立體幾何初步（15大壓軸題型）（原卷版）

【經(jīng)典例題一棱柱及其有關(guān)計(jì)算】123-24高三上·山東威?！るA段練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=2，AA1=5，上，M,N分別為棱BB1，AC上的動點(diǎn)，當(dāng)MC1+MN最小時，BM=()222-23高一下·遼寧大連·階段練習(xí)）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為6，P為BC的中點(diǎn)，Q為CC1的中點(diǎn)，過點(diǎn)A1,P,Q的平面截正方體所得的截面周長為．322-23高二上·上海徐匯·階段練習(xí)）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，M、N分別是C1D1，AD的中點(diǎn)，P在CC1上且滿足CP=2PC1，過M、N、P三點(diǎn)作正方體的截面，并計(jì)算該截面的周長.【經(jīng)典例題二棱錐的展開圖】42024·全國·模擬預(yù)測）已知三棱錐P-ABC，底面ABC是邊長為2的正三角形，且PC丄平面ABC,PC=2,M為PB的中點(diǎn)，N為平面PAC內(nèi)一動點(diǎn)，則MN+NB的最小值為()52024高三·全國·專題練習(xí)1）在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，動點(diǎn)P在線段A1B上運(yùn)動，則AP＋D1P的最小值為．（2）在棱長均為1的正四面體ABCD中，M為AC的中點(diǎn)，P為DM上的動點(diǎn)，則PA＋PB的最小值為622-23高一·全國·課后作業(yè)）在正方形ABCD中，E,F分別為AB,BC的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿DE,DF及EF把ΔADE,ΔCDF和ΔBEF折起，使A,B,C三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為P．（1）依據(jù)題意制作這個幾何體．（2）這個幾何體有幾個面，每個面的三角形為什么形狀的三角形？（3）若正方形的邊長為2a，則每個面的三角形的面積為多少？【經(jīng)典例題三圓柱的展開圖及最短距離問題】722-23高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為，高為2cm，AB，CD分別是兩底面的直徑，AD，BC是母線.若一只小蟲從點(diǎn)A出發(fā)，沿側(cè)面爬行到點(diǎn)C處，則小蟲爬行的最短距離是()821-22高二上·湖北·期中）某圓柱的側(cè)面展開圖是面積為4π2的正方形，則該圓柱一個底面的面積922-23高一·全國·課后作業(yè)）用一張兩邊長分別為4cm和8cm的矩形硬紙卷成圓柱側(cè)面，求圓柱軸截面的面積.（接頭忽略不計(jì)）【經(jīng)典例題四圓錐中截面的有關(guān)計(jì)算】1023-24高二上·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）若圓錐的軸截面是一個頂角為，腰長為3的等腰三角形，則過此圓錐頂點(diǎn)的所有截面中，截面面積的最大值為()11（24-25高二上·上?！て谥校┮阎獔A錐底面半徑為·,高為1，則過圓錐的母線的截面面積的最大值、1223-24高一下·陜西寶雞·階段練習(xí)）用一個過圓錐的軸的平面去截圓錐，所得的截面三角形稱為圓錐的軸截面，也稱為圓錐的子午三角形.如圖，圓錐SO底面圓的半徑是4，軸截面SAB的面積是4.(1)求圓錐SO的母線長；(2)過圓錐SO的兩條母線SB，SC作一個截面，求截面SBC面積的最大值.【經(jīng)典例題五圓臺的結(jié)構(gòu)特征辨析】1322-23高一下·全國·課后作業(yè)）圓臺的兩底面面積分別為1和49，平行于底面的截面面積的2倍等于兩底面面積之和，則圓臺的高被截面分成的兩線段的比為()1422-23高二下·浙江杭州·期中）已知圓臺上底面半徑為，下底面半徑為，母線長為2，AB為圓臺母線，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)繞圓臺側(cè)面一圈到點(diǎn)B，則螞蟻經(jīng)過的最短路徑長度為.1522-23高一·全國·課后作業(yè)）一個圓臺的母線長為12cm，兩底面面積分別為4πcm2和25πcm2．（1）求圓臺的高；（2）求截得此圓臺的圓錐的母線長．【經(jīng)典例題六球的截面的性質(zhì)及計(jì)算】的內(nèi)切球，所得截面的面積為()172024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，八面體Ω的每一個面都是邊長為4的正三角形，且頂點(diǎn)B,C,D,E在同一個平面內(nèi)．若點(diǎn)M在四邊形BCDE內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動，當(dāng)MA丄ME時，點(diǎn)M到BC的最小值為.1821-22高一·全國·課后作業(yè)）如圖，已知△ABC各頂點(diǎn)均在球O的球面上，若球半徑為10，分別求球心到平面ABC的距離．（以上結(jié)果均保留2位小數(shù)）【經(jīng)典例題七斜二測畫法中有關(guān)量的計(jì)算】1924-25高二上·江西景德鎮(zhèn)·階段練習(xí)）用斜二測畫法畫水平放置的△ABC的直觀圖，得到如圖所示的等2024-25高二上·上海·期中）已知△ABC用斜二測畫法畫出的直觀圖是邊長為1的正三角形△A￠B￠C￠（如2122-23高二·全國·課后作業(yè)）如圖，已知點(diǎn)A(-1,1)，B(1,3)，C(3,1).求該水平放置的四邊形ABCO用斜二測畫法作出的直觀圖的面積.【經(jīng)典例題八棱錐表面積的有關(guān)計(jì)算】2224-25高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1的八個頂點(diǎn)中，有四個頂點(diǎn)A，B1，C，D1恰好是正四面體的頂點(diǎn)，則此正四面體的表面積與正方體的表面積之比為()2323-24高二下·江蘇連云港·期末）用油漆涂一個正四棱錐形鐵皮做的冷水塔塔頂（鐵皮的正反面都要涂漆其高是1m，底面的邊長是1.5m，已知每平方米需用油漆150g，共需用油漆kg.（精確到2421-22高一下·河北滄州·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐P-ABC中，PC丄平面ABC,AC丄CB，已知AC=2,PB=2、后,則當(dāng)PA+AB最大時，求三棱錐P-ABC的表面積.【經(jīng)典例題九臺體體積的有關(guān)計(jì)算】2524-25高三上·江蘇·階段練習(xí)）如圖1的方斗杯古時候常作為盛酒的一種容器，有如圖2的方斗杯，其形狀是一個上大下小的正四棱臺，AB=6，A1B1=2，現(xiàn)往該方斗杯里加某種酒，當(dāng)酒的高度是方斗杯高度的一半時，用酒28ml，則該方斗杯可盛該種酒的總?cè)莘e為()A．74mlB．76mlC．104ml2624-25高二上·四川內(nèi)江·期末）已知四棱臺ABCD-A1B1C1D1的上下底面分別是邊長為2和4的正方形，且每條側(cè)棱長均相等，若BB1丄DD1，則該四棱臺的體積為.【經(jīng)典例題十圓柱表面積的有關(guān)計(jì)算】2824-25高三上·河南·期末）“牟合方蓋”是指由兩個相同的圓柱成直角相交而得到的公共部分對應(yīng)的幾何體，如圖(1)，若圓柱的底面半徑為r，則組成的牟合方蓋的表面積為16r2.現(xiàn)有底面半徑為1，高為3的兩個圓柱成直角相交形成一個“十字”幾何體，如圖(2)，則該幾何體的表面積為()292024·江蘇南通·一模）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該3024-25高二上·上海·課堂例題）下面兩圖為同一個健身啞鈴，它是由兩個全等的大圓柱和中間一個連桿圓柱構(gòu)成，中間的連桿圓柱為實(shí)心，已知大圓柱的底面半徑為6cm，高為2cm，連桿圓柱的底面半徑為2cm，高為12cm．求該健身啞鈴的表面積．【經(jīng)典例題十一球的體積的有關(guān)計(jì)算】312025·河南洛陽·模擬預(yù)測）已知裝滿水的無蓋圓柱容器的底面圓周的半徑為r，高為4r，圓柱的側(cè)面積為8π,在圓柱里面放入兩個半徑為r的鐵球，則圓柱中剩余水的體積為()3224-25高三上·河北·期末）三棱錐P-ABC中，PA丄平面ABC，上ABC=90°,PA=AB=BC=6，一球球心在平面ABC內(nèi)，并且與三個側(cè)面都相切，則球的半徑為.3324-25高二上·廣西柳州·開學(xué)考試）如圖，圓臺的上底面直徑AD=4，下底面直徑BC=8，母線(1)求圓臺的表面積與體積；(2)若圓臺內(nèi)放入一個圓錐AO1和一個球O，其中O1在圓臺下底面內(nèi)，當(dāng)圓錐AO1的體積最大時，求球O體積的最大值.【經(jīng)典例題十二平面的基本性質(zhì)的有關(guān)計(jì)算】342024·內(nèi)蒙古烏蘭察布·一模）四棱錐P-ABCD中，AB//CD，M為PC中點(diǎn)，平面ADM交352023高二下·浙江·學(xué)業(yè)考試）在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個正方形框架ABCD，ABEF的邊長都是2，且所在的平面互相垂直.可以滾動的彈珠M，N分別從A，F(xiàn)出發(fā)沿對角線AC，F(xiàn)B勻速移動，已知彈珠N的3622-23高二·全國·課后作業(yè)）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若點(diǎn)P，Q，R分別在AB，BC，CC1上，且AP=5，PB=15，BQ=15，CR=10，那么平面PQR與正方體的交線組成的多邊形的面【經(jīng)典例題十三證明線面平行】3724-25高二上·福建莆田·階段練習(xí)）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值.如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2AD=2AA1=2，E為棱CD的中點(diǎn)，則異面直線A1D與D1E之間的距離為()382024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E,F分別為棱DD1，C1D1的中點(diǎn)，三棱錐B-AEF的體積為392024高二上·河南安陽·學(xué)業(yè)考試）如圖所示，已知圓錐SO，AB是圓O的直徑，△ASB是等腰直角三角形，C是圓周上不同于的A、B的一點(diǎn)，D為BC中點(diǎn)，且BC=2AC=4.(1)求證：OD//平面SAC；(2)求四棱錐S-ACDO的體積.【經(jīng)典例題十四證明面面平行】4023-24高一下·河南洛陽·期中）長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，BB1=1，M為A1B1的中點(diǎn)，P為下底面ABCD上一點(diǎn)，若直線PD1Ⅱ平面BMC1，則△D1DP的面積的最小值為()4124-25高二上·上海·期中）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=CC1=2，M，N分別為BC，CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在矩形BCC1B1內(nèi)運(yùn)動（包括邊界），若A1P//平面AMN，則A1P取最小值時，三棱錐P-MA1B的體積為.42浙江省七彩陽光新高考研究聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期返校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，四邊形ABCD是正方形，四邊形AEPD是直角梯形且PD//EA，PD丄CD，PD丄AD，AD=PD=2EA=2，BP，BE，PC(1)證明：平面FGH//平面ADPE，并求直線CE與平面FGH所成角的正弦值；(2)設(shè)截面FGH與平面ABCD的交線為l，確定l的位置并說明理由.【經(jīng)典例題十五面面垂直證線面垂直】4324-25高二上·江西景德鎮(zhèn)·期末）在空間中，設(shè)l,m,n為三條不同的直線，a,β,Y為三個不同的平面，下列命題錯誤的是()A．若m//n,n//a,m丈a，則m//aC．若m,n在平面a內(nèi)，且l丄m,l丄n，則l丄a