：C5.求導(dǎo)公式（積分法）還原抽象函數(shù)已知的不等式中所含結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)的方向，，，，，，，，例11.已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對任意，都有，且，則不等式的解集為（）A． B． C． D．解析：設(shè)，，，，，，，，，即，解得，所以不等式解集為，故選D．例12．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，若，則函數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．解析：由得：，即，令，則，（為常數(shù)），，，又，，，則，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上所述：.故選：A.6.抽象函數(shù)還原具體模型若，則可構(gòu)造.特別地，當(dāng)時(shí)，可構(gòu)造.若，則可構(gòu)造.若，則可構(gòu)造（且）.若，則可構(gòu)造（且）.若，則可構(gòu)造若，則可構(gòu)造.例13．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點(diǎn)解析：當(dāng)時(shí)，對兩邊同時(shí)除以，得到，故可以設(shè)，則，當(dāng)肘，，則，令，得；令，得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，顯然，此時(shí)是的極大值，故D錯(cuò)誤.故選：.例14.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則A.B.C.D.解析：由余弦函數(shù)積化和差公式可得，考慮函數(shù)，則滿足題意.于是，周期為6，且，進(jìn)一步，故選A.7.抽象函數(shù)求解析式例15.已知函數(shù)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，且對都有，則_____．解析：因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，所以為一個(gè)常數(shù).令則，且所以，即，解得：．故答案為．三．習(xí)題演練1.（2014陜西卷）下列函數(shù)中，滿足“”的單調(diào)遞增函數(shù)是（）A.B.C. D.2．已知是定義域?yàn)榈膯握{(diào)函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)，都有，則的值為（）A．0 B． C． D．1解析：根據(jù)題意，令，為常數(shù)，可得，且，所以時(shí)有，將代入，等式成立，所以是的一個(gè)解，因?yàn)殡S的增大而增大，所以可以判斷為增函數(shù)，所以可知函數(shù)有唯一解，又因?yàn)椋?，即，所?故選：B.3．定義在R上的奇函數(shù)滿足，且在上是減函數(shù)，則（

）A． B．C． D．解析：滿足，所以的一個(gè)周期為4，又因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，且在R上的奇函數(shù)，所以在上是減函數(shù)，所以，即.故選：A.4．已知函數(shù)，在R上的導(dǎo)函數(shù)分別為，，若為偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．是R上的奇函數(shù) D．是R上的奇函數(shù)解析：已知為偶函數(shù)，可知關(guān)于對稱，所以關(guān)于對稱，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，可知關(guān)于對稱，所以關(guān)于對稱，又因?yàn)?，則，即，所以與關(guān)于對稱，因?yàn)殛P(guān)于對稱的點(diǎn)為，直線關(guān)于對稱的直線為，所以關(guān)于對稱，關(guān)于直線對稱，是偶函數(shù)，而關(guān)于對稱，，又，則，，，即是周期為4的偶函數(shù)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由關(guān)于直線對稱，，關(guān)于對稱，，則，，所以，即是周期為4的偶函數(shù)，由于是周期為4的偶函數(shù)，則，等號兩邊同時(shí)求導(dǎo)，可得，所以是周期為4的奇函數(shù)，同理，由于是周期為4的偶函數(shù)，則，等號兩邊同時(shí)求導(dǎo)，可得，是周期為4的奇函數(shù)，所以與均是周期為4的奇函數(shù)，故D選項(xiàng)正確；由于關(guān)于對稱，，，則，所以，故A選項(xiàng)正確；，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AD.5．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，且當(dāng)時(shí)，則下列結(jié)論中一定正確的是（

）A． B．C． D．解析：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，又因?yàn)?，則，，，，，則依次下去可知，則B正確；且無證據(jù)表明ACD一定正確.故選：B.6．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則（

）A． B．C． D．解析：令，，則，令，則則，，∴或，令，則，若，則，矛盾，∴，則，∴A選項(xiàng)錯(cuò)誤；令，則，∴B選項(xiàng)正確；令，則，則，即，C選項(xiàng)正確；由A、C選項(xiàng)中結(jié)論，令，則，則令，則，即，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.7．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，不恒為0，且