【中考模擬】2025年吉林省長春市第八十七中學(xué)中考三模數(shù)學(xué)試題（含解析）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年吉林省長春市第八十七中學(xué)中考三模數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．要使算式的運算結(jié)果最大，則“□”內(nèi)應(yīng)填入的運算符號為（

）A． B． C． D．2．如圖，點A，B對應(yīng)的數(shù)分別為a，b，對于結(jié)論：①，②，③，其中說法正確的是（

）A．①② B．①③ C．② D．①②③3．如圖是某幾何體的展開圖，則此幾何體是（

）A．五棱柱 B．五棱錐 C．六棱柱 D．六棱錐4．一只杯子靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力的方向豎直向下，支持力的方向與斜面垂直，摩擦力的方向與斜面平行．若斜面的坡角，則摩擦力與重力方向的夾角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．如圖，是梯子兩梯腿張開的示意圖，AB＝AC，梯腿與地面夾角∠ACB＝∠，當梯子頂端離地面高度AD＝2.8m時，則梯子兩梯腳之間的距離BC＝（

）m．A． B． C． D．6．向一個容器內(nèi)勻速地注水，最后把容器注滿．在注水過程中，水面高度隨時間的變化規(guī)律如圖所示．這個容器的形狀可能是圖中的（

）A． B． C． D．7．如圖，將折疊，使點A、B重合，折痕為．連接甲：能夠比較與的大小乙：能夠比較與的長短下列判斷正確的是（

）A．甲、乙的說法都正確 B．甲、乙的說法都不正確C．甲的說法正確，乙的說法不正確 D．甲的說法不正確，乙的說法正確8．如圖，點在函數(shù)的圖象上，點在軸上，，將線段向左下方平移．得到線段，使點落在函數(shù)圖象上，點落在軸負半軸上，且．則的值為（

）A． B． C． D．二、填空題9．將整式分解因式結(jié)果正確的是．10．若a是方程的一個根，則的值為．11．若是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值為．12．《九章算術(shù)》中有一道闡述“盈不足術(shù)”的問題，原文如下：今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人、物各幾何？意思是：有一些人合買一個物品，每個人出元，還余剩元，每個人出元，則還差元，問共有多少人？這個物品的價格是多少？若設(shè)一共有人，可列方程為．13．如圖是工人師傅用邊長均為的兩塊正三角形和一塊正方形地磚繞著點進行的鋪設(shè)．若將一塊邊長為的正多邊形地磚恰好能無空隙、不重疊地拼在處，則這塊正多邊形地磚的邊數(shù)是．14．如圖，正方形的邊長為1，點E是邊上一動點（不與點B，C重合），過點E作交正方形外角的平分線于點F，交于點G，連接，有下列結(jié)論：①②③④面積的最大值為⑤連接，當最小時，上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號有．三、解答題15．先化簡，再求值：，其中．16．甲、乙兩人去超市選購奶制品，有兩個品牌的奶制品可供選購，其中蒙牛品牌有兩個種類的奶制品：A．純牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三個種類的奶制品：C．純牛奶，D．酸奶，E．核桃奶．（1）甲從這兩個品牌的奶制品中隨機選購一種，選購到純牛奶的概率是_______；（2）若甲喜愛蒙牛品牌的奶制品，乙喜愛伊利品牌的奶制品，甲、乙兩人從各自喜愛的品牌中隨機選購一種奶制品，請利用畫樹狀圖或列表的方法求出兩人選購到同一種類奶制品的概率．17．某高速公路工地需要實施爆破，操作人員點燃導(dǎo)火線后，要在炸藥爆炸前跑到以外的安全區(qū)域，已知導(dǎo)火線的燃燒速度是，人跑步的速度是，問：導(dǎo)火線必須超過多長，才能保證操作人員的安全？18．如圖，在中，D，E分別是的中點，，交的延長線于點A，，連接．求證：四邊形為菱形．19．如圖是由小正方形組成的6×7網(wǎng)格，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點稱為格點．格點A、B、C在同一個圓上．只用無刻度直尺在分別在給定網(wǎng)格中按照下列要求作圖，保留作圖痕跡．(1)圖①中，先畫出圓心O，然后作經(jīng)過B點的切線(2)圖②中，在上畫點D，使20．某市為推進“綠色社區(qū)”建設(shè)，對全市150個社區(qū)的“雨水收集利用率”進行考核．根據(jù)要求，“雨水收集利用率”達到75%及以上即為合格．環(huán)保部門隨機抽查了10個社區(qū)，其利用率數(shù)據(jù)如下（單位：%）：68，77，72，85，80，65，78，88，70，82．請根據(jù)以上信息，回答下列問題：(1)計算這組數(shù)據(jù)的平均利用率為______；(2)估計全市150個社區(qū)中，利用率合格的大約有多少個？(3)若將這10個社區(qū)作為試點，對不合格的社區(qū)進行改造（合格的社區(qū)無需改造），改造后全部達標，且改造后數(shù)據(jù)的平均利用率提升至80%．那么，試點中改造社區(qū)的利用率平均至少提升了______個百分點．21．千百年來，手桿秤也可算作華夏“國粹”，是我國傳統(tǒng)的計重工具，方便了人們的生活，直至今日仍然有人還在使用桿秤進行交易．【觀察實踐】如圖①，某興趣小組為了探究秤桿上秤砣到秤紐的水平距離x．（）厘米與秤鉤所掛物重為y斤之間的關(guān)系，進行了6次稱重記錄出下表的一些數(shù)據(jù)．x（厘米）41220242836y（斤）0122.534【問題解決】(1)在圖②中，請以表格中的x值為橫坐標，y值為縱坐標描出所有的點，并將這些點依次連接起來．(2)根據(jù)（1）描各點的分布規(guī)律，觀察它們是否在同一條直線上，如果在同一條直線上，求出這條直線所對應(yīng)的函數(shù)解析式，如果不在同一條直線上，請說明理由．(3)已知桿秤的設(shè)計利用了杠桿原理：動力×動力臂=阻力×阻力臂，設(shè)秤砣質(zhì)量為斤，稱鉤質(zhì)量為斤，秤鉤到稱紐距離為厘米，則當鉤上不放重物時：，掛物重為y斤時：，則由上面兩個等式進行變形可以得到，（橫線上填關(guān)于，的代數(shù)式）根據(jù)上式和（2）的結(jié)論，當秤砣質(zhì)量為0.3斤時，求秤鉤到稱紐距離應(yīng)該為多少厘米？22．【問題原型】如圖，菱形的邊長為，．點分別在邊上，且．點在直線上，試探究當?shù)闹底钚r，點的位置．【問題探究】（1）小麗同學(xué)由已知條件可以證明，為了求最小值問題，首先要探究點的軌跡問題．研究發(fā)現(xiàn)：當?shù)倪厼槎ㄩL，為定角且時，點在外接圓的劣弧上運動．以下是小麗求的度數(shù)的部分過程：解：∵四邊形是菱形，∴，又∵，是等邊三角形，∴，，又∵，∴證明過程缺失∴______∴點在外接圓的劣弧上運動．請您補全證明過程．【問題解決】（2）請結(jié)合上述探究過程，用圓規(guī)和無刻度的直尺，在圖中作出【問題原型】中的點和點，使的值最小，則最小值是______．23．如圖，在矩形中，，．點E是邊的三等分點，且．點P是邊上的動點（P不與點A重合），繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)．(1)過點Q作邊的垂線段，交于H，求證：；(2)當A，Q，C三點共線時，求線段的長；(3)線段的長度的最小值是______；(4)四邊形面積的最大值是______，此時線段的長度是______．24．在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點且對稱軸為直線，點在拋物線上，其橫坐標為．(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知點的坐標為，點的坐標為，連接，以點為位似中心將線段放大到原來的倍，得到線段（和位于點的同側(cè)），以為邊向右做正方形，當時，連接、，試說明．當時，若與拋物線圖象交于點，連接；當平分時，求的值；當時，連接，當兩點中只有一個點在內(nèi)部時，直接寫出的取值范圍．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年吉林省長春市第八十七中學(xué)中考三模數(shù)學(xué)試題》參考答案題號12345678答案CDCCDBAB1．C【分析】分別把加、減、乘、除四個符號填入括號，計算出結(jié)果即可；【詳解】當填入加號時：當填入減號時：當填入乘號時：當填入除號時：故這個運算符號是乘號；故選：C【點睛】本題考查的是有理數(shù)的運算，根據(jù)題意得出填入加、減、乘、除四個符號的得數(shù)是解答此題的關(guān)鍵2．D【分析】本題主要考查了有理數(shù)與數(shù)軸，有理數(shù)的加法和乘法計算，根據(jù)數(shù)軸可知，據(jù)此根據(jù)乘法和加法計算法則求解即可．【詳解】解：由數(shù)軸可知，∴，，，∴正確的有①②③，故選：D．3．C【分析】本題主要考查了簡單幾何體的展開圖，熟記幾種幾何體的展開圖是解題的關(guān)鍵．根據(jù)簡單幾何體的展開圖求解即可．【詳解】解：幾何體的展開圖為長方形和六邊形，據(jù)此可判斷該幾何體為六棱柱，即C正確．故選：C．4．C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)，根據(jù)題意結(jié)合圖形可知是重力與斜面形成的三角形的外角，從而可求得的度數(shù)．【詳解】解：重力的方向豎直向下，重力與水平方向夾角為，摩擦力的方向與斜面平行，，，故選：C．5．D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD＝DC＝BC，根據(jù)正切的定義計算，得到答案．【詳解】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC，在Rt△ADC中，tanC＝，∴DC＝＝，∴BC＝2DC＝，故選：D．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．B【分析】本題主要考查了函數(shù)圖象的性質(zhì)在實際問題中的應(yīng)用，判斷出每段函數(shù)圖象變化不同的原因是解題的關(guān)鍵．根據(jù)每一段函數(shù)圖象的傾斜程度，反映了水面上升高度的快慢，再觀察容器的粗細，作出判斷．【詳解】解：注水量一定，函數(shù)圖象的走勢是稍陡，平，陡；那么高度就相應(yīng)的變化，跟所給容器的粗細有關(guān)．則相應(yīng)的排列順序就為B．故選：B．7．A【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，即可得出，根據(jù)折疊可得，可得，即可判定，即可求解．【詳解】解：根據(jù)折疊可得，，根據(jù)折疊可得，，在中，，即，∴甲、乙的說法都正確，故選：A．8．B【分析】本題考查了平移的性質(zhì)和反比例函數(shù)的解析式，根據(jù)可得點，根據(jù)可得點，由平移規(guī)律可得點的坐標，根據(jù)點和點在函數(shù)的圖象上，列方程可得的值，從而得的值，即可求解．【詳解】解：，，，，由平移可知：線段向下平移個單位，再向左平移個單位，得到線段，，，點和點在函數(shù)的圖象上，，，，故選：B．9．【分析】本題考查了因式分解，利用提公因式法解答即可，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故答案為：．10．2024【分析】本題主要考查了一元二次方程的解，求代數(shù)式的值，利用整體代入思想解答是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的解的定義可得，，然后代入計算，即可求解．【詳解】解：∵a是方程的一個根，∴，∴，，∴故答案為：2024．11．7【分析】根據(jù)題意可得是完全平方數(shù)，即可求解．【詳解】解∶∵，且是整數(shù)，∴是整數(shù)，即是完全平方數(shù)，∴，即正整數(shù)n的最小值為7．故答案為：7【點睛】主要考查了算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是分解成一個完全平方數(shù)和一個代數(shù)式的積的形式．12．【分析】本題主要考查由實際問題抽象出一元一次方程，根據(jù)物品的價格不變列出方程即可．【詳解】解：由題意，得：．故答案為：．13．【分析】本題主要考查了平面密鋪，熟練掌握多邊形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和求出，則通過計算多邊形的外角即可得到答案．【詳解】解：∵正三角形的內(nèi)角為，正方形的內(nèi)角為，∴，∴這塊正多邊形地磚的邊數(shù)是，故答案為：．14．①②/②①【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，垂直、角平分線的定義，三角形全等等知識點，觀察圖形的變化規(guī)律，可以利用全等，判斷；；同時也可判斷；用的長表示的面積，用函數(shù)知識判斷最大值．作點D關(guān)于的對稱點M，連接交于點P，連接，先證明點M在線段的延長線上，求出，根據(jù)知最小值為，得出此時，故可求出答案．【詳解】解：連接，過E作交于H；過F作于I，如圖．∵四邊形為正方形；∴．∵；∴．又∵，∴；∴；∴．∴；∴．；∵平分正方形外角，∴；∴；∴．∵，∴；∵，∴；∴．∴．∴，①正確．∴；∴．∵平分正方形外角，∴；∴；∴，②正確．∵，∴，∴；即，③不正確．設(shè)，則；∴面積：，最大值為，④不符合題意．如圖，作點關(guān)于的對稱點M，連接交于點P，連接，∵∴，∵平分，∴，∵點D關(guān)于的對稱點M，∴，∴點M在線段的延長線上，∴，∵，∴當且僅當點F與點P重合時最小，最小值為的長，過點作于點，則，，∴，∴，由于，所以∴，∴當最小時，故⑤錯誤；綜上，正確的結(jié)論是①②，故答案為：①②．15．；1【分析】本題主要考查分式的化簡求值，先將原式的分子分解因式，約分后得最簡結(jié)果，再把代入計算即可．【詳解】解：；當時，原式．16．（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)概率公式直接計算即可；（2）畫出樹狀圖，得出所有可能的情況數(shù)和符合要求的情況數(shù)，再利用概率公式計算．【詳解】解：（1）∵兩個品牌共有5個種類的奶制品，每個品牌都有一種純牛奶，∴選購到純牛奶的概率=，故答案為：；（2）畫樹狀圖如下：可知共有6種等可能的結(jié)果，其中兩人選購到同一種類奶制品的情況有2種，∴兩人選購到同一種類奶制品的概率為=．【點睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．17．導(dǎo)火線必須超過多長，才能保證操作人員的安全【分析】本題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用．設(shè)導(dǎo)火線的長度為，根據(jù)題意，列出不等式，即可求解．【詳解】解：設(shè)導(dǎo)火線的長度為，根據(jù)題意得：，解得：，答：導(dǎo)火線必須超過多長，才能保證操作人員的安全．18．見解析【分析】本題主要考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)．連接，證明，可得，可得到四邊形為平行四邊形，再由，可得，然后證明四邊形為平行四邊形，即可求證．【詳解】證明：如圖，連接，∵，∴，∵點E是的中點，∴，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴，∵點D是的中點，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為菱形．19．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）取格點，連接交于O，則此點為圓心；取點F，連接，則為圓的切線；（2）取格點，連接交圓于點，則．【詳解】（1）解：如圖，點為圓心，為圓的切線；（2）解：如圖，點即為所作．【點睛】本題考查作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖、垂徑定理、切線的判定定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．20．(1)(2)90(3)3.5【分析】本題主要考查平均數(shù)的用樣本估計總體，理解題意是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平均數(shù)的概念求解即可；（2）用樣本估計總體即可；（3）根據(jù)提升后的利用率-改造前的利用率即可得解．【詳解】（1）解：∵∴這組數(shù)據(jù)的平均利用率為，故答案為：；（2）解：（個），答：估計全市150個社區(qū)中，利用率合格的大約有90個；（3）解：，所以，試點中改造社區(qū)的利用率平均至少提升了3.5個百分點，故答案為：3.5．21．(1)見解析(2)在同一條直線上，這條直線所對應(yīng)的函數(shù)解析式為(3)；秤鉤到稱紐距離應(yīng)該為8厘米【分析】本題主要考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識點，解題的關(guān)鍵是根據(jù)給定的數(shù)據(jù)判斷點是否共線，并能利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)解析式進行求值計算．（1）根據(jù)坐標描點連線；（2）判斷點共線后，用待定系數(shù)法，將兩點坐標代入一次函數(shù)一般式求解；（3）把物重代入函數(shù)解析式求解秤砣到秤紐水平距離．【詳解】（1）解：如圖，即為所求．（2）解：由（1）中圖象可知，所描各點在同一條直線上，設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為，將點和代入，得，解得，∴這條直線所對應(yīng)的函數(shù)解析式為．（3）解：∵，∴；代入，得∴；當時，，解得：，即秤鉤到稱紐距離應(yīng)該為8厘米；故答案為：．22．[問題探究]補全證明過程見解析；[問題探究]的值最小為．【分析】[問題探究]（）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，然后證明是等邊三角形，則，，然后證明，所以，，最后通過三角形內(nèi)角和定理即可求解；[問題解決]（）作關(guān)于對稱點，連接交于點，交于點，連接交延長線于點，所以，，根據(jù)兩點之間線段最短可得的值最小，由四邊形是菱形，故有，，則，，由是外接圓，取上一點，連接，通過，可得點是在以為直徑的圓上，則，證明，然后證明，所以，則，求出，再由勾股定理得，則，從而求出，故有，從而得出的最小值．【詳解】解：[問題探究]（）∵四邊形是菱形，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴點在外接圓的劣弧上運動；[問題解決]（）如圖，作關(guān)于對稱點，連接交于點，交于點，連接交延長線于點，∴，，根據(jù)兩點之間線段最短可得的值最小，∴，，∵四邊形是菱形，∴，，∴，∴，，∴，由是外接圓，取上一點，連接，∵，，∴，∴，∴，∴點是在以為直徑的圓上，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴的值最小為．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．23．(1)見解析(2)(3)(4)；3【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)和矩形的性質(zhì)，利用證明結(jié)論即可；（2）先證明，再列出比例式，求出長，再利用勾股定理解答即可；（3）點Q在平行于到的距離為的直線上運動，即當點Q在上時，最小，然后利用線段的和差解答即可；（4）過點Q作于點Q，設(shè)，根據(jù)列函數(shù)關(guān)系式，配方得到最大值解答即可．【詳解】（1）解：∵是矩形，∴，又∵于H，繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，，∴，∴，∴；（2）解：如圖，過點Q作于點H，∵點E是的三等分點，∴，由（1）可知，∴，，，∵是矩形，∴，∴，∴，∴，即，解得，∴，∴，∴；（3）解：由（2）可得點到的距離為，∴點Q在平行于到的距離為的直線上運動，即當點Q在上時，最小，即最小為；（4）解：過點Q作于點Q，設(shè)，則，，∴，∴當時，最大為，這時，，故答案為：；3．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題等知識，解題的關(guān)鍵是得到．24．(1)(2)①見解析；②或；③當時，當時，當時，兩點中只有一個點在內(nèi)部【分析】（1）利用待定系數(shù)法代入求解即可確定函數(shù)解析式；（2）①當時，此時，根據(jù)題意得出，，再計算三角形面積即可證明；②當時，得出點的坐標為，點的坐標為，設(shè)，利用位似圖形的性質(zhì)求出點，再把點C坐標代入求解即可；③根據(jù)題意得出點的坐標為，點的坐標為，，利用相似三角