2025屆上海行知中學(xué)高一下學(xué)期數(shù)學(xué)月考試卷（2025.06）（含答案）

行知中學(xué)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)數(shù)學(xué)月考22025.5一、填空題（本大題共12小題，滿(mǎn)分42分，第1-6題每題3分，第7-12題每題4分）

1．設(shè)集合，則．

【答案】2．函數(shù)（是有理數(shù)）的圖象過(guò)一定點(diǎn)，則的坐標(biāo)為．

【答案】3．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為．

【答案】14．為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則．

【答案】5．已知角的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合．終邊過(guò)點(diǎn)，則．

【答案】6．已知，則．

【答案】7．關(guān)于的不等式的解集為．

【答案】8．如果函數(shù)滿(mǎn)足對(duì)任意，都有成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是．

【答案】9．在中，角的對(duì)邊分別是，若，且，則的面積最大值是．

【答案】10．設(shè)為實(shí)數(shù)，若，則的最大值是．

【答案】11．已知，順次連接函數(shù)與的任意三個(gè)相鄰的交點(diǎn)都構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形，則．

【答案】12．已知的外接圓圓心為，若（為實(shí)數(shù)）有最小值，則參數(shù)的取值范圍是．

【答案】二、選擇題（本大題共有4題，滿(mǎn)分12分，每題3分）

13．設(shè)，則＂＂是＂＂的（）.

A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既非充分也非必要條件

【答案】A14．有四個(gè)命題：（1）若，則；（2）若，則；（3）若＂，則；（4）若且，則.其中正確命題的序號(hào)是（）.

A．（1）（3）B．（2）（4）C．（3）（4）D．（1）（4）【答案】C15．三角函數(shù)是刻畫(huà)周期現(xiàn)象最典型的數(shù)學(xué)模型．關(guān)于三角函數(shù)周期性給出兩個(gè)結(jié)論：（1）函數(shù)是周期函數(shù)；（2）函數(shù)是周期函數(shù)，則下列判斷正確的是（）.

A．（1）（2）都正確B．（1）（2）都錯(cuò)誤C．（1）正確，（2）錯(cuò)誤D．（1）錯(cuò)誤，（2）正確

【答案】C16．已知定義在R上的偶函數(shù)，滿(mǎn)足對(duì)任意的實(shí)數(shù)都成立，且值域?yàn)?設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）.

A．B．C．D．

【答案】D三、解答題（本大題滿(mǎn)分46分）17．（本題滿(mǎn)分8分，第1小題4分，第2小題4分）

已知是一元二次方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根.

（1）求的值；

（2）若為純虛數(shù)，求.【答案】（1）（2）【解析】（1）由條件可知，，

則，得，

則，得，所以；

（2）由題意可知得，所以，則．

18．（本題滿(mǎn)分8分，第1小題4分，第2小題4分）

已知向量滿(mǎn)足

（1）求與的夾角余弦值；

（2）求向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）【解析】（1）因?yàn)?，所以?/p>

又，所以，

故與的夾角余弦值為；

（2）因?yàn)?，則，所以向量在向量上的投影向量坐標(biāo)為．

19．（本題滿(mǎn)分8分，第1小題4分，第2小題4分）

為了美化環(huán)境，某公園欲將一塊空地規(guī)劃建成休閑草坪，休閑草坪的形狀為如圖所示的四邊形，并修建兩條小路（路的寬度忽略不計(jì)），其中千米，千米，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．設(shè)．

（1）當(dāng)時(shí)，求：①小路的長(zhǎng)度；②草坪的面積；

（2）當(dāng)草坪的面積最大時(shí)，求此時(shí)小路的長(zhǎng)度．【答案】（1）（2）【解析】（1）由，故，

由余弦定理可得，即，由正弦定理可得，即，

則，

故有，故;

（2），,

故，則，其中，則當(dāng)，即時(shí)，草坪ABCD的面積最大，

此時(shí)，即此時(shí)小路BD的長(zhǎng)度為.

20．（本題滿(mǎn)分10分，第1小題4分，第2小題6分）

已知，函數(shù)．

（1）若函數(shù)的值域?yàn)?，求的取值范圍?/p>

（2）若關(guān)于的方程的解集中恰好只有一個(gè)元素，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，即的值域?yàn)椋誓軌蛉〉揭磺写笥?的實(shí)數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，不符合題意，

當(dāng)時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得，解得;綜上所述：的取值范圍是．

（2）關(guān)于的方程的解集中恰好只有一個(gè)元素，

所以的解集中恰好只有一個(gè)元素，

即且的解集中恰好只有一個(gè)元素，

所以，即，

①當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，滿(mǎn)足題意；

②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)也滿(mǎn)足題意；

③當(dāng)且時(shí)，兩根為，

當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，由得，

因?yàn)楹椭荒苋∫粋€(gè)值，

所以只能取，所以且，解得．

綜上所述：的取值范圍是．

21．（本題滿(mǎn)分12分，第1小題3分，第2小題4分，第3小題5分）

已知函數(shù)，若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)都能構(gòu)成三角形的三條邊長(zhǎng)，則稱(chēng)函數(shù)為上的＂完美三角形函數(shù)＂．

（1）記在上的最大值、最小值分別為，試判斷＂＂是＂為上的＂完美三角形函數(shù)＂的什么條件？不需要證明；

（2）設(shè)向量，若函數(shù)為上的＂完美三角形函數(shù)＂，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）已知函數(shù)為（為正的實(shí)常數(shù)）上的＂完美三角形函數(shù)＂.函數(shù)的圖象上，是否存在不同的三個(gè)點(diǎn)，它們?cè)谝暂S為實(shí)軸，軸為虛軸的復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，滿(mǎn)足，且？若存在，請(qǐng)求出相應(yīng)的復(fù)數(shù)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）充要條件（2）（3）不存在【解析】（1）根據(jù)＂完美三角形函數(shù)＂的定義