東城高三數(shù)學(xué)試卷

東城高三數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若函數(shù)\(f(x)=\sinx+\cosx\)的最大值為\(\sqrt{2}\)，則\(f(x)\)的周期為（）。

A.\(\pi\)

B.\(2\pi\)

C.\(3\pi\)

D.\(4\pi\)

2.若\(\log_{a}(2a^2-3a+1)=1\)，則\(a\)的值為（）。

A.\(2\)

B.\(\frac{1}{2}\)

C.\(3\)

D.\(\frac{1}{3}\)

3.已知\(\triangleABC\)中，\(a=4\)，\(b=3\)，\(c=5\)，則\(\angleA\)的余弦值為（）。

A.\(\frac{3}{5}\)

B.\(\frac{4}{5}\)

C.\(\frac{5}{4}\)

D.\(\frac{5}{3}\)

4.若\(a\)，\(b\)，\(c\)是等差數(shù)列的公差為\(d\)的三項(xiàng)，則\((a+b)^2\)的展開式為（）。

A.\(a^2+b^2+2ab\)

B.\(a^2+b^2+2cd\)

C.\(a^2+b^2+2d^2\)

D.\(a^2+b^2+2(a+b)d\)

5.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x-\sinx}{x^2}=3\)，則\(\sin3x\)的展開式中的\(x^3\)的系數(shù)為（）。

A.3

B.6

C.9

D.12

6.已知\(y=x^2-4x+4\)，則\(y\)的對(duì)稱軸方程為（）。

A.\(x=2\)

B.\(x=-2\)

C.\(y=2\)

D.\(y=-2\)

7.若\(\log_{2}(a+2)=\log_{2}(a-1)\)，則\(a\)的值為（）。

A.1

B.2

C.3

D.4

8.若\(\triangleABC\)中，\(a=5\)，\(b=6\)，\(c=7\)，則\(\triangleABC\)的面積為（）。

A.10

B.12

C.14

D.16

9.若\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=1\)，則\(x\)的值為（）。

A.1

B.2

C.3

D.4

10.若\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx-x}{x^3}=\frac{1}{3}\)，則\(\tanx\)的展開式中的\(x^3\)的系數(shù)為（）。

A.\(\frac{1}{3}\)

B.\(\frac{1}{6}\)

C.\(\frac{1}{9}\)

D.\(\frac{1}{12}\)

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，屬于奇函數(shù)的是（）。

A.\(f(x)=x^3\)

B.\(f(x)=x^2\)

C.\(f(x)=\sinx\)

D.\(f(x)=\cosx\)

2.若\(\log_{a}(x+1)+\log_{a}(x-1)=2\)，則\(x\)的取值范圍為（）。

A.\(x>1\)

B.\(x<1\)

C.\(x\geq1\)

D.\(x\leq1\)

3.下列數(shù)列中，屬于等比數(shù)列的是（）。

A.\(1,2,4,8,16,\ldots\)

B.\(1,3,6,10,15,\ldots\)

C.\(1,3,9,27,81,\ldots\)

D.\(1,4,9,16,25,\ldots\)

4.下列命題中，正確的是（）。

A.\(\forallx\in\mathbb{R},x^2\geq0\)

B.\(\existsx\in\mathbb{R},x^2=-1\)

C.\(\forallx\in\mathbb{R},x^3\geq0\)

D.\(\existsx\in\mathbb{R},x^3=-1\)

5.下列函數(shù)中，在\(x=0\)處可導(dǎo)的是（）。

A.\(f(x)=|x|\)

B.\(f(x)=x^2\)

C.\(f(x)=\frac{1}{x}\)

D.\(f(x)=e^x\)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.函數(shù)\(f(x)=\frac{x^2-1}{x+1}\)的極小值為_______。

2.二項(xiàng)式\((x+2)^5\)的展開式中\(zhòng)(x^3\)的系數(shù)為_______。

3.在\(\triangleABC\)中，若\(a=3\)，\(b=4\)，\(c=5\)，則\(\angleA\)的正弦值為_______。

4.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，則\(\sinx\)的展開式中的\(x^2\)的系數(shù)為_______。

5.數(shù)列\(zhòng)(1,3,5,7,\ldots\)的通項(xiàng)公式為_______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算下列極限：

\[\lim_{x\to0}\frac{\sin2x-\sinx}{x^2}\]

2.解下列方程：

\[2\sin^2x+3\cosx-1=0\]

3.已知函數(shù)\(f(x)=x^3-6x^2+9x\)，求\(f(x)\)的導(dǎo)數(shù)\(f'(x)\)。

4.求函數(shù)\(f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}\)的反函數(shù)\(f^{-1}(x)\)。

5.設(shè)\(\triangleABC\)的內(nèi)角\(A\)，\(B\)，\(C\)滿足\(A+B+C=\pi\)，且\(a=5\)，\(b=6\)，\(c=7\)，求\(\cosA\)，\(\cosB\)，\(\cosC\)的值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.B

解題過程：函數(shù)\(f(x)=\sinx+\cosx\)可以寫為\(\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})\)，因此周期為\(2\pi\)。

2.B

解題過程：由\(\log_{a}(2a^2-3a+1)=1\)得\(2a^2-3a+1=a\)，解得\(a=\frac{1}{2}\)。

3.A

解題過程：由余弦定理\(\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)，代入\(a=4\)，\(b=3\)，\(c=5\)得\(\cosA=\frac{3^2+5^2-4^2}{2\cdot3\cdot5}=\frac{3}{5}\)。

4.D

解題過程：由等差數(shù)列的性質(zhì)，\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2=a^2+2d(a+d)+d^2\)。

5.C

解題過程：利用洛必達(dá)法則，\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x-\sinx}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{3\cos3x-\cosx}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{9\sin3x+\sinx}{2}=3\)。

6.A

解題過程：由對(duì)稱軸公式\(x=-\frac{2a}\)，代入\(y=x^2-4x+4\)得\(x=2\)。

7.B

解題過程：由對(duì)數(shù)的性質(zhì)\(\log_{a}(b)=\log_{a}(c)\)則\(b=c\)，得\(a+2=a-1\)，解得\(a=2\)。

8.C

解題過程：由海倫公式\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)，其中\(zhòng)(p=\frac{a+b+c}{2}\)，代入\(a=5\)，\(b=6\)，\(c=7\)得\(S=\sqrt{7(7-5)(7-6)(7-7)}=7\)，面積\(A=\frac{1}{2}\cdota\cdotb\cdot\sinC=14\cdot\frac{3}{5}=8.4\)。

9.B

解題過程：由\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=1\)得\(\lim_{x\to\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=1\)，解得\(x=2\)。

10.B

解題過程：利用泰勒展開，\(\sinx\approxx-\frac{x^3}{6}\)，所以\(\sinx\)的展開式中的\(x^3\)的系數(shù)為\(-\frac{1}{6}\)。

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.A,C

2.A,D

3.A,C

4.A,D

5.A,D

三、填空題（每題4分，共20分）

1.-1

2.40

3.\(\frac{3}{5}\)

4.1

5.\(2n-1\)

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解答：

\[\lim_{x\to0}\frac{\sin2x-\sinx}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{2\cosx-1}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{-2\sinx}{2}=-1\]

2.解答：

\[2\sin^2x+3\cosx-1=0\]

\[\sin^2x=\frac{1-3\cosx}{2}\]

\[\sin^2x=\frac{1-3(1-2\sin^2x)}{2}\]

\[\sin^2x=\frac{5-6\sin^2x}{2}\]

\[7\sin^2x=5\]

\[\sinx=\pm\sqrt{\frac{5}{7}}\]

3.解答：

\[f'(x)=3x^2-12x+9\]

4.解答：

\[f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}\]

\[f(x)=x+2\]

\[f^{-1}(x)=x-2\]

5.解答：

\[\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{6^2+7^2-5^2}{2\cdot6\cdot7}=\frac{5}{6}\]

\[\cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{5^2+7^2-6^2}{2\cdot5\cdot7}=\frac{1}{2}\]

\[\cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{5^2+6^2-7^2}{2\cdot5\cdo