2025年考研數(shù)學(xué)（二）高等數(shù)學(xué)應(yīng)用題難點解析強化試卷

2025年考研數(shù)學(xué)（二）高等數(shù)學(xué)應(yīng)用題難點解析強化試卷一、選擇題（每小題5分，共25分）1.設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}+\lnx$，則$f(x)$在定義域內(nèi)的（）A.有一個極大值點和一個極小值點B.有兩個極大值點C.有兩個極小值點D.沒有極值點2.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x$，則$f(x)$的拐點為（）A.$(0,0)$B.$(1,0)$C.$(2,0)$D.$(3,0)$3.設(shè)函數(shù)$f(x)=e^x-e^{-x}$，則$f(x)$的周期為（）A.$2\pi$B.$\pi$C.$2$D.$1$4.設(shè)函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$，則$f(x)$的值域為（）A.$[-2,2]$B.$[-1,1]$C.$[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$D.$[-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}]$5.設(shè)函數(shù)$f(x)=\lnx-x$，則$f(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A.$(0,+\infty)$B.$(0,1)$C.$(1,+\infty)$D.$(-\infty,0)$二、填空題（每小題5分，共25分）1.設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$，則$f(x)$的導(dǎo)數(shù)為__________。2.設(shè)函數(shù)$f(x)=\ln(1+x^2)$，則$f'(x)=__________$。3.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x$，則$f''(x)=__________$。4.設(shè)函數(shù)$f(x)=e^x\sinx$，則$f'(x)=__________$。5.設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{\sinx}{x}$，則$f'(x)=__________$。三、解答題（每小題15分，共45分）1.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x$，求$f(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間。2.設(shè)函數(shù)$f(x)=\lnx-x$，求$f(x)$的極值點及極值。3.設(shè)函數(shù)$f(x)=e^x\sinx$，求$f(x)$的拐點。4.設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{\sinx}{x}$，求$f(x)$的導(dǎo)數(shù)，并求$f'(x)$的單調(diào)性。四、計算題（每小題15分，共45分）1.計算定積分$\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx$。2.計算極限$\lim_{x\to0}\frac{\sin5x-\sin3x}{x}$。3.求函數(shù)$f(x)=e^{2x}\lnx$的導(dǎo)數(shù)。五、證明題（每小題15分，共30分）1.證明：對于任意的$x\in\mathbb{R}$，有不等式$\ln(1+x)\leqx$成立。2.證明：對于任意的$x>0$，函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x}$在區(qū)間$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增。六、綜合題（每小題15分，共45分）1.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，求$f(x)$的極值點和拐點。2.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^2-4x+3$，求定積分$\int_{0}^{3}f(x)\,dx$，并求該積分的原函數(shù)。3.設(shè)函數(shù)$f(x)=e^{-x^2}$，求$f(x)$在區(qū)間$[0,1]$上的平均值，并證明該平均值小于$\frac{1}{2}$。本次試卷答案如下：一、選擇題1.D.沒有極值點解析：函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}+\lnx$在定義域$(0,+\infty)$內(nèi)，求導(dǎo)得$f'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x^2}$。令$f'(x)=0$，解得$x=1$。檢查$f''(x)$，發(fā)現(xiàn)$f''(x)=\frac{2}{x^3}>0$，故$x=1$為$f(x)$的拐點，不是極值點。2.C.$(2,0)$解析：函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x$求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-6x+2$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$或$x=2$。檢查$f''(x)=6x-6$，在$x=1$時$f''(1)=0$，在$x=2$時$f''(2)=6>0$，故$(2,0)$是$f(x)$的拐點。3.D.$1$解析：函數(shù)$f(x)=e^x-e^{-x}$為周期函數(shù)，周期為$\pi$，因此$f(x)$的周期為$1$。4.C.$[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$解析：函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$可以化簡為$f(x)=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$，由于$\sin$函數(shù)的值域為$[-1,1]$，所以$f(x)$的值域為$[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$。5.A.$(0,+\infty)$解析：函數(shù)$f(x)=\lnx-x$求導(dǎo)得$f'(x)=\frac{1}{x}-1$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$。檢查$f''(x)=-\frac{1}{x^2}$，在$x=1$時$f''(1)=-1<0$，故$x=1$是$f(x)$的極大值點，因此$f(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間為$(0,+\infty)$。二、填空題1.$2x$解析：函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=2x$。2.$\frac{2x}{1+x^2}$解析：函數(shù)$f(x)=\ln(1+x^2)$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=\frac{2x}{1+x^2}$。3.$6x-6$解析：函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x$的二階導(dǎo)數(shù)為$f''(x)=6x-6$。4.$e^x(\sinx+\cosx)$解析：函數(shù)$f(x)=e^x\sinx$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=e^x(\sinx+\cosx)$。5.$\frac{\cosx}{x^2}$解析：函數(shù)$f(x)=\frac{\sinx}{x}$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=\frac{\cosx}{x^2}$。三、解答題1.解析：函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x$求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-6x+2$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$或$x=2$。在$x=1$和$x=2$之間$f'(x)$從正變負(fù)，故$x=1$是極大值點，$x=2$是極小值點。2.解析：函數(shù)$f(x)=\lnx-x$求導(dǎo)得$f'(x)=\frac{1}{x}-1$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$。檢查$f''(x)=-\frac{1}{x^2}$，在$x=1$時$f''(1)=-1<0$，故$x=1$是$f(x)$的極大值點，極大值為$f(1)=\ln1-1=-1$。3.解析：函數(shù)$f(x)=e^x\sinx$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=e^x(\sinx+\cosx)$，令$f'(x)=0$，解得$x=-\frac{\pi}{4}$或$x=\frac{3\pi}{4}$。檢查$f''(x)$，在$x=-\frac{\pi}{4}$和$x=\frac{3\pi}{4}$處$f''(x)>0$，故$x=-\frac{\pi}{4}$和$x=\frac{3\pi}{4}$是$f(x)$的拐點。4.解析：函數(shù)$f(x)=\frac{\sinx}{x}$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=\frac{\cosx}{x^2}$。檢查$f'(x)$的符號，當(dāng)$x\in(0,\frac{\pi}{2})$時，$f'(x)>0$，當(dāng)$x\in(\frac{\pi}{2},\pi)$時，$f'(x)<0$，因此$f(x)$在$(0,\frac{\pi}{2})$上單調(diào)遞增，在$(\frac{\pi}{2},\pi)$上單調(diào)遞減。四、計算題1.解析：$\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx$表示單位圓的四分之一面積，故結(jié)果為$\frac{\pi}{4}$。2.解析：$\lim_{x\to0}\frac{\sin5x-\sin3x}{x}$可以使用拉格朗日中值定理求解，或者使用$\sin$函數(shù)的泰勒展開，最終得到結(jié)果為$2$。3.解析：$f(x)=e^{2x}\lnx$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=2e^{2x}\lnx+e^{2x}\cdot\frac{1}{x}=e^{2x}(2\lnx+\frac{1}{x})$。五、證明題1.解析：使用泰勒展開，$\ln(1+x)\approxx-\frac{x^2}{2}$，因此$\ln(1+x)\leqx$。2.解析：對于$x>0$，$f(x)=\frac{x^2-1}{x}=x-\frac{1}{x}$，求導(dǎo)得$f'(x)=1+\frac{1}{x^2}>0$，因此$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增。六、綜合題1.解析：$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-12x+9$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$或$x=3$。檢查$f''(x)=6x-12$，在$x=1$和$x=3$處$f''(x)<0$，故$(1,0)$和$(3,0)$是$f(x)$的拐點。2.解析：$f(x)=x^2-4x+3$，原函數(shù)為$F(x)=\frac{x^3}{3}-2x^2+