第17章 特殊三角形 單元綜合練習(xí)

《第17章特殊三角形》單元綜合練習(xí)1．如圖，用紙板擋住部分直角三角形后，能畫出與此直角三角形全等的三角形，其全等的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL2．下列不能使兩個(gè)直角三角形全等的條件是（）A．三邊對(duì)應(yīng)相等 B．兩個(gè)銳角相等 C．一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)相等 D．兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等3．如圖，已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝3，MN垂直平分AB，且與AC相交于點(diǎn)D，則△BDC的周長為（）A．8 B．10 C．11 D．134．已知等腰三角形的周長為21，其中一邊長為5，則該等腰三角形的底邊長是（）A．5 B．8 C．11 D．5或115．如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，A，B是兩個(gè)格點(diǎn)，連接AB，在網(wǎng)格中找到一個(gè)格點(diǎn)C，使得△ABC是以AB為腰的等腰三角形，滿足條件的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．86．如右圖所示：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分線，那么圖中等腰三角形有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．已知a，b，c分別是等腰△ABC三邊的長，且滿足ac＝12﹣bc，若a，b，c均為正整數(shù)，則這樣的等腰△ABC存在（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)8．如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，CD平分∠ACB，BD⊥CD于點(diǎn)D．∠ABD＝∠A，若BD＝1，BC＝3，則AC的長為（）A．2 B．3 C．4 D．59．在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝40°，則∠C的度數(shù)為（）A．35° B．40° C．45° D．50°10．如圖，工人師傅在做完門框后．為防止變形常常像圖中所示的那樣上兩條斜拉的木條，這樣做根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是（）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．三角形的穩(wěn)定性 C．垂線段最短 D．直角三角形兩銳角互余11．如圖，△ABC中，若AB＝20，AC＝13，BC＝11，則點(diǎn)A到BC的距離是（）A．5 B．9 C．10 D．1212．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為邊在△ABC外作正方形，其面積為9，以BC為斜邊在△ABC外作等腰直角三角形，其面積為4，過點(diǎn)B作BD⊥AC交AC于點(diǎn)D，則AD＝（）A． B． C． D．213．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如果大正方形的面積為16，直角三角形的面積為3，直角三角形的兩直角邊分別為a和b，那么（a+b）2的值為（）A．18 B．22 C．28 D．3614．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若（a+b）2＝26，大正方形的面積為17，則小正方形的面積為（）A．6 B．7 C．8 D．915．下列各組數(shù)，可以作為直角三角形的三邊長的是（）A．2，3，4 B．8，12，20 C．7，24，25 D．5，13，15．16．如圖，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需補(bǔ)充條件，就可以根據(jù)“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF．17．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°，則這個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角的度數(shù)為．18．已知等腰三角形有一邊長為6，一邊長為3，則周長為．19．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝35°，D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接AD，若△ABD為直角三角形時(shí)，則∠DAC的度數(shù)為．20．如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，點(diǎn)D在CA上，且DC＝2，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A→B→C的路線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止．在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，使△APD為等腰三角形的點(diǎn)P有個(gè)．21．用9根長度相等的火柴棒首尾順次連接擺成一個(gè)三角形（火柴不折斷），能擺成不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)為個(gè)．22．如圖，已知△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，又DE∥BC，交AC于E，若DE＝4cm，AE＝5cm，則AC等于．23．如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東70°方向的M處，它以每小時(shí)40海里的速度向正北方向航行，2小時(shí)后到達(dá)位于燈塔P的北偏東40°的N處，則N處與燈塔P的距離為海里．24．在△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝30°，則∠A＝．25．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，D是BC延長線上一點(diǎn)，∠ACD＝130°，則∠A等于度．26．已知等腰△ABC的周長為20，一邊長為6，求另兩邊的長．27．如圖，直線AB∥CD，若∠1＝60°，∠2＝30°，求證：△FCE是等腰三角形．28．如圖，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，PQ經(jīng)過點(diǎn)O，與AB、AC分別相交于點(diǎn)P、Q．（1）若∠A＝70°，求∠BOC的度數(shù)；（2）若△ABC的周長為32，BC＝13，且PQ∥BC，求△APQ的周長．29．在Rt△ABC中，兩個(gè)銳角的平分線AO，BO相交于點(diǎn)O，求∠AOB的度數(shù)．30．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿折線A﹣C﹣B運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．（1）當(dāng)點(diǎn)P在AB邊的垂直平分線上時(shí)，求t的值；（2）當(dāng)點(diǎn)P在∠BAC的平分線上時(shí)，求t的值．

參考答案1．解：由圖得：遮擋住的三角形中露出兩個(gè)角及其夾邊．∴根據(jù)三角形的判定方法ASA可解決此題．故選：C．2．解：A、三邊對(duì)應(yīng)相等，利用SSS能證明兩三角形全等，故本選項(xiàng)不符合題意；B、兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，加上已知的直角相等，由AAA不能判定它們?nèi)?，故本選項(xiàng)符合題意；C、一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)相等，利用HL能證明兩三角形全等，故本選項(xiàng)不符合題意；D、兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等，加上已知的直角相等，利用SAS能證明兩三角形全等，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．3．解：∵M(jìn)N垂直平分AB，∴AD＝BD，∴△BDC的周長＝BD+BC+CD＝AD+DC+BC＝AC+BC＝5+3＝8，故選：A．4．解：當(dāng)腰長為5時(shí)，底邊長為21﹣2×5＝11，三角形的三邊長為5，5，11，不能構(gòu)成三角形；當(dāng)?shù)走呴L為5時(shí)，腰長為（21﹣5）÷2＝8，三角形的三邊長為8，8，5，構(gòu)成等腰三角形；所以等腰三角形的底邊為5．故選：A．5．解：如圖，以AB為等腰△ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有5個(gè)．故選：A．6．解：∵BD是△ABC的角平分線，∴∠ABC＝2∠ABD＝72°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∴△ABC是等腰三角形…①．∠A＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2×72°＝36°，∴∠A＝∠ABD，∴△ABD是等腰三角形…②．∵∠DBC＝∠ABD＝36°，∠C＝72°，∴∠BDC＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴△BDC是等腰三角形…③．故圖中的等腰三角形有3個(gè)．故選：C．7．解：∵ac＝12﹣bc，∴ac+bc＝12，∴（a+b）c＝12，∴12＝1×12＝2×6＝3×4，a+b＞c，∴或或，當(dāng)時(shí)，三邊長分別為1，6，6或1，1，11（不合題意舍去）；當(dāng)時(shí)，三邊長分別為2，3，3或2，2，4（不合題意舍去）；當(dāng)時(shí)，三邊長分別為3，2，2或3，3，1，所以一共有4個(gè)，故選：B．8．解：延長BD交AC于E，如圖，∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，∴△BCE為等腰三角形，∴DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，∵∠A＝∠ABD，∴EA＝EB＝2，∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．故選：D．9．解：∵∠A＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∵∠B＝40°，∴∠C＝90°﹣40°＝50°，故選：D．10．解：這樣做根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是三角形的穩(wěn)定性，故選：B．11．解：過A作AD⊥BC交BC的延長線于D，∴∠D＝90°，∴AB2﹣BD2＝AD2＝AC2﹣CD2，∵AB＝20，AC＝13，BC＝11，∴202﹣（11+CD）2＝132﹣CD2，∴CD＝5，∴AD＝＝＝12，∴點(diǎn)A到BC的距離是12，故選：D．12．解：∵以AB為邊的正方形的面積為9，∴AB2＝9，∵以BC為斜邊的等腰直角三角形的面積為4，∴等腰直角三角形的腰長為2，∴BC2＝16，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，則AC＝＝＝5，∵S△ABC＝×AB×AC＝×AC×BD，∴×3×4＝×5×BD，解得：BD＝，由勾股定理得：AD＝＝＝，故選：C．13．解：大正方形的面積為16，得到它的邊長為4，即得a2+b2＝42＝16，ab＝3，由題意4×3+（a﹣b）2＝16，ab＝6，所以（a﹣b）2＝4，所以（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+4×6＝28，故選：C．14．解：如圖所示：∵（a+b）2＝26，∴a2+2ab+b2＝26，∵大正方形的面積為17，∴2ab＝26﹣17＝9，∴小正方形的面積為17﹣9＝8，故選：C．15．解：A、22+32≠42，∴三角形不是直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意；B、82+122≠202，∴此三角形不是直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意；C、72+242＝252，∴三角形是直角三角形，故選項(xiàng)符合題意；D、52+132≠152，∴三角形不是直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意．故選：C．16．解：補(bǔ)充條件：AB＝DE．在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．故答案為：AB＝DE．17．解：當(dāng)這個(gè)三角形是銳角三角形時(shí)：高與另一腰的夾角為50，則頂角是40°，因而底角是70°；如圖所示：當(dāng)這個(gè)三角形是鈍角三角形時(shí)：∠ABD＝40°，BD⊥CD，故∠BAD＝40°，所以∠B＝∠C＝20°，因此這個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角的度數(shù)為20°或70°．故答案為：20°或70°．18．解：∵如果腰長為3，則3+3＝6，不符合三角形三邊關(guān)系，所以腰長只能為6．∴其周長6+6+3＝15．故答案為：15．19．解：如圖，∵AB＝AC，∠B＝35°，∴∠B＝∠C＝35°，∴∠BAC＝110°，當(dāng)∠BAD＝90°時(shí)，∠DAC＝110°﹣90°＝20°；當(dāng)∠ADB＝90°時(shí)，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠DAC＝∠BAD＝55°．故答案為：20°或55°．20．解：如圖，根據(jù)已知，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，點(diǎn)D在CA上，且DC＝2，∴AD＝AC﹣CD＝4，∠BAC＝45°，①作DP1⊥AB于P1，則三角形AP1D是等腰三角形；②當(dāng)AP2＝AD＝4時(shí)，三角形AP2D是等腰三角形；③作DP3⊥AC，垂足為D，交AB于P3，則三角形AP3D是等腰三角形；④當(dāng)點(diǎn)P在BC上，AD＝PD＝4時(shí)，三角形AP4D是等腰三角形．故使△APD為等腰三角形的點(diǎn)P有4個(gè)．故答案為：4．21．解：根據(jù)三角形三邊關(guān)系，能擺成兩種不同的等腰三角形，分別為：①腰和底邊都由3根火柴棒組成；②腰由4根火柴棒組成，底邊有1根火柴棒，故答案為：2．22．解：∵CD平分∠ACB交AB于D，∴∠ACD＝∠DCB，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB，∴∠EDC＝∠ECD，∴DE＝EC＝4cm，∵AE＝5cm，∴AC＝AE+EC＝5+4＝9（cm）．故答案為：9cm．23．解：∵∠NPM＝180°﹣70°﹣40°＝70°，∵向北的方向線是平行的，∴∠M＝70°，∴∠NPM＝∠M，∴NP＝MN＝40×2＝80（海里），故答案為：80．24．解：在△ABC中，∠C＝90°，則∠A+∠B＝90°，由題意得，解得：∠A＝60°，∠B＝30°，故答案為：60°．25．解：∵∠B＝90°，∠ACD＝130°，∠A+∠B＝∠ACD，∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝130°﹣90°＝40°，故答案為：40．26．解：當(dāng)腰為6時(shí)，則另兩邊長為6、20﹣6×2＝8，此時(shí)三邊滿足三角形三邊關(guān)系，即此時(shí)三角形的另兩邊為6，8；當(dāng)?shù)走厼?時(shí)，則另兩邊長為（20﹣6）＝7，此時(shí)三邊滿足三角形三邊關(guān)系，即此時(shí)三角形的另兩邊為7，7；綜上可知三角形的另兩邊長為6，8或7，7．27．證明：∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠1＝60°，∴∠CFE＝180°﹣∠DFE，＝180°﹣60°，＝120°，∴∠CEF＝180°﹣∠2﹣∠CFE＝180°﹣30°﹣120°＝30°，∴∠2＝∠CEF，∴CF＝EF，∴△FCE是等腰三角形．28．解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠PBO＝∠CBO，∠QCO＝∠BCO，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝＝55°，∴∠BOC＝180°﹣55°＝125°；（2）∵PQ∥BC，∴∠POB＝∠PBO，∴PB＝PO，同理可得QO＝QC，∴△APQ的周長為AP+PO+AQ+QO＝AB+AC，又∵△ABC的周長為32，BC＝13，∴AB+AC＝32﹣13＝19，∴△APQ的周長為19．29．解：∵∠C＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵BO、AO分別平分∠CBA、∠CAB，∴∠2＝∠CBA，∠1＝∠CAB，∴∠1+∠2＝∠CBA+∠CAB＝（∠CBA+∠CAB）＝×90°＝45°，∴∠AOB＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣45°＝135°．30．解：（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在邊AB的垂直平分線上時(shí)，過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，連接BP，則PA＝PB＝t（cm），∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝