復(fù)變函數(shù)目標(biāo)檢測(cè)練習(xí)冊(cè)

...wd......wd......wd...練習(xí)一復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算、復(fù)數(shù)的幾何表示填空題1．4＝2．＝Arg=arg3.z=，則=argz=4.將z=－cos+isin表示成三角形式為表示成指數(shù)形式為Argz=argz=5.－i的三角表示形式為，指數(shù)表示形式為二．分別就0＜與-＜＜-兩種情形將復(fù)數(shù)z=1-cos+isin化成三角形式與指數(shù)形式，并求它的輻角主值。三．利用復(fù)數(shù)表示圓的方程a2+y2+bx+cy+d=0，其中a,b,c,d是實(shí)常數(shù)。四．求以下方程所表示的曲線①z+=1②z－z－=4五．證明⑴假設(shè)z1+z2+z3=0且1=2=3=1，則點(diǎn)z1,z2,z3為一內(nèi)接單位圓的等邊三角形的頂點(diǎn)。⑵假設(shè)z1+z2+z3+z4=0且1=2=3=4，則點(diǎn)z1,z2,z3,z4或者為一矩形的頂點(diǎn)，或者兩兩重合。練習(xí)二復(fù)數(shù)的乘冪與方根、區(qū)域填空題1．〔1＋i〕3＋〔1－i〕3＝2．＝3．{z1<<2}的內(nèi)點(diǎn)是外點(diǎn)是邊界點(diǎn)是4．0<Re(z)<1所確定的是〔區(qū)域、閉區(qū)域〕它是〔有界、無(wú)界〕二、求以下復(fù)數(shù)的值〔1〕10〔2〕三、正方形的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)為z1(0，－1)于z3(2，5)，求另外兩個(gè)頂點(diǎn)z2于z4的坐標(biāo)。四、畫(huà)出1所表示的圖形，并指出所表示的圖形是否是區(qū)域，是否有界五、x2+x+1=0，求x11+x7+x3的值。六、求證：〔1+cos+isin〕n=2ncosn(cos+isin)練習(xí)三復(fù)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性選擇題1．以下函數(shù)極限存在的是〔〕A．B.C.D.(－)2．將Z平面上的曲線x2+y2=4映射成W平面上的曲線u2+v2=的映射函數(shù)f(z)為〔〕A．W=B.W=Z2C.W=D.W=3．復(fù)變函數(shù)W=Z2確定的兩個(gè)實(shí)元函數(shù)為〔〕A.u=x2+y2v=2xyB.u=2xyv=x2-y2C.u=x2v=2xyD.u=x2+y2v=2xy4．兩個(gè)實(shí)二元函數(shù)u=5．在映射W=Z2之下，Z平面的雙曲線x2－y2=4映射成W平面上的圖形為〔〕A．直線u=4B.圓u2+v2=4C.直線v=4D.雙曲線uv=4二、考慮f(z)=+在z=0的極限三、函數(shù)W=把以下z平面上的曲線映射成W平面上假設(shè)何的曲線〔1〕y=x(2)x=1(3)(x－1)2+y2=1四、試討論函數(shù)f(z)=練習(xí)四解析函數(shù)的概念函數(shù)解析的充要條件選擇題1．以下命題正確的選項(xiàng)是〔〕A．如果在z0連續(xù)，那么存在B．如果存在，那么在z0解析C．如果在z0解析，那么存在D．如果z0是的奇點(diǎn)，那么在z0不可導(dǎo)2．以下函數(shù)僅在z=0處可導(dǎo)的是〔〕A.＝2B.=x+2yiC.=z2D.=3．以下函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處解析的是〔〕A．f(z)=B.f(z)=ex(cosy+isiny)C.f(z)=D.f(z)=4.下面各式是柯西—黎曼方程的極坐標(biāo)形式的是〔〕A．==-B.==-C.==-D.=r=-r5．以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是〔〕A．如果z0是f(z)和g(z)的一個(gè)奇點(diǎn)，那么z0也是f(z)＋g(z)的一個(gè)奇點(diǎn)B．如果z0是f(z)和g(z)的一個(gè)奇點(diǎn)，那么z0也是f(z)－g(z)的一個(gè)奇點(diǎn)C．如果z0是f(z)和g(z)的一個(gè)奇點(diǎn)，那么z0也是f(z)g(z)的一個(gè)奇點(diǎn)D．如果z0是f(z)和g(z)的一個(gè)奇點(diǎn)，那么z0也是f(z)/g(z)的一個(gè)奇點(diǎn)二．設(shè)ay3+bx2y+i(x3+pxy2)為解析函數(shù)，試求a,b,p之值。三．以下函數(shù)在何處可導(dǎo)，何處解析，并求可導(dǎo)處的導(dǎo)數(shù)1．f(z)=2.f(z)=zIm(z)3.f(z)=(y3-3x2y)+i(x3-3xy2+1)四．設(shè)f(z)=u+iv=為解析函數(shù)，證明：假設(shè)函數(shù)u,v,之一恒等于常數(shù)，則函數(shù)f(z)亦為常數(shù)。練習(xí)五初等函數(shù)填空題1．i2-i=(-1)=1i=2.e=eln(1-i)=3.lni=Lni=4.sin(i+2i)=二．解方程1．sinz+1=0z為復(fù)數(shù)2．ez=-1z為復(fù)數(shù)三．求22i的主值及主值的輻角主值四．當(dāng)z=x+iy時(shí)，試證以下不等式〔1〕(2)練習(xí)六復(fù)變函數(shù)積分的概念柯西——古薩根本定理復(fù)合閉路定理填空題設(shè)C為正向圓周：=3則===(n為大于1的正整數(shù))2．=其中C為正向圓周：＝23．＝其中C為正向圓周：＝44．＝其中C為正向圓周：＝15．＝其中C為正向圓周：二．求和，其中和的起點(diǎn)和終點(diǎn)一樣，都是0和1＋i，但路徑不同，是連接這兩點(diǎn)的直線段，是經(jīng)過(guò)z=1的折線段。三．試求以下積分的值〔1〕c={}(2)c={}(3)c={}(4)c={}四．設(shè)0<r<R,求函數(shù)沿圓周〔正向〕的積分，并由此推證練習(xí)七原函數(shù)與不定積分柯西積分公式填空題1．dz＝其中C為正向圓周：2．＝3．假設(shè)f(z)=(z-z)(z-z2)…(z-z)(zz;ij,i,j=1,…,n,n>1),又假設(shè)封閉曲線C不通過(guò)每一點(diǎn)z,則積分能取個(gè)不同的值。4．dz＝5．＝dz＝二．求積分dz其中C為正向圓周：三．求函數(shù)沿正向圓周C：的積分值，設(shè)圓周C的圓心分別在：〔1〕z=1;(2)z=;(3)z=-1;(4)z=-i四．設(shè)f(z)=(1)試證f(1)=4i(2)當(dāng)時(shí)，試求f(z)之值練習(xí)八解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系填空題1．＝2．＝3．如果二元實(shí)變函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足，那么稱(chēng)f(x,y)為區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。4．區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部〔是，不是〕實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù)，實(shí)部〔是，不是〕虛部的共軛調(diào)和函數(shù)。二．設(shè)C是不通過(guò)z的簡(jiǎn)單閉曲線，試求g(z)=的值。三．求積分的值，假設(shè)C為正向圓周：〔1〕〔2〕〔3〕四．為調(diào)和函數(shù)，求滿足f(2)=-i的解析函數(shù)f(z)=u+iv練習(xí)九復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)選擇題1．以下數(shù)列極限不存在的是〔〕A．B.C.D.2．以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔〕A．每一個(gè)冪級(jí)數(shù)在它的收斂圓內(nèi)與收斂圓上收斂B．每一個(gè)冪級(jí)數(shù)收斂于一個(gè)解析函數(shù)C．每一個(gè)在z連續(xù)的函數(shù)一定可以在z的領(lǐng)域內(nèi)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)D．在收斂圓內(nèi)，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)是解析函數(shù)3．以下級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的是〔〕A．B.C.D.4.以下級(jí)數(shù)收斂半徑為的是〔〕A．B.C.D.5．=〔〕A．0B.C.1D.為0為為1時(shí)不存在二．以下級(jí)數(shù)是否收斂是否絕對(duì)收斂〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕三．設(shè)級(jí)數(shù)收斂，而發(fā)散，證明的收斂半徑為1練習(xí)十泰勒級(jí)數(shù)洛朗級(jí)數(shù)將函數(shù)f(z)=展開(kāi)成z的冪級(jí)數(shù)，寫(xiě)出它的收斂圓周。二．求函數(shù)在點(diǎn)z＝-1處的泰勒展開(kāi)式，并指出它的收斂半徑。三．〔1〕求函數(shù)f(z)=在以z＝0為中心，由它的奇點(diǎn)互相隔開(kāi)的各個(gè)不同圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開(kāi)式?！?〕求函數(shù)f(z)=在以z＝1為中心的圓環(huán)域：①②內(nèi)的洛朗展開(kāi)式。練習(xí)十一孤立奇點(diǎn)選擇題1．Z＝0是函數(shù)的〔〕A．可去奇點(diǎn)B.一級(jí)極點(diǎn)C.本性奇點(diǎn)D.解析點(diǎn)2．z＝1是f(z)=的〔〕A．可去奇點(diǎn)B.三級(jí)極點(diǎn)C.本性奇點(diǎn)D.二級(jí)極點(diǎn)3．z＝1是f(z)＝的〔〕A．一級(jí)零點(diǎn)B.三級(jí)零點(diǎn)C.一級(jí)極點(diǎn)D.三級(jí)極點(diǎn)4．z＝0是函數(shù)f(z)=的級(jí)極點(diǎn)A．一級(jí)B.二級(jí)C.三級(jí)D.四級(jí)5．是f(z)=的〔〕A．可去奇點(diǎn)B.一級(jí)極點(diǎn)C.本性奇點(diǎn)D.二級(jí)極點(diǎn)二．求出函數(shù)f(z)=的奇點(diǎn)，如果是極點(diǎn)，指出它的級(jí)。三．函數(shù)f(z)=在擴(kuò)大復(fù)平面內(nèi)有些什么類(lèi)型的奇點(diǎn)如果是極點(diǎn)，指出它的級(jí)。練習(xí)十二留數(shù)留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用填空題設(shè)f(z)=，則Res=Res=Res=Res=Res=二．求函數(shù)f(z)=在各有限孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)。三．利用留數(shù)計(jì)算，其中C為一正向圓周〔1〕C的中心在0點(diǎn)，半徑為〔2〕C的中心在0點(diǎn)，半徑為2四．計(jì)算積分dz，C為正向圓周：＝5五．計(jì)算以下積分〔1〕〔2〕〔3〕六．如果f(z)在解析，證明在時(shí)等式成立。練習(xí)十三共形映射的概念分式線性映射填空題1．設(shè)函數(shù)在z的領(lǐng)域內(nèi)有定義，且在z具有，那么稱(chēng)映射在z是共形的，或稱(chēng)在z是共形映射。2．在z=i處伸縮率為，旋轉(zhuǎn)角為。3．一個(gè)解析函數(shù)所構(gòu)成的映射在條件下具有伸縮率和旋轉(zhuǎn)角的不變性。4．映射是第類(lèi)共形映射。5．映射把上半個(gè)圓域：，Im(z)0映射成二．證明：映射把圓周映射成橢圓：三．如果函數(shù)將z平面上的單位圓映射成平面上的直線，試求a,b,c,d應(yīng)滿足的條件。四．區(qū)域在映射下映射成什么練習(xí)十四唯一決定分式線性映射的條件幾個(gè)初等函數(shù)所構(gòu)成的映射選擇題1．下面幾個(gè)映射中，能將上半平面映射成上半平面的映射為〔〕A．,a,b,c,d為實(shí)常數(shù)B．,a,b,c,d為實(shí)常數(shù)C．，為實(shí)數(shù)D．2．指數(shù)函數(shù)將水平的帶形域映射成〔〕A．角形域B.角形域C．角形域D.圓域3．能將點(diǎn)z＝1,i,-i分別映射成點(diǎn)w＝1,0,-1的分式線性映射為〔〕A．B.C.D.4.下面幾個(gè)映射中，能將右半平面映射成單位圓的映射為〔〕A．B.其中為任意實(shí)數(shù)C．D.其中為任意實(shí)數(shù)二．分式線性變換將上半平面變到上半平面，且滿足f(0)=0,f(i)=1+i，求f(z)三．求把區(qū)域變到上半平面的一個(gè)映射。復(fù)變函數(shù)單元練習(xí)〔一〕判斷題〔正確打√，錯(cuò)誤打〕1.復(fù)數(shù).()2.假設(shè)為純虛數(shù)，則.()3.?！病?.在點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件是在點(diǎn)連續(xù)?！病?.參數(shù)方程〔為實(shí)參數(shù)〕所表示的曲線是拋物線.()二、填空題1.假設(shè)等式成立，則______,_______.2.方程表示的曲線是__________________________.3.方程的根為_(kāi)________________________________.4.復(fù)變函數(shù)的實(shí)部_________,虛部_________.5.設(shè),，則=______.6.復(fù)數(shù)的三角表示式為_(kāi)________________，指數(shù)表示式為_(kāi)________________.三、計(jì)算、證明題1．求出復(fù)數(shù)的模和輻角。2．設(shè)滿足求與的關(guān)系式。3．求=將平面上的直線所映射成平面上的曲線方程。4．求角形域在映射下的象。5．將直線方程化為復(fù)數(shù)形式。復(fù)變函數(shù)單元練習(xí)〔二〕判斷題〔正確打√，錯(cuò)誤打〕1.假設(shè)在區(qū)域D內(nèi)處處為零，則在D內(nèi)必恒為常數(shù)?！病?.假設(shè)可導(dǎo)，則也可導(dǎo)。〔〕3.假設(shè)在點(diǎn)不解析，則在點(diǎn)必不可導(dǎo)?！病?..〔〕5.函數(shù)在點(diǎn)可微等價(jià)于在點(diǎn)可微?！病?.函數(shù)是周期函數(shù)?！病扯?、填空題1.設(shè),則_________________2._____________________________.3.________________________.4.________________________.5.方程的解為_(kāi)_______________.6.設(shè),則的模為_(kāi)_______________.7.函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)是在該點(diǎn)解析的_________條件。三、計(jì)算、證明題1．問(wèn)取何值時(shí),在域內(nèi)是解析函數(shù)。2．討論函數(shù)在何處可導(dǎo)，何處解析，并求其可導(dǎo)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。3．假設(shè)函數(shù)解析,且,求證為一個(gè)常數(shù)。4．假設(shè)函數(shù)解析,且，試求.5．求方程的全部解。復(fù)變函數(shù)單元練習(xí)〔三〕判斷題〔正確打√，錯(cuò)誤打〕1.設(shè)C為的解析域D內(nèi)的一條簡(jiǎn)單正向閉曲線,則.〔〕2.假設(shè)都是調(diào)和函數(shù)，則是解析函數(shù)。〔〕3.設(shè)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，是的一個(gè)原函數(shù)，C為D內(nèi)的一條正向閉曲線，則.()4.設(shè)是區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，則函數(shù)在D內(nèi)解析。()5.假設(shè)函數(shù)在D內(nèi)解析，則函數(shù).()二、填空題1.設(shè)C為從點(diǎn)到點(diǎn)的直線段，則_______.2.假設(shè)C為正向圓周，則________.3.假設(shè)C為正向圓周，則________.4.假設(shè)函數(shù)為區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，則_____.5.假設(shè)，，則_____,..三、計(jì)算、證明題1．設(shè)點(diǎn)A，B分別為和，試計(jì)算的值，其中C為點(diǎn)到點(diǎn)的直線段；〔2〕由點(diǎn)沿直線到再到的折線段.2．設(shè)C為從-2到2的上半圓周，計(jì)算積分的值。3．計(jì)算4．計(jì)算，其中C為正向圓周.5．計(jì)算積分，(1)當(dāng)點(diǎn)0在C內(nèi)，點(diǎn)1在C外；(2)當(dāng)點(diǎn)1在C內(nèi)，點(diǎn)0在C外；(3)當(dāng)點(diǎn)0，1均在C內(nèi)；(4)當(dāng)點(diǎn)0，1均在C外。6．證明為調(diào)和函數(shù)，再求其共軛函數(shù)，并寫(xiě)出關(guān)于z的表示式。復(fù)變函數(shù)單元練習(xí)〔四〕一、判斷題〔正確打√，錯(cuò)誤打〕1.數(shù)列必收斂?！病?.設(shè)，則級(jí)數(shù)收斂的充要條件是級(jí)數(shù)與都收斂。〔〕3.每個(gè)冪級(jí)數(shù)必在其收斂圓上收斂?！病?.假設(shè)冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂則它必在點(diǎn)收斂?！病?.假設(shè)冪級(jí)數(shù)在處收斂，則它必在處收斂?！病扯⑻羁疹}設(shè)的收斂域?yàn)?，則冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開(kāi)_____.2.冪級(jí)數(shù)的收斂圓的中心為_(kāi)_____,收斂半徑為_(kāi)______.3.函數(shù)在處所展泰勒級(jí)數(shù)的收斂半徑為_(kāi)______.4.設(shè)的羅朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式為，則其收斂圓環(huán)域?yàn)?A)；(B)或；(C)或；(D).三、計(jì)算、證明題1．將函數(shù)在處展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，并指出其收斂半徑。2．將分別在以下圓環(huán)域內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù)(1)(2).3．將在圓環(huán)域內(nèi)展開(kāi)成羅朗級(jí)數(shù)。復(fù)變函數(shù)單元練習(xí)〔五〕一、判斷題〔正確打√，錯(cuò)誤打〕1.必為的可去奇點(diǎn)。()2.假設(shè)，且在點(diǎn)解析，則必是的m極零點(diǎn)。()3.假設(shè)是的m級(jí)(m>1)極點(diǎn)，則必為的m+1級(jí)極點(diǎn)。()4.=0是的可去奇點(diǎn)。〔〕5.在內(nèi)成立，由式中知，.〔〕二、選擇、填空題1.為函數(shù)的______.(A)二級(jí)零點(diǎn)；〔B〕一級(jí)極點(diǎn)；(C)可去奇點(diǎn)；(D)本性奇點(diǎn)。2.是的______.