高二理科試題及答案

高二理科試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)求導正確的是（）A.$(x^2)^\prime=x$B.$(\sinx)^\prime=-\cosx$C.$(e^x)^\prime=e^x$D.$(\lnx)^\prime=\frac{1}{x^2}$2.拋物線$y=4x^2$的焦點坐標是（）A.$(0,1)$B.$(1,0)$C.$(0,\frac{1}{16})$D.$(\frac{1}{16},0)$3.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(-2,x)$，若$\vec{a}\parallel\vec$，則$x=$（）A.4B.-4C.1D.-14.橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$的離心率為（）A.$\frac{\sqrt{7}}{4}$B.$\frac{\sqrt{7}}{3}$C.$\frac{4}{5}$D.$\frac{3}{5}$5.函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$的極大值為（）A.2B.0C.-2D.16.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a\gt0$，$b\gt0$）的漸近線方程為$y=\pm\frac{3}{4}x$，則雙曲線的離心率為（）A.$\frac{5}{4}$B.$\frac{5}{3}$C.$\frac{\sqrt{7}}{4}$D.$\frac{\sqrt{7}}{3}$7.已知$f(x)$是可導函數(shù)，且$f^\prime(1)=2$，則$\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(1+\Deltax)-f(1)}{2\Deltax}=$（）A.1B.2C.4D.88.曲線$y=x^3-2x+1$在點$(1,0)$處的切線方程為（）A.$x-y-1=0$B.$x-y+1=0$C.$x+y-1=0$D.$x+y+1=0$9.已知橢圓$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{4}=1$的焦距為2，則$m$的值為（）A.5B.3C.5或3D.810.若函數(shù)$f(x)=ax^3+3x^2+x+b$（$a\neq0$）有極值點，則$a$的取值范圍是（）A.$(0,3)$B.$(-\infty,0)\cup(0,3)$C.$(3,+\infty)$D.$(-\infty,0)\cup(3,+\infty)$二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列說法正確的是（）A.命題“$\forallx\inR$，$x^2\geq0$”的否定是“$\existsx\inR$，$x^2\lt0$”B.若$a\gtb$，則$ac^2\gtbc^2$C.“$x\gt1$”是“$x^2\gt1$”的充分不必要條件D.若$p\wedgeq$為假命題，則$p$，$q$均為假命題2.已知向量$\vec{a}=(1,m)$，$\vec=(-1,2)$，則（）A.若$\vec{a}\parallel\vec$，則$m=-2$B.若$\vec{a}\perp\vec$，則$m=\frac{1}{2}$C.若$|\vec{a}|=|\vec|$，則$m=\pm\sqrt{2}$D.若$\vec{a}$與$\vec$的夾角為鈍角，則$m\lt\frac{1}{2}$3.關于拋物線$y^2=2px$（$p\gt0$），下列說法正確的是（）A.焦點坐標為$(\frac{p}{2},0)$B.準線方程為$x=-\frac{p}{2}$C.拋物線上一點到焦點的距離等于到準線的距離D.過焦點且垂直于對稱軸的弦長為$2p$4.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a\gtb\gt0$），則下列說法正確的是（）A.長軸長為$2a$B.短軸長為$2b$C.焦距為$2c$（$c^2=a^2-b^2$）D.離心率$e=\frac{c}{a}$，且$0\lte\lt1$5.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是增函數(shù)的有（）A.$y=2^x$B.$y=\log_2x$C.$y=x^3$D.$y=\frac{1}{x}$6.已知函數(shù)$f(x)=x^2+2x+c$，則（）A.$f(1)\gtf(0)$B.若$f(a)=f(b)$，則$a=b$C.函數(shù)$f(x)$的圖象關于直線$x=-1$對稱D.當$c\gt0$時，函數(shù)$f(x)$有兩個零點7.對于雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a\gt0$，$b\gt0$），以下說法正確的是（）A.漸近線方程為$y=\pm\frac{a}x$B.離心率$e=\frac{c}{a}$（$c^2=a^2+b^2$）C.實軸長為$2a$D.虛軸長為$2b$8.已知函數(shù)$y=f(x)$的導函數(shù)為$y=f^\prime(x)$，下列說法正確的是（）A.若$f^\prime(x)\gt0$在區(qū)間$(a,b)$上恒成立，則$f(x)$在$(a,b)$上單調(diào)遞增B.若$f(x)$在$(a,b)$上單調(diào)遞增，則$f^\prime(x)\gt0$在$(a,b)$上恒成立C.若$f^\prime(x)$在$x=x_0$處取得極值，則$f^\prime(x_0)=0$D.若$f^\prime(x_0)=0$，則$x=x_0$是$f(x)$的極值點9.已知直線$l$過點$(1,0)$，且與拋物線$y^2=4x$相交于$A$，$B$兩點，則（）A.若直線$l$的斜率為1，則$|AB|=8$B.若直線$l$垂直于$x$軸，則$|AB|=4$C.若直線$l$的斜率為1，則弦$AB$的中點坐標為$(3,2)$D.若直線$l$垂直于$x$軸，則弦$AB$的中點坐標為$(1,0)$10.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x$，則（）A.函數(shù)$f(x)$有兩個極值點B.函數(shù)$f(x)$的極大值為2C.函數(shù)$f(x)$的極小值為-2D.函數(shù)$f(x)$的圖象關于原點對稱三、判斷題（每題2分，共10題）1.命題“若$a\gtb$，則$a^2\gtb^2$”是真命題。（）2.向量$\vec{a}=(1,2)$與向量$\vec=(2,4)$共線。（）3.拋物線$x^2=4y$的焦點到準線的距離為2。（）4.橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{3}$。（）5.函數(shù)$f(x)=x^3$的導數(shù)為$f^\prime(x)=3x^2$。（）6.若函數(shù)$y=f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上的圖象是連續(xù)不斷的，且$f(a)\cdotf(b)\lt0$，則函數(shù)$y=f(x)$在區(qū)間$(a,b)$內(nèi)至少有一個零點。（）7.雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$的漸近線方程為$y=\pm\frac{3}{2}x$。（）8.若直線$l$的斜率不存在，則直線$l$的傾斜角為$90^{\circ}$。（）9.函數(shù)$y=\sinx$的導數(shù)為$y^\prime=\cosx$。（）10.若向量$\vec{a}$與向量$\vec$的夾角為$120^{\circ}$，$|\vec{a}|=1$，$|\vec|=2$，則$\vec{a}\cdot\vec=-1$。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$y=x^3-3x^2+5$的單調(diào)區(qū)間。答案：對函數(shù)求導得$y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$y^\prime\gt0$，解得$x\lt0$或$x\gt2$，此為單調(diào)遞增區(qū)間；令$y^\prime\lt0$，解得$0\ltx\lt2$，此為單調(diào)遞減區(qū)間。2.已知橢圓方程為$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，求橢圓的長軸長、短軸長、焦距和離心率。答案：由方程可知$a=5$，$b=4$，則$c=\sqrt{a^2-b^2}=3$。長軸長$2a=10$，短軸長$2b=8$，焦距$2c=6$，離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$。3.求雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$的漸近線方程和離心率。答案：漸近線方程為$y=\pm\frac{a}x$，這里$a=3$，$b=4$，所以漸近線方程是$y=\pm\frac{4}{3}x$。$c=\sqrt{a^2+b^2}=5$，離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{5}{3}$。4.已知向量$\vec{a}=(1,-2)$，$\vec=(3,4)$，求$\vec{a}\cdot\vec$以及$|3\vec{a}-\vec|$。答案：$\vec{a}\cdot\vec=1\times3+(-2)\times4=3-8=-5$。$3\vec{a}-\vec=(3\times1-3,3\times(-2)-4)=(0,-10)$，則$|3\vec{a}-\vec|=\sqrt{0^2+(-10)^2}=10$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$f(x)=x^3-3x$的極值情況，并說明其單調(diào)性與極值的關系。答案：求導得$f^\prime(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$。令$f^\prime(x)=0$，得$x=\pm1$。當$x\lt-1$或$x\gt1$時，$f^\prime(x)\gt0$，函數(shù)遞增；當$-1\ltx\lt1$時，$f^\prime(x)\lt0$，函數(shù)遞減。所以極大值為$f(-1)=2$，極小值為$f(1)=-2$。單調(diào)性決定極值點位置，增區(qū)間與減區(qū)間的轉(zhuǎn)折點就是極值點。2.探討橢圓與雙曲線在定義、性質(zhì)上的異同點。答案：相同點：都是圓錐曲線。不同點：定義上，橢圓是到兩定點距離之和為定值，雙曲線是到兩定點距離之差的絕對值為定值。性質(zhì)上，橢圓離心率$0\lte\lt1$，雙曲線$e\gt1$；橢圓有長短軸，雙曲線有實虛軸；橢圓漸近線不存在，雙曲線有漸近線。3.結合實例說明導數(shù)在實際生活中的應用。答案：比如在成本與利潤問題中，設成本函數(shù)為$C(x)$，利潤函數(shù)為$L(x)$。通過對$C(x)$求導可得邊際成本，對$L(x)$求導可得邊際利潤。當邊際利潤為0