湘豫名校聯(lián)考2025年2月高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題參考答案

數(shù)學(xué)參考答案第1頁(yè)(共9頁(yè))2025年2月高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)參考答案題號(hào)123456789101112答案DCABBDDABCACACDBCD一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.D【命題意圖】本題考查集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【解析】由題意可得?RA=[2,+∞),因?yàn)樗浴葿=[2,3).故選D.2.C【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的幾何意義,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).因?yàn)樗运运运栽趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為位于第三象限.故選C.3.A【命題意圖】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及反向共線滿足的條件,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【解析】因?yàn)閍=(1,-2),b=(x,-1),c=(-4,x),所以2a+b=(2+x,-5),a-c=(5,-2-x).因?yàn)?a+b,a-c共線,所以(2+x)×(-2-x)-(-5)×5=0,解得x=3或x=-7.又2a+b,a-c反向共線,代入驗(yàn)證可知x=3時(shí)為同向,舍去.x=-7滿足條件.所以x=-7.故選A.4.B【命題意圖】本題考查利用基本不等式求最值,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).由x>0,y>0,且可得xy=x+y.所以4xy-3x=4x+4y-3x=x+4y.又因?yàn)閤+4y=當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào),所以4xy-3x≥9.故選B.5.B【命題意圖】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【解析】因?yàn)閍1=b1+2=2,所以b1=0.根據(jù)題意,cn={EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(an),bn)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up9(n為奇數(shù)),n為偶數(shù))EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(2n),2n)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up9(奇數(shù)),n為偶)T20=故選B.6.D【命題意圖】本題考查排列組合的基本運(yùn)算以及古典概型的概率,考查學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).【解析】5名志愿者分配到4個(gè)場(chǎng)館,共有CEQ\*jc3\*hps9\o\al(\s\up2(2),5)AEQ\*jc3\*hps9\o\al(\s\up2(4),4)種不同的方法,A,B兩名志愿者在同一個(gè)場(chǎng)館共有AEQ\*jc3\*hps9\o\al(\s\up2(4),4)種不同的方法,所以A,B兩名志愿者不在同一個(gè)場(chǎng)館的概率為故選D.7.D【命題意圖】本題主要考查三角函數(shù)單調(diào)性、周期性和對(duì)稱(chēng)性的綜合,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).因?yàn)閒=2sinφ+1=0,所以或又所以所以因?yàn)閒的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以所以ω=因?yàn)樗杂趾瘮?shù)在上單調(diào),所數(shù)學(xué)參考答案第2頁(yè)(共9頁(yè))k=0時(shí),ω=6間的距離為半個(gè)周期,所以故選D.8.A【命題意圖】本題考查利用三角函數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算,利用導(dǎo)數(shù)求最值等基本知識(shí),考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).tanα,因?yàn)棣翞殇J角,所以t>0.令所以f'(t)在t>0時(shí)是單調(diào)遞增函數(shù).又f'(1)=0,所以當(dāng)t∈(0,1)時(shí),f'(t)<0,f(t)單調(diào)遞減;當(dāng)t∈(1,+∞)時(shí),f'(t)>0,f(t)單調(diào)遞增,所以f(t)≥f(1)=2.所以當(dāng)t>0時(shí),f(t)的最小值為2.故選A.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.BC【命題意圖】本題考查概率統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí),考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).【解析】若有一個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程=1-2x,隨著x的增大,會(huì)減小,A錯(cuò)誤;曲線關(guān)于x=0對(duì)稱(chēng),因?yàn)镻(ξ> 2)=0.2,所以P(ξ<-2)=0.2,所以P(-2≤ξ≤2)=1-P(ξ>2)-P(ξ<-2)=0.6,B正確;因?yàn)閤i+yi= ,故sEQ\*jc3\*hps9\o\al(\s\up2(2),1)=sEQ\*jc3\*hps9\o\al(\s\up2(2),2),C正確;經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=3x+,且樣本點(diǎn)(m,3)與(2,n)的殘差相等,則3-(3m+)=n-(6+)?3m+n=9,D錯(cuò)誤.故選BC.10.AC【命題意圖】本題根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)、圖象的變換性質(zhì),結(jié)合已知圖象逐一判斷即可,考查三角函數(shù)的基本運(yùn)算以及其圖象的應(yīng)用,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng).【解析】由題圖知所以周期所以f在[0,π]上有兩個(gè)極值點(diǎn),A正確.又所以所以因?yàn)樗粤頺=0,即所以所以 3,B錯(cuò)誤.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的周期為π,將y=f(x)圖象上的所有點(diǎn)沿x軸向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到 的圖象,為偶函數(shù),所以函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),C正確.若|f(x1)-f(x2)|=4,則|x1-x2|的最小值為錯(cuò)誤.故選AC.數(shù)學(xué)參考答案第3頁(yè)(共9頁(yè))11.ACD【命題意圖】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)和基本不等式,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).【解析】雙曲線的漸近線方程為.設(shè)點(diǎn)A(x,y)到兩條漸近線的距離分別為d1,d2,則利用點(diǎn)到直線的距離公式可得因?yàn)樗?2=a2b2,所以所以正確;因?yàn)樗詀b≥3,B錯(cuò)誤;因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立,C正確;因?yàn)樗?當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立,D正確.故選ACD.12.BCD【命題意圖】本題主要考查空間中線面位置關(guān)系,考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【解析】如圖,連接CE,EM.因?yàn)槠矫鍭EFD⊥平面EBCF,平面AEFD∩平面EBCF=EF,AE?平面AEFD,又AE⊥EF,所以AE⊥平面EBCF.所以CE為CA在平面EBCF內(nèi)的射影.易得△BCF為等邊三角形,顯然CE不垂直于BF,所以AC不可能垂直于BF,A錯(cuò)誤.易知BE⊥EF,所以BE⊥平面AEFD,所以∠BME為直線MB與平面AEFD所成的角.同理∠CMF為直線MC與平面AEFD所成的角.所以∠BME=∠CMF,所以tan∠BME=tan∠CMF,所因?yàn)樗訤M=2EM.在平面AEFD內(nèi),以E為坐標(biāo)原點(diǎn),以EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up3(→),EF)為x軸正方向,EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up3(→),EA)為y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系,則F(3,0),設(shè)M(x,y),則有化簡(jiǎn)得(x+1)2+y2=4,即點(diǎn)M在平面AEFD內(nèi)的軌跡方程為(x+1)2+y2=4(0≤x≤1,y>0),所以點(diǎn)M在平面AEFD內(nèi)的軌跡為以(-1,0)為圓心,2為半徑的圓.易得點(diǎn)M在四邊形AEFD內(nèi)的軌跡為該圓的一段弧,弧所對(duì)的圓心角為所以弧長(zhǎng)為正確.要使三棱錐MBCF的體積最大,只要點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值最大即可.令x=又yM>0,所以,此時(shí)M到平面EBCF的最大距離為3,C正確.三棱錐MBCF外接球的球心在過(guò)△BCF的外接圓圓心且垂直于平面BCF的直線上.在三棱錐MBCF中,設(shè)點(diǎn)Q為等邊△BCF外接圓的圓心,設(shè)三棱錐MBCF外接球的球心為O,半徑為R,設(shè)OQ=a,則有R2=a2+4=解得,所以R2=7,所以三棱錐MBCF外接球的表面積S=4πR2=28π.D正確.故選BCD.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.-240【命題意圖】本題主要考查二項(xiàng)式定理,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【解析】由題意,得x3y2的系數(shù)為CEQ\*jc3\*hps9\o\al(\s\up3(2),5)23·CEQ\*jc3\*hps9\o\al(\s\up3(1),3)(-1)=-240.14.1【命題意圖】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【解析】由題意,易得圓C的圓心為C(0,4),半徑為2,點(diǎn)P(2,4)在圓C上.因?yàn)椤螦PB=90°,所以PA⊥PB.所以線段AB為圓C的一條不過(guò)點(diǎn)P的直徑.直線l:x+(m+1)y-7m-1=0與圓C相交于A,B兩點(diǎn),圓心C(0,4)在直線l上,所以4(m+1)=7m+1,解得m=1.檢驗(yàn)知m=1符合題意.15.x-y=0【命題意圖】本題主要考查兩函數(shù)圖象的公切線問(wèn)題,考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【解析】設(shè)曲線y=f(x)上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),則該點(diǎn)關(guān)于直線x-y=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(y,x),滿足y=數(shù)學(xué)參考答案第4頁(yè)(共9頁(yè))ex-1,則x=ey-1,化簡(jiǎn)可得y=ln(x+1).設(shè)曲線y=ex-1上的切點(diǎn)為(x1,ex1-1),曲線y=ln(x+1)上的切點(diǎn)為(x2,ln(x2+1)),又y=ex-1的導(dǎo)函數(shù)為y'=ex,y=ln(x+1)的導(dǎo)函數(shù)為則兩式整理得x1=-(x2+1)ln(x2+1),所以(x2+1)-(x2+1)=(x2+1)-1,解得x2=0,所以x1=0.所以曲線y=ex-1與曲線y=ln(x+1)的公切線的公切點(diǎn)為(0,0),則切線的斜率為1,故與兩曲線均相切的直線的方程為x-y=0.【命題意圖】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系及最值問(wèn)題,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).x0以直線AP的斜率k的取值范圍是(-1,1).因?yàn)橐訟B為直徑的圓與直線AP交于異于點(diǎn)A的另一點(diǎn)Q,所以當(dāng)k=0時(shí),直線AP為直線BQ為此時(shí)所以|AP|=1,|PQ|=1,所以當(dāng)k≠0時(shí),所以直線BQ的斜率為易得直線AP的方程為直線BQ的方程為聯(lián)立解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是xQ= ,所以|AP|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3.令f(k)=-(k-1)(k+1)3,則f'(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以當(dāng)且k≠0時(shí),f'>0;當(dāng)時(shí),f'<0,所以f在區(qū)間(-1,0),上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,因此當(dāng)時(shí),|AP|·|PQ|取得最大值且f0,所以四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.【命題意圖】本題考查正、余弦定理,二倍角公式等,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).【解析】(1)因?yàn)閏os2B+cos2C=2-2sin2A-2sinBsinC,所以1-2sin2B+1-2sin2C=2-2sin2A-2sinBsinC,即sin2A=sin2B+sin2C-sinBsinC.………………………2分由正弦定理得a2=b2+c2-bc,又由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得分因?yàn)锳∈(0,π),所以………………5分(2)在△ABC中,由等面積法得S△ABC=S△ABD+S△ACD,數(shù)學(xué)參考答案第5頁(yè)(共9頁(yè))即AC·AB·sinAAB·AD·sin+AC·AD·sin,即分所以……………10分18.【命題意圖】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和數(shù)列的求和,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).【解析】(1)因?yàn)閍n+1=2an+1,所以an+1+1=2an+1+1=2(an+1).……2分又因?yàn)閍1+1=2,所以{an+1}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.………4分(2)由(1)易知an+1=2×2n-1=2n,an=2n-1,……………5分所以分所以9分欲使不等式loga(1-a)>Sn對(duì)任意正整數(shù)n恒成立,只要loga(1-a)≥1.……………10分由題意可得a>0,a≠1且1-a>0,解得0<a<1.只需1-a≤a,解得.綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是.…………………12分19.【命題意圖】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).【解析】(1)(i)比賽結(jié)束時(shí)恰好進(jìn)行了3局,甲奪冠的概率為乙?jiàn)Z冠的概率為,…………2分所以比賽結(jié)束時(shí)恰好進(jìn)行了3局的概率為分(ii)X的可能取值為2,3.……………………4分分所以X的分布列如下:X23P13251225故……………8分(2)因?yàn)楸荣惓煽?jī)Y近似地服從正態(tài)分布N(μ,σ2),所以比賽選手可獲得“參賽紀(jì)念證書(shū)”的概率:≈×0.6827+×0.9545=0.8186.200×0.8186=163.72≈164,數(shù)學(xué)參考答案第6頁(yè)(共9頁(yè))所以估計(jì)獲得“參賽紀(jì)念證書(shū)”的選手人數(shù)為164.………12分20.【命題意圖】本題主要考查線面位置關(guān)系以及利用空間向量求二面角,考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【解析】(1)如圖,連接DC1.因?yàn)樗倪呅蜠1DCC1為菱形,∠D1DC=120°,所以∠DCC1=60°,所以DC1=2. 因?yàn)?所以AD2+DCEQ\*jc3\*hps9\o\al(\s\up3(2),1)=ACEQ\*jc3\*hps9\o\al(\s\up3(2),1),所以AD⊥DC1.…………………1分又AD⊥DC,DC∩DC1=D,所以AD⊥平面CDD1C1,所以AD⊥DE,AD⊥DC.………2分因?yàn)樗倪呅蜠1DCC1為菱形,且∠D1DC=120°,所以DD1=DC1=D1C1.因?yàn)镋為棱C1D1的中點(diǎn),所以DE⊥C1D1.又C1D1∥CD,所以DE⊥CD.因?yàn)镈E⊥AD,AD∩,DE⊥平面ABCD.……………………4分(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DE分別為x軸、y軸、z軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.易知,所以A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,0,3),B1(2,1,3),所以(2,0,0).設(shè)則分因?yàn)锳E∥平面BDF,所以存在唯一的λ,μ∈R,使得EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up4(→),AE)=λEQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up4(→),DB)+μEQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up4(→),DF)=λ(2,2,0)+μ(0,2-t,3t)=(2λ,2λ+2μ-tμ,3μt).所以2λ=-2,2λ+2μ-tμ=0解得.……………………7分所以分設(shè)平面BDF的法向量為n=(x1,y1,z1),取y1=-3,則所以平面BDF的一個(gè)法向量為………9分設(shè)平面AB1D的法向量為m=(x2,y2,z2),取y2=3,則所以平面AB1D的一個(gè)法向量為………10分設(shè)平面AB1D與平面BDF的夾角為θ,故平面AB1D與平面BDF夾角的余弦值為.………12分21.【命題意圖】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)參考答案第7頁(yè)(共9頁(yè))【解析】(1)根據(jù)題意,蒙日?qǐng)A的半徑為13,所以a2+b2=13.因?yàn)閨P1P2|=2,所以b=1,所以,所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為分因?yàn)橹本€l1過(guò)點(diǎn)且易知直線l1的斜率存在,所以可設(shè)直線聯(lián)立方程消去y并整理可得(12k2+1)x2+12kx-9=0.由根與系數(shù)的關(guān)系可得分因?yàn)镻1(0,1),P2(0,-1),所以直線直線所以4分所以y=2,即直線AP1,BP2的交點(diǎn)P在直線y=2上.…………………6分(2)設(shè)直線l2與直線AP1,BP1的交點(diǎn)分別為C(x3,y3),D(x4,y4),則由直線直線聯(lián)立及可得分又點(diǎn)P1到直線l2的距離分所以只需求|CD|的最小值.由弦長(zhǎng)公式可得數(shù)學(xué)參考答案第8頁(yè)(共9頁(yè))xx-xx-x令3k+1=t,則僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.所以|CD|的最小值為.…………………11分所以△P1CD面積的最小值為故直線AP1,BP1,l2圍成的三角形面積的最小值為.…………………12分素養(yǎng).設(shè)f=lnx-x+1,則當(dāng)x>1時(shí),f'(x)<0;當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)>0,所以f(x)的最大值為f(1)=0.所以lnx≤x-1.…………2分所以ln(ax+bx-1)≤ax