第17章《勾股定理》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)題（含解析）八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)人教版

第17章《勾股定理》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)題【題型1勾股數(shù)的運(yùn)用】1.勾股定理最早出現(xiàn)在《周解算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，弦隅五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類(lèi)勾股數(shù)的特點(diǎn)如下：勾為奇數(shù)，弦與股相差1，柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差2的一類(lèi)勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…若此類(lèi)勾股數(shù)的勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)），則其弦是（結(jié)果用含m的式子表示）（

）A．m2?1 B．2m+2 C．m22.下列各組a，b，c是勾股數(shù)的是（）A．a(chǎn)=30，b=40，c=50 C．a(chǎn)=3，b=4，c＝5 D．3.當(dāng)直角三角形的三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)時(shí)，我們稱(chēng)這三個(gè)數(shù)為勾股數(shù)，如：3，4，5都是正整數(shù)，且323，4，5；9，40，41；5，12，13；……；7，24，25；a，b，c．(1)當(dāng)a=11時(shí)，求b，c的值(2)判斷10，24，26是否為一組勾股數(shù)？若是，請(qǐng)說(shuō)明理由．4.我們知道，如果直角三角形的三邊的長(zhǎng)都是正整數(shù)，這樣的三個(gè)正整數(shù)就叫做一組勾股數(shù)．如果一個(gè)正整數(shù)c能表示為兩個(gè)正整數(shù)a，b的平方和，即c=a2+b2，那么稱(chēng)a，b，c為一組廣義勾股數(shù)，c為廣義斜邊數(shù)，則下面的結(jié)論：①m為正整數(shù)，則3m，4m，5m為一組勾股數(shù)；②1，2，3是一組廣義勾股數(shù)；③13是廣義斜邊數(shù)；④兩個(gè)廣義斜邊數(shù)的和是廣義斜邊數(shù)；⑤若a=2k2+2k,b=1+2k,c=2k2+2k+1A．①②③ B．①②④⑤ C．③④⑤ D．①③⑤【題型2勾股樹(shù)的探究】1.“勾股樹(shù)”是以正方形－邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這－過(guò)程所畫(huà)出來(lái)的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似－－棵樹(shù)而得名．假設(shè)下圖分別是第一代勾股樹(shù)、第二代勾股樹(shù)、第三代勾股樹(shù)，按照勾股樹(shù)的作圖原理作圖，則第五代勾股樹(shù)中正方形的個(gè)數(shù)為（

）A．31 B．63 C．65 D．672.如圖是一株美麗的勾股樹(shù)，其作法為：從正方形①開(kāi)始，以它的一邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角邊為邊，分別向外作兩個(gè)正方形，計(jì)為②．依此類(lèi)推…若正方形①的面積為16，則正方形③的面積是．3.勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系，其中蘊(yùn)含著豐富的科學(xué)知識(shí)和人文價(jià)值．如圖所示，是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定規(guī)律長(zhǎng)成的勾股樹(shù)，樹(shù)的主干自下而上第一個(gè)正方形和第一個(gè)直角三角形的面積之和為S1，第二個(gè)正方形和第二個(gè)直角三角形的面積之和為S2，…，第n個(gè)正方形和第n個(gè)直角三角形的面積之和為設(shè)第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）S1=（2）通過(guò)探究，用含n的代數(shù)式表示Sn，則Sn4.有一個(gè)面積為1的正方形，經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后，在他的左右肩上生出兩個(gè)小正方形（如圖1），三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后，生出了4個(gè)正方形（如圖2），如果按此規(guī)律繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，它將變得“枝繁葉茂”．在“生長(zhǎng)”了2022次后形成的圖形中所有正方形的面積和是．【題型3由勾股定理在坐標(biāo)系中求距離】1.如圖，點(diǎn)P是平面坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離是（

）

A．3 B．2 C．22 D．2.在平面直面坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A3,0和BA．3 B．4 C．5 D．73.【復(fù)習(xí)舊知】結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問(wèn)題：數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是3：而|4?1|=3；表示－3和2兩點(diǎn)之間的距離是5：而|?3?2|=5；表示?4和?7兩點(diǎn)之間的距離是3，而|?4?(?7)|=3，一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離公式為|m?n|．（1）數(shù)軸上表示數(shù)?5的點(diǎn)與表示?2的點(diǎn)之間的距離為_(kāi)__；【探索新知】如圖1，我們?cè)凇案顸c(diǎn)”直角坐標(biāo)系上可以清楚看到：要找AB或DE的長(zhǎng)度，顯然是化為求Rt△ABC或Rt△DEF的斜邊長(zhǎng)．下面我們以求從坐標(biāo)系中發(fā)現(xiàn)：D(?7,5)，E(4,?3)，所以DF=5??3=8，EF=（2）在圖2中：設(shè)Ax1,y1,Bx得出的結(jié)論被稱(chēng)為“平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間距離公式”；【學(xué)以致用】請(qǐng)用此公式解決如下問(wèn)題：（3）如圖3，已知：A(2,1)，B(4,3)，C為坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，且使得△ABC是以AB為底邊的等腰三角形．請(qǐng)求出C點(diǎn)的坐標(biāo)．4.閱讀材料，在平面直角坐標(biāo)系中，已知x軸上兩點(diǎn)Ax1,0、Bx2,0的距離記作AB=x1?x2，如果Ax1,y1、Bx2,y2是平面上任意兩點(diǎn)，我們可以通過(guò)構(gòu)造直角三角形來(lái)求AB間的距離．如下左圖，過(guò)A、B分別向x軸、y軸作垂線(xiàn)AM1、AN1和B(1)由此得到平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)Ax1,y1(2)直接應(yīng)用平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算點(diǎn)A(1,?3)，B(?2,1)之間的距離為_(kāi)_____．利用上面公式解決下列問(wèn)題：(3)在平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)A(0,3)，B(4,1)，P為x軸上任一點(diǎn)，求PA+PB的最小值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(4)應(yīng)用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，求代數(shù)式x2【題型4由勾股定理探究圖形面積】1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，若以AC邊和BC邊向外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCD．記△ACE的面積是S1，△BCD的面積是S2，則S

A．16 B．32 C．48 D．642.如果一個(gè)三角形，三條邊的長(zhǎng)度之比為3:4:5，且周長(zhǎng)為48cm，那么這個(gè)三角形的面積是（

A．48cm2 B．96cm2 C．3.現(xiàn)有如圖1的8張大小形狀相同的直角三角形紙片，三邊長(zhǎng)分別是a、b、c．用其中4張紙片拼成如圖2的大正方形（空白部分是邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形）；用另外4張紙片拼成如圖3的大正方形（中間的空白部分是邊長(zhǎng)為c的正方形）．

(1)觀察：從整體看，整個(gè)圖形的面積等于各部分面積的和．所以圖2和圖3的大正方形的面積都可以表示為a+b2，結(jié)論①；圖2中的大正方形的面積又可以用含字母a、b的代數(shù)式表示為：，結(jié)論②；圖3中的大正方形的面積又可以用含字母a、b、c的代數(shù)式表示為：(2)思考：結(jié)合結(jié)論①和結(jié)論②，可以得到一個(gè)等式；結(jié)合結(jié)論②和結(jié)論③，可以得到一個(gè)等式；(3)應(yīng)用：若分別以直角三角形三邊為直徑，向外作半圓（如圖4），三個(gè)半圓的面積分別記作S1、S2、(4)延伸：若分別以直角三角形三邊為直徑，向上作三個(gè)半圓（如圖5），直角邊a=5，b=12，斜邊c=13，求圖中陰影部分面積和．4.在△ABC中，AB=10，BC=27，∠A=30°，則△ABC【題型5由勾股定理求線(xiàn)段長(zhǎng)度】1.如圖，△ABC的周長(zhǎng)為4+25，其中AB=4，BC=

(1)AC=______；(2)判斷△ABC是否為直角三角形，并說(shuō)明理由．(3)過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AB，AE=22，在AB上取一點(diǎn)D，使得DB=DE，求AD2.如圖，∠ACB=∠BDC=90°，且AB=13，AC=12，BD=4，則DC的長(zhǎng)度為（）

A．3 B．8 C．4 D．93.如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，線(xiàn)段AB，AC的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)O，則

4.如圖，在等腰三角形ABC中，底邊BC=29，D是AC上一點(diǎn)，連接BD，BD＝5，CD＝2

(1)求證：ΔBDC(2)求AB邊的長(zhǎng)度．【題型6由勾股定理證明線(xiàn)段之間的關(guān)系】1.已知△ABC是等邊三角形．

(1)如圖1，△BDE也是等邊三角形．點(diǎn)A、B、E三點(diǎn)不共線(xiàn)，求證：AD=CE(2)如圖2，點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，且∠BDC=30°，請(qǐng)證明結(jié)論DA(3)如圖3，點(diǎn)D是等邊三角形△ABC外一點(diǎn)，若DA=13，DB=522.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸上，且A4,0，點(diǎn)B在y軸上，且B

(1)求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)E在線(xiàn)段AB上，OE⊥OF，且OE=OF，求AE+AF的值；(3)在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥EF，交AB于點(diǎn)M，試證明：A3.親愛(ài)的同學(xué)們，在全等三角形中，我們見(jiàn)識(shí)了很多線(xiàn)段關(guān)系的論證題，下面請(qǐng)你用本階段所學(xué)知識(shí)，分別完成下列題目．(1)如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線(xiàn)m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線(xiàn)m，CE⊥直線(xiàn)m，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：DE=BD+CE；(2)如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線(xiàn)上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．容易證明△ACD≌△BCE，則：①∠AEB的度數(shù)為_(kāi)_____；②直接寫(xiě)出AE、BE、CM之間的數(shù)量關(guān)系．(3)如圖3，△ABC中，若∠A=90°，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥DF交AB、AC于E、F，求證：BE4.如圖，點(diǎn)A為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)B為y軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)C為x軸正半軸上一點(diǎn)，AO=a，BO=b，CO=c,且a、b、c滿(mǎn)足a=a?b

(1)若c=3，求AB=__________________；(2)如圖1，點(diǎn)P在x軸上（點(diǎn)P在點(diǎn)A左邊），以PB為直角邊在PB的上方作等腰直角三角形PDB，求證：PA(3)如圖2，點(diǎn)M為AB中點(diǎn)，點(diǎn)E為射線(xiàn)OA上一點(diǎn)，點(diǎn)F為射線(xiàn)BO上一點(diǎn)，且∠EMF=90°，設(shè)AE=m，BF=n，請(qǐng)求出EF的長(zhǎng)度（用含m、n的代數(shù)式表示）．【題型7勾股定理中的規(guī)律探究】1.如圖，△OA1A2為等腰直角三角形，OA1=1，以斜邊OA2為直角邊作等腰直角三角形OA22.如果正整數(shù)a、b、c滿(mǎn)足等式a2+b2=c2，那么正整數(shù)a、babc345861015817241026………x14yA．67 B．34 C．98 D．733.如圖是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽?qǐng)D案，它是由一串有公共頂點(diǎn)O的直角三角形組成的，圖中的OA1=A1A2=A2A3=?=A74.在平面直角坐標(biāo)系中，將若干個(gè)邊長(zhǎng)為2個(gè)單位長(zhǎng)度的等邊三角形按如圖所示的規(guī)律擺放，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著等邊三角形的邊OA1→A1A2→A2A3→A3A4→AA．2022,0 B．2022,?3 C．2023,3 【題型8由勾股定理求最值】1.如圖，已知∠MON=60°，點(diǎn)P,Q為∠MON內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠POQ=30°，OP=3，OQ=4，點(diǎn)A,B分別是OM,ON上的動(dòng)點(diǎn)，則

A．5 B．7 C．8 D．102.如圖，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE的腰長(zhǎng)分別為4和2，其中∠BAC=∠DAE=90°，M為邊DE的中點(diǎn)．若等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)B到點(diǎn)M3.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，線(xiàn)段EF在邊BC上左右滑動(dòng)，若EF=1，則AE+DF的最小值為．

4.如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=22，點(diǎn)D在AC上，將△ABD沿BD折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A1處，A1B與AC相交于點(diǎn)E參考答案【題型1勾股數(shù)的運(yùn)用】1.C【分析】根據(jù)題意得2m為偶數(shù)，設(shè)其股是a，則弦為a+2，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵m為正整數(shù)，∴2m為偶數(shù)，設(shè)其股是a，則弦為a+2，根據(jù)勾股定理得，(2m)2解得a=m∴弦是a+2=m故選：C．2.A【分析】根據(jù)勾股數(shù)的概念對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【詳解】解：A、∵302∴能構(gòu)成勾股數(shù)，符合題意；B、∵2不是整數(shù)，∴不能構(gòu)成勾股數(shù)，不符合題意；C、∵3,∴不能構(gòu)成勾股數(shù)，不符合題意；D、∵72∴不能構(gòu)成勾股數(shù)，不符合題意．故選：A．3.（1）解：觀察已有的勾股數(shù)可得c=b+1，∴a2把a(bǔ)=11代入a2解得b=60（負(fù)值已舍掉），∴c=60+1=61；（2）10，24，26是勾股數(shù)．∵102又∵10，24，26都是正整數(shù)根據(jù)勾股數(shù)的定義，可知10，24，26是勾股數(shù)．4.D【分析】根據(jù)題目中所給的勾股數(shù)．廣義勾股數(shù)，廣義斜邊數(shù)的定義，分析選項(xiàng)找出結(jié)論正確的即可．【詳解】解：由題意可知：①m為正整數(shù)，則3m，4m，5m為一組勾股數(shù)；結(jié)論正確；②1，2，3是一組廣義勾股數(shù)；∵3≠12+③13是廣義斜邊數(shù)；∵13=④兩個(gè)廣義斜邊數(shù)的和是廣義斜邊數(shù)；例如2=12⑤若a=2k2+2k,b=1+2k,c=2k2+2k+1，其中k為正整數(shù)，則a，b，c為一組勾股數(shù)；∵⑥兩個(gè)廣義斜邊數(shù)的積是廣義斜邊數(shù)．例如2=故正確的結(jié)論為：①③⑤．故選：D【題型2勾股樹(shù)的探究】1.B【分析】由已知圖形觀察規(guī)律，即可得到第五代勾股樹(shù)中正方形的個(gè)數(shù)．【詳解】解：由題意可知第一代勾股樹(shù)中正方形有1+2=3（個(gè)），第二代勾股樹(shù)中正方形有1+2+2第三代勾股樹(shù)中正方形有1+2+2由此推出第五代勾股樹(shù)中正方形有1+2+2故選：B．2.4．【分析】根據(jù)勾股定理可得兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，即第①個(gè)正方形的面積＝第②個(gè)正方形面積的兩倍；同理，第③個(gè)正方形面積是第②個(gè)正方形面積的一半，依此類(lèi)推即可解答．【詳解】解：第①個(gè)正方形的面積為16，由分析可知：第②個(gè)正方形的面積為8，第③個(gè)正方形的面積為4，故答案為：4．3.1+381+3【分析】根據(jù)正方形的面積公式求出面積，再根據(jù)直角三角形三條邊的關(guān)系運(yùn)用勾股定理求出三角形的直角邊，求出S1，然后利用正方形與三角形面積擴(kuò)大與縮小的規(guī)律推導(dǎo)出公式．【詳解】解：（1）∵第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1，∴正方形的面積為1，又∵直角三角形一個(gè)角為30°，∴三角形的一條直角邊為12，另一條直角邊就是1∴三角形的面積為12∴S1=1+3（2）∵第二個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為32，它的面積就是34，也就是第一個(gè)正方形面積的同理，第二個(gè)三角形的面積也是第一個(gè)三角形的面積的34∴S2=（1+38）?依此類(lèi)推，S3=（1+38）?34即S3=（1+38）?Sn=1+38?故答案為：（1）1+38；（2）1+34.2023【分析】根據(jù)勾股定理和正方形的面積公式，知“生長(zhǎng)”1次后，以直角三角形兩條直角邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積和等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積，即所有正方形的面積和是2×1=2；“生長(zhǎng)”2次后，所有的正方形的面積和是3×1=3，推而廣之即可求出“生長(zhǎng)”2022次后形成圖形中所有正方形的面積之和．【詳解】設(shè)第一個(gè)直角三角形的是三條邊分別是a，b，c．根據(jù)勾股定理，得a2由圖1可知，“生長(zhǎng)”1次后，以直角三角形兩條直角邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積和等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積，即所有正方形的面積和是2×1=由圖2可知，“生長(zhǎng)”2次后，所有的正方形的面積和是3×1=3···“生長(zhǎng)”了2022次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是2023×1=2023．故答案為：2023.【題型3由勾股定理在坐標(biāo)系中求距離】1.A【分析】連接OP，在直角坐標(biāo)系中，根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)是2,7，得OA=2【詳解】解：連接PO，

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)是2,∴OA=2，PA=∴點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離=O故選：A．2.C【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)之間的距離公式，代值求解即可得到答案．【詳解】解：連接AB，如圖所示：∵A3,0，B∴AB=0?3故選：C．3.解：（1）數(shù)軸上表示數(shù)?5的點(diǎn)與表示?2的點(diǎn)之間的距離=?2?(?5)故答案為：3；（2）結(jié)合圖形可得：AC=y1?y2故答案為：(x（3）若點(diǎn)C在x軸上，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,0)，則AC=BC，即(2?x)2解得：x=5，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5,0)；若點(diǎn)C在y軸上，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,y)，則AC=BC，即(2?0)2解得：y=5，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,5)．綜上可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5,0)或(0,5)．4.（1）解：閱讀材料可得：AB=(（2）∵平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x∴點(diǎn)A(1,?3)，B(?2,1)之間的距離為：AB=?2?1故答案為：5；（3）作點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)B′，連接AB′，直線(xiàn)AB′于x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，PA+PB的最小值就是線(xiàn)段AB′的長(zhǎng)度，然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得到結(jié)論．∵B(4,1)，∴B′(4,?1)，∵A(0,3)，∴設(shè)直線(xiàn)AB′的一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+3，把B′(4,?1)代入?1=4k+3解得k=?1，當(dāng)y=0時(shí)，解得x=3，即P(3,0)，∴PA+PB=PA+PB′=AB′=(0?4)即為PA+PB的最小值為42故答案為：42（4）原式=x故原式表示點(diǎn)(x,y)到(0,2)和(3,1)的距離之和．由兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，點(diǎn)(x,y)在以(0,2)和(3,1)為端點(diǎn)的線(xiàn)段上時(shí)，原式值最?。霉娇傻?，原式=10【題型4由勾股定理探究圖形面積】1.B【分析】由勾股定理求出BC2+AC2=AB【詳解】解：∵∠ACB=90°，AB=8，∴B∵△ACE和△BCD為等腰直角三角形，∴AE=AC，BD=BC，∴S故選：B．2.B【分析】設(shè)這個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)度分別為3xcm，4xcm，【詳解】解：設(shè)這個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)度分別為3xcm，∵三角形的周長(zhǎng)為48cm則3x+4x+5x=48解得x=4，則該三角形的三條邊的長(zhǎng)度分別為12cm，∵122則該三角形為直角三角形，兩直角邊長(zhǎng)分別為12cm∴面積為:12故選：B．3.（1）解：圖2：a2圖3：c2（2）解：結(jié)合結(jié)論①和結(jié)論②，可以得到一個(gè)等式：(a+b)2結(jié)合結(jié)論②和結(jié)論③，可以得到一個(gè)等式：(a+b)2即，a2（3）解：S1=12π∵a∴S∵S∴2S解得S2（4）解：由“應(yīng)用”的解答過(guò)程可知：S∴陰影部分面積和=S∵a=5，b=12，∴陰影部分面積和=14.153或【分析】作CD⊥AB交AB于點(diǎn)D，設(shè)DB=x，用勾股定理得出CD2，再由30°可得AD是CD的3倍列出方程可得【詳解】解：作CD⊥AB交AB于點(diǎn)D，

設(shè)DB=x，則AD=10?x．在Rt△CDBCD∵Rt△ADC中，∠∴AD=3CD，即A∴10?x2解得x=1或4．∴DC=28?12=33或28?4∴△ABC的面積S=12×10×33=153或S=12×10×2故答案為：153或103．【題型5由勾股定理求線(xiàn)段長(zhǎng)度】1.（1）解：∵△ABC的周長(zhǎng)為4+25，AB=4，BC=∴AC=4+2故答案：5+（2）解：△ABC是直角三角形，理由如下：∵AB2=16∴AB∴△ABC是直角三角形；（3）解：∵DE∴4?AD2∴AD=1．2.A【分析】在Rt△ABC中先根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)，再在Rt【詳解】∵∠ACB=90°，AB=13，AC=12，∴BC=A在Rt△BCD∵∠BDC=90°，BC=5，∴CD=B故選：A．3.25【分析】連接OB，延長(zhǎng)AO交BC于H，根據(jù)HL得Rt△AOE≌Rt△AOF，可得∠OAE=∠OAF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AH⊥BC，BH=HC=3【詳解】解：如圖：連接OB，延長(zhǎng)AO交BC于H，

∵線(xiàn)段AB，AC的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)∴∠AEO=∠AFO=90°,OA=OB,AE=BE=∵AB=AC，∴AE=AF,在Rt△AOE和Rt△AOF中，∴Rt∴∠OAE=∠OAF，∴AO平分∠BAC，∵AB=AC,∴AH⊥BC，∴AH=AB在Rt△BOH中，O∴OA2=故答案為2584.（1）解：∵BC=29∴CD∴Δ（2）解：設(shè)腰長(zhǎng)AB=AC=x．∵在RtΔADB中，A∴x解得x=29即：AB=x=29【題型6由勾股定理證明線(xiàn)段之間的關(guān)系】1.（1）解：證明：如圖1中，連接AD．

∵△ABC，△BDE都是等邊三角形，∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，∴∠ABD=∠CBE，∴△ABD≌△CBE(SAS∴AD=CE．（2）如圖2中，以BD為邊向下作等邊△BDE，連接EC．

∵△ABC，△BDE都是等邊三角形，∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，∴∠ABD=∠CBE，∴△ABD≌△CBE(SAS∴AD=CE，∵∠CDB=30°，∠BDE=60°，∴∠CDE=90°，∴CE∵DB=DE，DA=EC，∴DA（3）如圖3中，以BD為邊向下作等邊△BDE，連接EC，作EH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于H．

同法可證：△ABD≌△CBE(SAS∴AD=CE=13，設(shè)EH=x，DH=y，則有x2解得x=5y=5∴DH=HE=5，∵∠H=90°，∴∠EDH=45°，∴∠CDE=135°，∵∠BDE=60°，∴∠BDC=135°?60°=75°．2.（1）在Rt△ABO∵AO=OB=4，∴AB=A（2）∵∠BOA=∠EOF=90°，∴∠BOE=∠AOF，在△BOE和△AOF中，OB=OA∠BOE=∠AOF∴△BOE≌∴AF=BE，∴AE+AF=AE+EB=AB=42（3）結(jié)論：FM連接FM．∵OE=OF，

∴OM垂直平分EF，∴ME=MF，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=45°，由（1）可知△BOE≌∴BE=AF，∴∠MAF=∠OAF+∠OAB=90°，∴FM∴EM3.（1）證明：如圖1，∵∠BAC=90°，BD⊥直線(xiàn)m，CE⊥直線(xiàn)m，∴∠ADB=∠AEC=90°，∴∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠CAE=90°，∴∠ABD=∠CAE，∵AB=AC，∴△ABD≌△CAEAAS∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AE+AD=BD+CE；（2）解：①∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠ADC=180°?45°=135°，∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠ADC=∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC?∠CED=135°?45°=90°，故答案為：90°；②AE=BE+2CM，理由如下：∵△DCE為等腰直角三角形，CM為△DCE中DE邊上的高，∴CM=DM=EM，∵AD=BE，∴AE=AD+DM+EM=BE+2CM；（3）證明：如圖，延長(zhǎng)ED到點(diǎn)G，使DG=ED，連接GF，GC，∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD，在△BDE和△CDGED=DG∠BDE=∠CDG∴△BDE≌△CDGSAS∴BE=CG，∠B=∠GCD，∵∠A=90°，∴∠B+∠ACB=90°，∴∠GCD+∠ACB=90°，即∠GCF=90°，Rt△CFG中，C∵ED⊥DF，DG=ED，∴EF=GF，∴BE4.（1）解：∵a、b滿(mǎn)足a=a?b∴a?b≥0且b?a≥0，∴a=b=c=3，即AO=3，BO=3，AB=A（2）證明：連接BC，由（1）可得OA=OB=OC，∵兩個(gè)坐標(biāo)軸垂直，∴∠OAB=∠ABO=∠OBC=∠OCB=45°，∴AB=BC,∠ABC=90°，又∵△PDB為等腰直角三角形，∴BP=BD,∠DBP=90°，∴∠ABD=∠DBP+∠ABP=∠ABC+∠ABP=∠BPC，在△PBC和△DBA中，BD=BP∠ABD=∠BPC∴△PBC≌△DBASAS∴AD=PC．∠DPB=∠BDA，∠PCD=∠BAC，∵∠DBP=90°，∴∠BPC+∠BCP=90°，∴∠BAC+∠BAD=90°，即∠DAP=90°，∴PA2+A（3）當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段OA上時(shí)，連接OM，如圖所示：∵OA=OB，∠AOB=90°，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，∴AM=OM=BM，OM⊥AB，∠MAE=∠MOF=45°，∵∠EMF=∠AMO=90°，∴∠AME=∠OMF，∴△AME≌△OMF，∴AE=OF=m，∵OA=OB，∴OE=BF=n，根據(jù)勾股定理得：EF=O當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段OA延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，連接OM，如圖所示：同理可得：△AME≌△OMF，∴AE=OF=m，∵OA=OB，∴OE=BF=n，根據(jù)勾股定理得：EF=O綜上分析可知，EF=m【題型7勾股定理中的規(guī)律探究】1.2【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理分別求出各邊長(zhǎng)，依據(jù)規(guī)律即可得出答案．【詳解】解：∵△OA1A∴OA∵△OA∴OA∵△OA∴OA∵△OA∴OA……∴OAn的長(zhǎng)度為故答案為：2n?12.C【分析】依據(jù)每列數(shù)的規(guī)律，即可得到b=2n，a=n2?1，c=【詳解】解：由題可得，3=22?1，4=2×2，∴b=2n，a=n2?1，c=n2∴當(dāng)b=14=2n時(shí)，解得：n=7，∴x=72?1=48∴x+y=48+50=98，故選：C．3.3【分析】OA1=1，根據(jù)勾股定理可得OA2【詳解】解：∵如圖是由一串有公共頂點(diǎn)O的直角三角形組成的，圖中的OA∴由勾股定理可得：OAOA……∴OA∴在線(xiàn)段OA1，OA2，OA3，?，OA∴故長(zhǎng)度為整數(shù)的線(xiàn)段有3條．故答案為：3．4.C【分析】通過(guò)觀察可得，An每6個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)規(guī)律：3，0，3，0，?3，0，點(diǎn)An的橫坐標(biāo)規(guī)律：1，2，3，4，5，6，…，n，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單