【金榜教程】2025高三總復(fù)習(xí)人教A版數(shù)學(xué)（理）配套練習(xí)：第5章 第3講

第頁第五章第3講(時間：45分鐘分值：100分)一、選擇題1.公比為2的等比數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，且a2a12＝16，則a5A.1 B.2C.4 D.8答案：A解析：∵a2a12＝16，∴aeq\o\al(2,7)＝16，∴a7＝4＝a5×22，∴a5＝1.2.[2025·安徽名校聯(lián)考]已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a3＝eq\f(3,2)，S3＝eq\f(9,2)，則公比q＝()A.1或－eq\f(1,2) B.－eq\f(1,2)C.1 D.－1或eq\f(1,2)答案：A解析：設(shè)數(shù)列的公比為q，∵a3＝eq\f(3,2)，S3＝eq\f(9,2)，∴a1q2＝eq\f(3,2)，a1(1＋q＋q2)＝eq\f(9,2).兩式相除得eq\f(1＋q＋q2,q2)＝3，即2q2－q－1＝0.∴q＝1或q＝－eq\f(1,2).3.[2025·泉州五校質(zhì)檢]在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1＝3，前三項的和S3＝21，則a3＋a4＋a5的值為()A.33 B.72C.84 D.189答案：C解析：由題意可知該等比數(shù)列的公比q≠1，故可由S3＝eq\f(3×1－q3,1－q)＝21，得q3－7q＋6＝0，解得q＝2或q＝－3(舍去)．所以a3＋a4＋a5＝3×(22＋23＋24)＝84，故選C.4.[2025·合肥質(zhì)檢]已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，則a10＝()A.64 B.32C.16 D.8答案：B解析：∵an＋1an＝2n，∴an＋2·an＋1＝2n＋1，兩式相除得eq\f(an＋2,an)＝2.∵a1＝1.∴a1，a3，a5，a7，a9構(gòu)成以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，∴a9＝16.又a10·a9＝29，∴a10＝25＝32.5.[2025·衡陽三聯(lián)]設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項和．已知a2·a4＝1，S3＝7，則S5＝()A.eq\f(33,4) B.eq\f(31,4)C.eq\f(17,2) D.eq\f(15,2)答案：B解析：依題意知，aeq\o\al(2,1)q4＝1，又a1>0，q>0，則a1＝eq\f(1,q2).又S3＝a1(1＋q＋q2)＝7，于是有(eq\f(1,q)＋3)(eq\f(1,q)－2)＝0，因此有q＝eq\f(1,2)，所以S5＝eq\f(41－\f(1,25),1－\f(1,2))＝eq\f(31,4)，選B.6.[2025·湖南重點中學(xué)調(diào)研]若等比數(shù)列{an}的公比q＝2，且前12項的積為212，則a3a6A.24 B.26C.28 D.212答案：C解析：由等比數(shù)列定義知a1a4a7a10＝a3·eq\f(1,q2)a6·eq\f(1,q2)a9·eq\f(1,q2)a12·eq\f(1,q2)＝a3a6a9a12·eq\f(1,28)，a2a5a8a11＝a3a6a9a12·eq\f(1,24)，而a1a2a3…a12＝a3a6a9a12·eq\f(1,28)a3a6a9a12·eq\f(1,24)a3a6a9a12＝(a3a6a9a12)3eq\f(1,∴a3a6a9二、填空題7.已知等比數(shù)列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝eq\f(5,4)，則等比數(shù)列{an}的公比q＝________.答案：eq\f(1,2)解析：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a3＝a11＋q2＝10,a4＋a6＝a1q31＋q2＝\f(5,4)))，解得q＝eq\f(1,2).8.[2025·金版原創(chuàng)]設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項之和為Sn，已知a1＝2025，且an＋2an＋1＋an＋2＝0(n∈N*)，則S2025＝________.答案：0解析：本題考查等比數(shù)列的基本知識．設(shè)公比為q，則由an＋2an＋1＋an＋2＝0(n∈N*)得1＋2q＋q2＝0，∴q＝－1.所以S2025＝eq\f(2025×1－－12025,1＋1)＝0.9.[2025·南京模擬]記等比數(shù)列{an}的前n項積為Tn(n∈N*)，已知am－1am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，則m答案：4解析：因為{an}為等比數(shù)列，所以am－1am＋1＝aeq\o\al(2,m)，又由am－1am＋1－2am＝0，從而am＝2.由等比數(shù)列的性質(zhì)可知前(2m－1)項積T2m－1＝aeq\o\al(2m－1,m)，即22m－1＝128，故m＝4.三、解答題10.[2025·錦州模擬]設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和．已知S3＝7，a1＋3,3a2，a3(1)求a2的值；(2)若{an}是等比數(shù)列，且an＋1<an(n∈N*)，試求Sn的表達(dá)式．解：(1)由已知得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＝7，,\f(a1＋3＋a3＋4,2)＝3a2.))∴a2＝2.(2)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a2＝2，可得a1＝eq\f(2,q)，a3＝2q.又S3＝7，可知eq\f(2,q)＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0，解得q1＝eq\f(1,2)，q2＝2(舍去，an＋1<an(n∈N*))．∵q＝eq\f(1,2)，∴a1＝4.故數(shù)列{an}的前n項和Sn＝8－23－n(n∈N*)．11.[2025·湖州模擬]已知等差數(shù)列{an}滿足：a5＝9，a2＋a6＝14.(1)求{an}的通項公式；(2)若bn＝an＋qan(q>0)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則由a5＝9，a2＋a6＝14，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝9，,2a1＋6d＝14，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2，))所以{an}的通項an＝2n－1.(2)由an＝2n－1得bn＝2n－1＋q2n－1.當(dāng)q>0且q≠1時，Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(q1＋q3＋q5＋…＋q2n－1)＝n2＋eq\f(q1－q2n,1－q2)；當(dāng)q＝1時，bn＝2n，則Sn＝n(n＋1)．所以數(shù)列{bn}的前n項和Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(nn＋1，q＝1,n2＋\f(q1－q2n,1－q2)，q>0且q≠1)).12.[2025·浙江模擬]已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的首項a1為a(a∈R)，且eq\f(1,a1)，eq\f(1,a2)，eq\f(1,a4)成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)對n∈N*，試比較eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a22)＋eq\f(1,a23)＋…＋eq\f(1,a2n)與eq\f(1,a1)的大?。猓?1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意可知(eq\f(1,a2))2＝eq\f(1,a1)·eq\f(1,a4)，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，從而a1d＝d2，因為d≠0，所以d＝a1＝a.故通項公式an＝na.(2)記Tn＝eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a22)＋…＋eq\f(1,a2n)，因為a2n＝2na，所以Tn＝eq\