信號與系統(tǒng)新教材課件 07-第七章 離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

第七章離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院主要內(nèi)容離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)z變換離散時間系統(tǒng)的方框圖與信號流圖245離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析3引言1主要內(nèi)容離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)z變換離散時間系統(tǒng)的方框圖與信號流圖245離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析3引言17.1引言要求得系統(tǒng)的響應(yīng)就要求解系統(tǒng)方程，在連續(xù)系統(tǒng)中為微分方程，為避免解微分方程的麻煩我們用拉普拉斯變換將求解微分方程的問題轉(zhuǎn)化為求解代數(shù)方程的問題。7.1引言要求得系統(tǒng)的響應(yīng)就要求解系統(tǒng)方程，在連續(xù)系統(tǒng)中為微分方程，為避免解微分方程的麻煩我們用拉普拉斯變換將求解微分方程的問題轉(zhuǎn)化為求解代數(shù)方程的問題。在離散系統(tǒng)中我們有類似的方法，即z變換。它也可以將求解差分方程的問題轉(zhuǎn)化為求解代數(shù)方程的問題。7.1引言連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析法：求解微分方程；拉普拉斯變換（工具）：從時域到復(fù)頻域。離散時間系統(tǒng)的時域分析法：求解差分方程；Z變換（工具）：從離散時域到z域。7.1引言連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析法：傅里葉變換：從時域到頻域；連續(xù)信號頻譜、系統(tǒng)頻率響應(yīng)。離散時間系統(tǒng)的頻域分析法：離散時間序列傅里葉變換：從時域到頻域；離散信號頻譜、系統(tǒng)頻率響應(yīng)。7.1引言一、序列的傅里葉變換

在連續(xù)系統(tǒng)分析中，利用傅里葉變換引入了信號頻率、系統(tǒng)頻率響應(yīng)的概念，從而可以在頻域中對系統(tǒng)進行分析。離散系統(tǒng)也是類似的，通過引入離散信號的傅里葉變換，這樣離散系統(tǒng)也可以在頻域中進行分析。7.1引言一、序列的傅里葉變換

離散信號的傅里葉變換也稱序列的傅里葉變換或離散時間傅里葉變換（DiscreteTimeFourierTransform，DTFT）。離散信號是連續(xù)信號的抽樣：7.1引言一、序列的傅里葉變換

離散信號的傅里葉變換也稱序列的傅里葉變換或離散時間傅里葉變換（DiscreteTimeFourierTransform，DTFT）。離散信號是連續(xù)信號的抽樣：對上式兩邊做傅里葉變換，可得：7.1引言一、序列的傅里葉變換

在均勻抽樣的情況下，Ｔ是一個常數(shù)，因此可以略去，記：，則有：7.1引言一、序列的傅里葉變換

在均勻抽樣的情況下，Ｔ是一個常數(shù)，因此可以略去，記：，則有：7.1引言一、序列的傅里葉變換

因此，序列的傅里葉變換通常定義為：7.1引言一、序列的傅里葉變換

因此，序列的傅里葉變換通常定義為：注：上式中，符號表示對序列作傅里葉變換。稱為數(shù)字頻率，其物理意義是抽樣周期為1時的信號頻率。7.1引言一、序列的傅里葉變換

因此，序列的傅里葉變換通常定義為：注：上式中，符號表示對序列作傅里葉變換。稱為數(shù)字頻率，其物理意義是抽樣周期為1時的信號頻率。為避免混淆，實際連續(xù)信號的頻率改為表示，稱模擬頻率。7.1引言一、序列的傅里葉變換

離散時間傅里葉變換通常記為：表示它們是一對傅里葉變換對，是一一對應(yīng)的。7.1引言一、序列的傅里葉變換

離散時間傅里葉變換通常記為：表示它們是一對傅里葉變換對，是一一對應(yīng)的。離散時間傅里葉反變換可以表示為：7.1引言二、有關(guān)序列傅里葉變換的幾點說明有關(guān)序列的傅里葉變換需要做以下幾點說明：1、傅里葉變換的定義是一個無窮級數(shù)，它不一定收斂。因此，序列的傅里葉變換不一定存在；7.1引言二、有關(guān)序列傅里葉變換的幾點說明有關(guān)序列的傅里葉變換需要做以下幾點說明：1、傅里葉變換的定義是一個無窮級數(shù)，它不一定收斂。因此，序列的傅里葉變換不一定存在；2、序列傅里葉變換存在的充分條件是該序列絕對可和，即；7.1引言二、有關(guān)序列傅里葉變換的幾點說明有關(guān)序列的傅里葉變換需要做以下幾點說明：3、數(shù)字頻率和模擬頻率的關(guān)系滿足：7.1引言二、有關(guān)序列傅里葉變換的幾點說明有關(guān)序列的傅里葉變換需要做以下幾點說明：3、數(shù)字頻率和模擬頻率的關(guān)系滿足：4、抽樣信號的頻譜是的周期函數(shù)，因而，是的周期函數(shù)：7.1引言二、有關(guān)序列傅里葉變換的幾點說明有關(guān)序列的傅里葉變換需要做以下幾點說明：5、也稱離散信號的頻譜函數(shù)，反映了離散信號的幅度和相位在頻域中的分布情況，并且它是數(shù)字頻率的連續(xù)函數(shù)；7.1引言二、有關(guān)序列傅里葉變換的幾點說明有關(guān)序列的傅里葉變換需要做以下幾點說明：5、也稱離散信號的頻譜函數(shù)，反映了離散信號的幅度和相位在頻域中的分布情況，并且它是數(shù)字頻率的連續(xù)函數(shù)；6、根據(jù)畫成的曲線是離散信號的頻譜，一般情況下它是復(fù)值函數(shù)，因此需要用它的幅度譜和相位譜才能完整地表達；7.1引言二、有關(guān)序列傅里葉變換的幾點說明有關(guān)序列的傅里葉變換需要做以下幾點說明：7、由于是周期為的函數(shù)，該頻譜只需畫出和一個周期即可；7.1引言二、有關(guān)序列傅里葉變換的幾點說明有關(guān)序列的傅里葉變換需要做以下幾點說明：7、由于是周期為的函數(shù)，該頻譜只需畫出和一個周期即可；8、離散信號的頻譜是連續(xù)信號頻譜的周期延拓，在等地方對應(yīng)的是原信號地低頻，而在處是離散信號能夠表達的最高頻率。7.1引言引入z變換的另一個原因是序列的離散時間傅里葉變換只有在序列絕對可和時才能保證存在。例如，實指數(shù)序列在時，序列絕對可和，因此其傅里葉變換也是存在的；而當(dāng)時，序列不絕對可和，其傅里葉變換不存在。主要內(nèi)容離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)z變換離散時間系統(tǒng)的方框圖與信號流圖245離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析3引言17.2z變換一、雙邊z變換與單邊z變換z變換可以從序列的離散時間傅里葉變換推廣得到。當(dāng)序列的傅里葉變換不存在時，可以乘上一個衰減的序列，若取得合適，則有可能使得生成的新序列是一個衰減序列，從而絕對可和，并且其傅里葉變換存在。7.2z變換一、雙邊z變換與單邊z變換令，則有：于是，我們有：

7.2z變換一、雙邊z變換與單邊z變換是一個復(fù)變量，可以在z平面中表示出來。7.2z變換一、雙邊z變換與單邊z變換是一個復(fù)變量，可以在z平面中表示出來。當(dāng)變量從到變化時，復(fù)變量在以原點為圓心、半徑為的圓周上逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周。7.2z變換一、雙邊z變換與單邊z變換反z變換的公式為：注：從圖中可以看出，序列的離散時間傅里葉變換是單位圓上的z變換?？梢哉f，離散時間傅里葉變換是z變換的特例，而z變換是序列傅里葉變換的推廣。7.2z變換一、雙邊z變換與單邊z變換雙邊z變換對：7.2z變換一、雙邊z變換與單邊z變換雙邊z變換對：單邊z變換對：7.2z變換一、雙邊z變換與單邊z變換序列與是一對變換對，而且他們是一一對應(yīng)的，通?？梢詫憺椋?.2z變換二、z變換的收斂域定義：能使存在的的取值范圍，稱為z變換的收斂域。7.2z變換二、z變換的收斂域定義：能使存在的的取值范圍，稱為z變換的收斂域。例7.1：求右邊指數(shù)序列的z變換及其收斂域，其中，是不為零常數(shù)。7.2z變換二、z變換的收斂域定義：能使存在的的取值范圍，稱為z變換的收斂域。例7.1：求右邊指數(shù)序列的z變換及其收斂域，其中，是不為零常數(shù)。解：該右邊序列的z變換為：7.2z變換二、z變換的收斂域定義：能使存在的的取值范圍，稱為z變換的收斂域。例7.1：求右邊指數(shù)序列的z變換及其收斂域，其中，是不為零常數(shù)。解：該右邊序列的z變換為：無窮等比級數(shù)7.2z變換二、z變換的收斂域僅當(dāng)時，級數(shù)收斂。因此，該序列的收斂域為，這在z平面中是一個以為半徑的圓的外部區(qū)域。注：對于一般因果序列，其收斂域也是一個圓的外部區(qū)域。7.2z變換二、z變換的收斂域例7.2：求左邊指數(shù)序列的z變換及其收斂域，其中，。7.2z變換二、z變換的收斂域例7.2：求左邊指數(shù)序列的z變換及其收斂域，其中，。7.2z變換二、z變換的收斂域例7.2：求左邊指數(shù)序列的z變換及其收斂域，其中，。注：對于一般的左邊序列，其收斂域是一個圓的內(nèi)部區(qū)域。7.2z變換二、z變換的收斂域注：不同的序列可能有相同的z變換，但收斂域不同。因此，在給出一個序列的z變換的同時，必須指出其收斂域。7.2z變換二、z變換的收斂域小結(jié)：1.不同的序列可能有相同的z變換，在給出一個序列z變換的同時必須指出其收斂域；2.有限長序列z變換的收斂域是幾乎整個z平面，有時可能包含0和無窮遠（例7.3）；3.右邊序列的收斂域為圓的外部區(qū)域；4.左邊序列的收斂域為圓的內(nèi)部區(qū)域；7.2z變換二、z變換的收斂域小結(jié)：5.雙邊序列的收斂域是左邊序列與右邊序列收斂域的公共區(qū)域，如果存在，則是一個環(huán)形區(qū)域（例7.4）；6.在z變換的收斂區(qū)內(nèi)，不應(yīng)包含極點。7.2z變換三、常用單邊z變換本章主要討論單邊z變換，即右邊序列的z變換。7.2z變換三、常用單邊z變換本章主要討論單邊z變換，即右邊序列的z變換。我們需要記住一些常用的z變換對，再結(jié)合z變換的性質(zhì)，可以很方便的計算z變換與反z變換。另外，從上一節(jié)可知，單邊z變換的收斂域總是在圓外。7.2z變換三、常用單邊z變換1、單位沖激序列7.2z變換三、常用單邊z變換1、單位沖激序列2、單邊指數(shù)序列7.2z變換三、常用單邊z變換1、單位沖激序列2、單邊指數(shù)序列3、單位階躍序列7.2z變換三、常用單邊z變換4、正弦和余弦序列7.2z變換三、常用單邊z變換7.2z變換四、單邊z變換的性質(zhì)1、線性性質(zhì)7.2z變換四、單邊z變換的性質(zhì)1、線性性質(zhì)注：疊加后新的z變換收斂區(qū)一般為原來兩個序列z變換收斂區(qū)的交集，但也有例外。7.2z變換四、單邊z變換的性質(zhì)2、時域移位性質(zhì)7.2z變換四、單邊z變換的性質(zhì)2、時域移位性質(zhì)證明：7.2z變換四、單邊z變換的性質(zhì)2、時域移位性質(zhì)證明：7.2z變換四、單邊z變換的性質(zhì)2、時域移位性質(zhì)證明：7.2z變換四、單邊z變換的性質(zhì)2、時域移位性質(zhì)7.2z變換四、單邊z變換的性質(zhì)2、時域移位性質(zhì)求：矩形序列的z變換？7.2z變換四、單邊z變換的性質(zhì)例：7.2z變換四、單邊z變換的性質(zhì)3、尺度變換性質(zhì)7.2z變換四、單邊z變換的性質(zhì)3、尺度變換性質(zhì)證明：7.2z變換四、單邊z變換的性質(zhì)3、尺度變換性質(zhì)例：7.2z變換四、單邊z變換的性質(zhì)4、z域微分性質(zhì)7.2z變換四、單邊z變換的性質(zhì)4、z域微分性質(zhì)證明：7.2z變換四、單邊z變換的性質(zhì)5、時域卷積性質(zhì)注：時域中兩個序列的卷積對應(yīng)z域中兩個序列的乘積。7.2z變換四、單邊z變換的性質(zhì)6、初值定理與終值定理7.2z變換四、單邊z變換的性質(zhì)6、初值定理與終值定理如果序列z變換的所有極點位于單位圓內(nèi)或僅在處有一個極點，則原序列的終值為：7.2z變換四、單邊z變換的性質(zhì)6、初值定理與終值定理例7.7：已知，求原序列的初值和終值。7.2z變換四、單邊z變換的性質(zhì)6、初值定理與終值定理例7.7：已知，求原序列的初值和終值。例7.8：已知，求原序列的終值。7.2z變換四、單邊z變換的性質(zhì)例：7.2z變換四、單邊z變換的性質(zhì)例：解：7.2z變換四、單邊z變換的性質(zhì)例：解：7.2z變換四、單邊z變換的性質(zhì)例7.6：7.2z變換四、單邊z變換的性質(zhì)例7.6：解：7.2z變換四、單邊z變換的性質(zhì)例7.6：解：三角形序列可以看作是兩個矩形序列的卷積：7.2z變換五、反z變換序列與它的z變換在數(shù)學(xué)上是一一對應(yīng)關(guān)系，它們是對同一離散信號的兩種不同表示方式。已知一個序列的z變換及其收斂域，可以唯一地確定其原序列，這就是反z變換。7.2z變換五、反z變換1.圍線積分法：表示被積函數(shù)在圍線內(nèi)所有極點上的留數(shù)之和：此處的圍線積分在第四章拉普拉斯反變換中已做介紹，留數(shù)的求法相同。7.2z變換五、反z變換1.圍線積分法：若是單極點，則有：7.2z變換五、反z變換1.圍線積分法：若是單極點，則有：若是N階極點，則有：7.2z變換五、反z變換2.長除法：是復(fù)變量的冪級數(shù)，如果將還原成的冪級數(shù)，則它的系數(shù)就是。通常，是一個有理分式，因此可以用長除法將還原成的冪級數(shù)。參見書上第244頁例7.10。7.2z變換五、反z變換3.部分分式法：通常是有理分式，設(shè)它有N個極點。7.2z變換五、反z變換3.部分分式法：通常是有理分式，設(shè)它有N個極點。

也是有理分式，如果的分子多項式?jīng)]有公因子，則有N+1個極點。7.2z變換五、反z變換3.部分分式法：通常是有理分式，設(shè)它有N個極點。

也是有理分式，如果的分子多項式?jīng)]有公因子，則有N+1個極點。采用部分分式分解可得：其中，7.2z變換五、反z變換3.部分分式法：則有：對于單邊z變換，上式第一項對應(yīng)單位沖激序列；其余的每一個一次分式都對應(yīng)一個右邊指數(shù)序列，因此，只需記住7.2z變換五、反z變換3.部分分式法：當(dāng)極點是重根或共軛復(fù)根時，也可以用部分分式法進行求解。7.2z變換五、反z變換3.部分分式法：當(dāng)極點是重根或共軛復(fù)根時，也可以用部分分式法進行求解。當(dāng)存在單極點時，7.2z變換五、反z變換3.部分分式法：當(dāng)存在N階重極點時，有：7.2z變換五、反z變換3.部分分式法：當(dāng)存在共軛復(fù)數(shù)極點與時，其反z變換可由單邊指數(shù)序列的變換對得到：7.2z變換五、反z變換3.部分分式法：當(dāng)存在共軛復(fù)數(shù)極點與時，其反z變換可由單邊指數(shù)序列的變換對得到：記，則上式可寫為：7.2z變換五、反z變換3.部分分式法：對照指數(shù)加權(quán)正弦和余弦序列的z變換對，對于z變換：有因此，上式可以寫為：7.2z變換五、反z變換3.部分分式法：其中，7.2z變換五、反z變換3.部分分式法：例7.11：求單邊z變換的反z變換。7.2z變換五、反z變換3.部分分式法：例7.11：求單邊z變換的反z變換。解：7.2z變換五、反z變換3.部分分式法：例7.11：求單邊z變換的反z變換。解：7.2z變換五、反z變換3.部分分式法：例7.12：求單邊z變換的反z變換。7.2z變換五、反z變換3.部分分式法：例7.12：求單邊z變換的反z變換。解：7.2z變換五、反z變換3.部分分式法：例7.12：求單邊z變換的反z變換。解：7.2z變換五、反z變換3.部分分式法：例7.14：求單邊z變換的反z變換。7.2z變換五、反z變換3.部分分式法：例7.14：求單邊z變換的反z變換。解：7.2z變換五、反z變換3.部分分式法：例7.14：求單邊z變換的反z變換。解：7.2z變換五、反z變換3.部分分式法：例7.14：求單邊z變換的反z變換。解：7.2z變換五、反z變換3.部分分式法：例7.14：求單邊z變換的反z變換。解：因此，得到：主要內(nèi)容離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)z變換離散時間系統(tǒng)的方框圖與信號流圖245離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析3引言17.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析與連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析類似，z變換可以將差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程求解。7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析一、已知差分方程的系統(tǒng)分析當(dāng)已知系統(tǒng)的差分方程時，利用z變換的移位性質(zhì)對差分方程做z變換，從而變成一個代數(shù)方程進行求解。7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析一、已知差分方程的系統(tǒng)分析當(dāng)已知系統(tǒng)的差分方程時，利用z變換的移位性質(zhì)對差分方程做z變換，從而變成一個代數(shù)方程進行求解。以一個二階系統(tǒng)舉例說明，其差分方程：7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析一、已知差分方程的系統(tǒng)分析當(dāng)已知系統(tǒng)的差分方程時，利用z變換的移位性質(zhì)對差分方程做z變換，從而變成一個代數(shù)方程進行求解。以一個二階系統(tǒng)舉例說明，其差分方程：對其兩邊做z變換，可得：7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析一、已知差分方程的系統(tǒng)分析進行代數(shù)運算，有：如果已知系統(tǒng)激勵以及系統(tǒng)的初始條件，代入上式即可得到，對求反z變換就可以求出系統(tǒng)的全響應(yīng)。7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析一、已知差分方程的系統(tǒng)分析注：離散系統(tǒng)復(fù)頻域分析的實質(zhì)是已知差分方程，對差分方程做z變換，得到代數(shù)方程，求解代數(shù)方程，最后求反z變換，得到系統(tǒng)的全響應(yīng)。7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析一、已知差分方程的系統(tǒng)分析例7.15：離散時間系統(tǒng)的差分方程為激勵為，初始條件為，求系統(tǒng)的全響應(yīng)。7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析一、已知差分方程的系統(tǒng)分析例7.15：離散時間系統(tǒng)的差分方程為激勵為，初始條件為，求系統(tǒng)的全響應(yīng)。解：對差分方程兩邊做z變換，可得：7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析一、已知差分方程的系統(tǒng)分析代入已知條件，得到：7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析一、已知差分方程的系統(tǒng)分析代入已知條件，得到：由于，7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析一、已知差分方程的系統(tǒng)分析代入已知條件，得到：由于，則有：7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析一、已知差分方程的系統(tǒng)分析代入已知條件，得到：由于，則有：利用部分分式分解法得：7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析一、已知差分方程的系統(tǒng)分析于是，系統(tǒng)的全響應(yīng)為：注：對差分方程兩邊做z變換時，代入的初始條件必須是全響應(yīng)和，而離散時間系統(tǒng)零輸入的初始條件與全響應(yīng)的初始條件往往是不同的，全響應(yīng)的初始條件等于零輸入的初始條件與零狀態(tài)的初始條件之和。7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析一、已知差分方程的系統(tǒng)分析問題：如果已知的是系統(tǒng)零輸入的初始條件，即系統(tǒng)未加激勵的初始儲能，怎樣求系統(tǒng)的響應(yīng)呢？7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析一、已知差分方程的系統(tǒng)分析問題：如果已知的是系統(tǒng)零輸入的初始條件，即系統(tǒng)未加激勵的初始儲能，怎樣求系統(tǒng)的響應(yīng)呢？實際中，系統(tǒng)是因果的，激勵也是有始的因果序列，即時，，。將和代入差分方程，可得這說明，，7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析一、已知差分方程的系統(tǒng)分析將其代入差分方程中，有：同樣地，將激勵與零輸入的初始條件代入上式中，得到，進而求的反z變換，即可求出系統(tǒng)全響應(yīng)。7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析一、已知差分方程的系統(tǒng)分析比較以上兩式，前者與激勵的初值有關(guān)，而后者與激勵的初值無關(guān)。7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析一、已知差分方程的系統(tǒng)分析因此，對于一般系統(tǒng)，有兩種不同的求解方法：1、已知全響應(yīng)的初始條件時，利用z變換的移位性質(zhì)對差分方程兩邊做z變換，方程左邊計入全響應(yīng)的初始條件，方程右邊計入激勵的初值。7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析一、已知差分方程的系統(tǒng)分析因此，對于一般系統(tǒng)，有兩種不同的求解方法：2、已知零輸入的初始條件時，利用z變換的移位性質(zhì)對差分方程兩邊做z變換，方程左邊計入零輸入的初始條件，方程右邊不需要計入激勵的初值。7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析一、已知差分方程的系統(tǒng)分析例7.15（續(xù)）：離散時間系統(tǒng)差分方程為激勵為，初始條件為，求系統(tǒng)的全響應(yīng)。7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析一、已知差分方程的系統(tǒng)分析例7.15（續(xù)）：離散時間系統(tǒng)差分方程為激勵為，初始條件為，求系統(tǒng)的全響應(yīng)。解：對差分方程兩邊做z變換，可得：7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析一、已知差分方程的系統(tǒng)分析例7.15（續(xù)）：離散時間系統(tǒng)差分方程為激勵為，初始條件為，求系統(tǒng)的全響應(yīng)。解：對差分方程兩邊做z變換，可得：代入已知條件，則有：結(jié)果與例7.15一致。7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析一、已知差分方程的系統(tǒng)分析減序或降序差分方程：對于因果系統(tǒng)，初始條件在激勵之前是系統(tǒng)的初始儲能，與激勵沒有關(guān)系，全響應(yīng)的初始條件與零輸入的初始條件相同，就沒有必要區(qū)分零輸入的初始條件和全響應(yīng)的初始條件。7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析一、已知差分方程的系統(tǒng)分析增序差分方程：對于因果系統(tǒng)，初始條件在激勵之后，與激勵有關(guān)，因此有必要區(qū)分零輸入的初始條件和全響應(yīng)的初始條件。7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析二、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析設(shè)是激勵，是單位沖激響應(yīng)，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析二、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析其中：7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析二、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析其中：單位沖激響應(yīng)的z變換7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析二、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析其中：單位沖激響應(yīng)的z變換7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析二、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析其中：單位沖激響應(yīng)的z變換離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析二、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析注：基于系統(tǒng)函數(shù)求零狀態(tài)響應(yīng)的方法與頻域法類似，只要先求出激勵的z變換，然后求出系統(tǒng)函數(shù)，計算，然后求其反z變換，即可求出離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。其中，關(guān)鍵是求解系統(tǒng)函數(shù)。7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析二、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析例7.16：離散時間系統(tǒng)的差分方程為激勵為，初始條件為，求系統(tǒng)的全響應(yīng)。7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析二、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析例7.16：離散時間系統(tǒng)的差分方程為激勵為，初始條件為，求系統(tǒng)的全響應(yīng)。解：首先，求解零狀態(tài)響應(yīng)：7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析二、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析例7.16：離散時間系統(tǒng)的差分方程為激勵為，初始條件為，求系統(tǒng)的全響應(yīng)。解：首先，求解零狀態(tài)響應(yīng)：7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析二、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析進行部分分式分解，可得：則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析二、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析然后，求解零輸入響應(yīng)：代入初始條件，可求出相應(yīng)的系數(shù)，于是：7.3離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析二、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析然后，求解零輸入響應(yīng)：代入初始條件，可求出相應(yīng)的系數(shù)，于是：因此，系統(tǒng)的全響應(yīng)為：主要內(nèi)容離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)z變換離散時間系統(tǒng)的方框圖與信號流圖245離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析3引言17.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是反映系統(tǒng)本身特性的一個重要函數(shù)，包含了系統(tǒng)的一些重要信息。7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是反映系統(tǒng)本身特性的一個重要函數(shù)，包含了系統(tǒng)的一些重要信息?？紤]如下的系統(tǒng)函數(shù)，它是一個有理分式。7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是反映系統(tǒng)本身特性的一個重要函數(shù)，包含了系統(tǒng)的一些重要信息。考慮如下的系統(tǒng)函數(shù)，它是一個有理分式。如果已知系統(tǒng)函數(shù)的極點與零點，系統(tǒng)函數(shù)也就確定了。一、零極點與系統(tǒng)穩(wěn)定性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定也是指BIBO穩(wěn)定。連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是單位沖激響應(yīng)絕對可積。7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)一、零極點與系統(tǒng)穩(wěn)定性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定也是指BIBO穩(wěn)定。連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是單位沖激響應(yīng)絕對可積。離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是沖激響應(yīng)絕對可和：7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)一、零極點與系統(tǒng)穩(wěn)定性系統(tǒng)函數(shù)與沖激響應(yīng)是一個z變換對，對于因果系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)的每個極點對應(yīng)沖激響應(yīng)的一個單邊指數(shù)序列。因此，可根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的極點在z平面中的位置判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，分三種情況：7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)一、零極點與系統(tǒng)穩(wěn)定性系統(tǒng)函數(shù)與沖激響應(yīng)是一個z變換對，對于因果系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)的每個極點對應(yīng)沖激響應(yīng)的一個單邊指數(shù)序列。因此，可根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的極點在z平面中的位置判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，分三種情況：1、全部極點在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)穩(wěn)定；7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)一、零極點與系統(tǒng)穩(wěn)定性系統(tǒng)函數(shù)與沖激響應(yīng)是一個z變換對，對于因果系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)的每個極點對應(yīng)沖激響應(yīng)的一個單邊指數(shù)序列。因此，可根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的極點在z平面中的位置判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，分三種情況：1、全部極點在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)穩(wěn)定；2、有極點在單位圓外，或在單位圓上存在多階極點，系統(tǒng)不穩(wěn)定；7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)一、零極點與系統(tǒng)穩(wěn)定性因此，可根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的極點在z平面中的位置判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，分三種情況：3、在單位圓上存在一階極點，其他極點在單位圓內(nèi)，這時沖激響應(yīng)雖不滿足絕對可和，但工程上認為是臨界穩(wěn)定。7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)一、零極點與系統(tǒng)穩(wěn)定性然而，當(dāng)極點不容易求得時，可以使用羅斯-霍維茨判據(jù)進行判斷。但需要對系統(tǒng)函數(shù)做一個變量代換，將其從z平面映射到平面，稱為雙線性變換。7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)一、零極點與系統(tǒng)穩(wěn)定性7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)一、零極點與系統(tǒng)穩(wěn)定性雙線性變換將在z平面中判斷極點在單位圓內(nèi)還是單位圓外的問題，變成判斷平面中極點在左半平面還是右半平面的問題。例7.17：判斷下列方程是否有單位圓外的根。（1）（2）7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)一、零極點與系統(tǒng)穩(wěn)定性解：（1）做雙線性變換，原方程可化為：7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)一、零極點與系統(tǒng)穩(wěn)定性解：（1）做雙線性變換，原方程可化為：由于系數(shù)不同號，所以，原方程有單位圓外的根。7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)一、零極點與系統(tǒng)穩(wěn)定性解：（2）做雙線性變換，原方程可化為：7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)一、零極點與系統(tǒng)穩(wěn)定性解：（2）做雙線性變換，原方程可化為：計算羅斯-霍維茨陣列，可得：7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)一、零極點與系統(tǒng)穩(wěn)定性解：（2）由于該陣列沒有符號變化，因此，平面中沒有實部為正的根，即原方程沒有單位圓外的根。7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)二、朱利（Jury）穩(wěn)定性判據(jù)實際中，系統(tǒng)函數(shù)分母多項式的根不易求得，且羅斯-霍維茨判據(jù)計算較為繁瑣。7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)二、朱利（Jury）穩(wěn)定性判據(jù)實際中，系統(tǒng)函數(shù)分母多項式的根不易求得，且羅斯-霍維茨判據(jù)計算較為繁瑣。在此，介紹另一種直接根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)分母多項式的系數(shù)判定離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法——朱利（Jury）判據(jù)。7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)二、朱利（Jury）穩(wěn)定性判據(jù)考慮系統(tǒng)的特征方程：設(shè)方程的N個根為，7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)二、朱利（Jury）穩(wěn)定性判據(jù)考慮系統(tǒng)的特征方程：設(shè)方程的N個根為，則有：7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)二、朱利（Jury）穩(wěn)定性判據(jù)考慮系統(tǒng)的特征方程：設(shè)方程的N個根為，則有：因此，若方程的根都在單位圓內(nèi)，必有：7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)二、朱利（Jury）穩(wěn)定性判據(jù)注：這是離散系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，需要同時滿足。7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)二、朱利（Jury）穩(wěn)定性判據(jù)注：這是離散系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，需要同時滿足。用朱利判據(jù)判定離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性也分為兩個步驟：1、檢驗上述必要條件是否滿足；7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)二、朱利（Jury）穩(wěn)定性判據(jù)注：這是離散系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，需要同時滿足。用朱利判據(jù)判定離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性也分為兩個步驟：1、檢驗上述必要條件是否滿足；2、計算朱利陣列。7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)二、朱利（Jury）穩(wěn)定性判據(jù)（1）將特征多項式的系數(shù)按照下圖排成兩行，第一行是特征多項式的系數(shù)按照低次冪到高次冪的次序排列，第二行是第一行倒過來排列。7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)二、朱利（Jury）穩(wěn)定性判據(jù)（2）第一行乘以，第二行乘以，然后用第一行減去第二行得到第三行。第三行數(shù)記為。7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)二、朱利（Jury）穩(wěn)定性判據(jù)（3）將第三行倒過來排列得到第四行，然后第三行乘以，第四行乘以，再用第三行減去第四行得到第五行。第五行數(shù)可記為。7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)二、朱利（Jury）穩(wěn)定性判據(jù)（4）按照這個規(guī)律一直計算下去，直到最后一行只有三個數(shù)。這樣就得到了行的朱利陣列，其中，，完整的朱利陣列如下所示：7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)二、朱利（Jury）穩(wěn)定性判據(jù)（5）檢驗下式是否同時滿足。如果同時得到滿足，說明特征根全部在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)穩(wěn)定。7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)二、朱利（Jury）穩(wěn)定性判據(jù)例7.17：用朱利判據(jù)重做例題。解：（1）由于不滿足條件，所以方程存在單位圓外的根。7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)二、朱利（Jury）穩(wěn)定性判據(jù)例7.17：用朱利判據(jù)重做例題。解：（2）由于為了計算方便，原方程可等價為：必要條件同時滿足，如下：7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)二、朱利（Jury）穩(wěn)定性判據(jù)例7.17：用朱利判據(jù)重做例題。解：（2）需要計算朱利陣列：顯然，15.91>3.40，因此，原方程沒有單位圓外的根。7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)二、朱利（Jury）穩(wěn)定性判據(jù)例7.18：已知離散系統(tǒng)的特征方程確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍。7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)二、朱利（Jury）穩(wěn)定性判據(jù)例7.18：已知離散系統(tǒng)的特征方程確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍。解：7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)二、朱利（Jury）穩(wěn)定性判據(jù)例7.18：已知離散系統(tǒng)的特征方程確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍。解：7.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)二、朱利（Jury）穩(wěn)定性判據(jù)例7.18：已知離散系統(tǒng)的特征方程確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍。解：7