南航院環(huán)境系統(tǒng)分析課件03水環(huán)境系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

2006.4.18.第三章

水環(huán)境系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

一、環(huán)境質(zhì)量基本模型1、污染物在環(huán)境介質(zhì)中（大氣、水等）的運動特征。指隨介質(zhì)的遷移，在介質(zhì)中的分散，污染物的衰減轉(zhuǎn)化。（1）推流遷移只改變污染物所處位置，不能降低污染物濃度。2006.4.18.遷移通量：fx=uxcfy=uycfz=uzc（3-1）

其中ux、uy、uz

為介質(zhì)的流速分量，C為污染物在環(huán)境介質(zhì)中的濃度。（2）分散作用包含三個內(nèi)容：分子擴散，湍流擴散和彌散。假定污染物質(zhì)點的動力學(xué)特性與水的質(zhì)點一致。（這一假設(shè)對于多數(shù)溶解污染物、膠體污染物或浮力中性的顆粒物質(zhì)是可以滿足的）2006.4.18.分子擴散（由分子的隨機運動引起）服從Fick第一定律，即分子擴散的質(zhì)量通量與擴散物質(zhì)的濃度梯度成正比。

單位為g/m2s。分子擴散是各向同性的，（Em相同），負(fù)號表示質(zhì)點的遷移方向（負(fù)梯度方向），Em的數(shù)值在大氣中的量級為1.6×10-5m2/s，在河流中為10-5~10-4

m2/s，濃度C為瞬時濃度。

2006.4.18.湍流擴散湍流流場中，質(zhì)點的各種狀態(tài)（流速、壓力、濃度等）的瞬時值相對于其時平均值的隨機脈動而導(dǎo)致的分散現(xiàn)象。亦可用Fick第一定律表述：（瞬時脈動速度穩(wěn)定時）

2006.4.18.可知湍流擴散中：各向異性時間平均的污染物濃度若直接用瞬時值計算就不會出現(xiàn)湍流擴散項在大氣中E垂直方向為2×10-1~10-2

m2/s，E水平方向為10~105

m2/s；在海洋中

E垂直方向為10-5~10-2

m2/s，E水平方向為102~104

m2/s；在河流中E為10-2~100m2/s。2006.4.18.彌散作用在用時平均的斷面平均流速描述實際的運動時，應(yīng)考慮彌散作用。它是由空間各點湍流流速（或其它狀態(tài)變量）的時平均值與流速時平均值的空間平均值的系統(tǒng)差所產(chǎn)生的分散現(xiàn)象。亦可仿照Fick第一定律來描述：

2006.4.18.彌散作用特性：各向異性湍流時平均濃度的空間平均值（斷面）一般河流中D為101~104

m2/s

（3）污染物的衰減和轉(zhuǎn)化；進入環(huán)境中的污染物可分為兩大類：守恒物質(zhì)和非守恒物質(zhì)。

2006.4.18.守恒物質(zhì)：改變其空間所處位置和降低其初始濃度，但總量不改變，如重金屬、很多高分子有機化合物（環(huán)境對它們沒有凈化能力）需嚴(yán)格控制。（要求零排放）非守恒物質(zhì)：改變位置，降低濃度且自身衰減加速濃度的下降，其有兩種衰減方式：一是由其自身的運動變化規(guī)律決定的，如：放射性物質(zhì)的蛻變。2006.4.18.另一種是在環(huán)境因素的作用下，由于化學(xué)的或生物的反應(yīng)而不斷衰減。如：可生化降解的有機物在大氣或水體中的微生物作用下的氧化分解過程。試驗和實際觀測數(shù)據(jù)都證明，該衰減符合一級反應(yīng)動力學(xué)規(guī)律，即：

2006.4.18.2、環(huán)境質(zhì)量基本模型（現(xiàn)象模型中擴散方程的進一步簡化）假定：污染物能與環(huán)境介質(zhì)互相融合，污染物質(zhì)點與環(huán)境介質(zhì)質(zhì)點具有相同的流體力學(xué)特性。（即能均勻地分散開，不產(chǎn)生凝聚，沉淀和揮發(fā)，從而可把污染物質(zhì)點當(dāng)作流體質(zhì)點進行分析。）對實際環(huán)境，則將作為對基本模型修正的形式予以考慮。

2006.4.18.

（1）零維模型（無濃度梯度，故擴散問題不存在）將所研究的環(huán)境單元視作一個完全混合的反應(yīng)器，不存在環(huán)境質(zhì)量的空間差異，進入反應(yīng)器的污染物能在瞬間內(nèi)分散到反應(yīng)器的空間各部位。（考慮衰減，轉(zhuǎn)化）在湖泊和箱式大氣模型中廣為采用。

2006.4.18.其中：V是反應(yīng)器的容積、Q為流量、C0為初始濃度、C為輸出濃度（即反應(yīng)器中的濃度）、S為源與匯（水體中污染物的其他來源）、r為反應(yīng)速度。若r=－KC且無源與匯，則：

VdC/dt=Q(C0–C)-KCV(3-7)2006.4.18.（2）一維基本模型。微元僅在一個方向上存在濃度梯度。在均勻流體中，Ux和Dx不隨x變化，則

其中：Dx是縱向彌散系數(shù)，ux為斷面平均速度，k為衰減速度系數(shù)（對難降解的污染物k=0）

一般應(yīng)用于河流水質(zhì)的模擬、預(yù)測。

2006.4.18.（3）二維和三維基本模型。二維：兩個方向存在濃度梯度（x、y、z中的任兩個）三維：x、y、z三個方向存在濃度梯度。二維：

（3-10）

在此c和u用時平均值的斷面平均值（沿z方向的）2006.4.18.D比Ex、Ey大得多，比Em更大得多，故Ex、Ey、Em均略去。較多應(yīng)用于大型河流，河口、海灣、淺湖中，也用于線源大氣污染計算中。三維模型：

此時：c用時平均值，u也同樣。Ex等比Em大得多，故Em作用忽略。2006.4.18.注意：在三維模型中，因為不采用斷面平均值，所以不出現(xiàn)彌散系數(shù)。三維模型大量應(yīng)用在大氣質(zhì)量的模擬和預(yù)測中，在深海排放污水也可用三維模型進行水質(zhì)預(yù)測。二、環(huán)境質(zhì)量基本模型的解：（一）零維模型的解析解為：

2006.4.18.式中

：

I=QC0/V——污染物負(fù)荷函數(shù)，即單位水體污染物輸入速率。

θ=V/(Q+KV)——水力停留時間穩(wěn)定情況，即：dC/dt=0

其解為：

C=QC0/(Q+KV)（3-13）

2006.4.18.

對于由N個完全混合狀態(tài)河段組成的河流，則第i河段出水濃度為：

ΔX——河段長度

u——河段流速

若在第i河段處有旁側(cè)入流（支流、污水排入等），則該段的起始污染物濃度為：

2006.4.18.其中qi,Ci’分別第i段旁側(cè)入流的流量和污染物濃度。此時第i段出水可寫成：下游的水質(zhì)，仍按式（3-14）計算，注意一下Co為Coi，i按（j-i），j為從最初段（i=0）起算的河段數(shù)。

2006.4.18.（二）一維河流水質(zhì)模型的解析解1、穩(wěn)態(tài)模型：

（C為對時間對斷面的平均值）若邊界條件為：

C|x=0=C0C|x

=∞=C02006.4.18.則解為：一般來說，非潮汐河流其彌散作用影響很小，即Dx=0，則控制方程為：

2006.4.18.2、瞬時源一維方程解析解：（非穩(wěn)態(tài)）對于瞬時突然排放污染物的情況，方程的邊界條件和初始條件是：利用δ函數(shù)的特性和Laplace變換得方程在該邊界條件下的解析解為：

2006.4.18.對于難降解污染物，則k=0：

其中，A為斷面的平均面積。例：在河流O點投放10kg若丹明示蹤劑，河流流速u=0.5m/s，彌數(shù)系數(shù)Dx=50m2/s，斷面積A=20m2，求投放示蹤劑下游500m處河水中示蹤劑濃度隨時間變化曲線。

2006.4.18.解：O點處投放示蹤劑濃度Co為：C0=W/Q=10×1000/0.5×20=1000mg/l（瞬時投放假設(shè)以1s時間計）。

在x=500m處河水示蹤劑濃度為：

2006.4.18.當(dāng)t=14min時，河水中示蹤劑濃度最高，約為0.663mg/l。

此瞬時源的解還常用來估計彌散系數(shù)，即：在均勻流場中，向河流瞬時投放示蹤物，在初始斷面處攪拌均勻，在下游某斷面處測得一組濃度Ci（x、ti）和時間ti值，代入方程并對兩邊取對數(shù)得：2006.4.18.由x1i，y1i值作一元線性回歸得直線的斜率即為1/Dx，從而求得Dx.

。2006.4.18.3、連續(xù)源一維方程解析解：若污染物不是瞬時投放，投放時段為△t，則

此式積分后，為一復(fù)雜的表達式，此處略。（三）二維穩(wěn)態(tài)河流水質(zhì)擴散模型及其解析解：2006.4.18.

在有界邊的情況下，則上兩式將改變，且據(jù)污染源處于邊界中間還是邊界上（即邊界條件不同）而不同，此處不再討論。

2006.4.18.（四）三維模型的穩(wěn)態(tài)解在均勻穩(wěn)定流中，三維模型可解得：（穩(wěn)態(tài)解）注意：各模型的解的前提條件和變量與參量的具體含義，切勿混用。

2006.4.18.（五）污染物在均勻流場中的分布特征：其主要為濃度場的正態(tài)分布。一維流場中的分布特征：對于點源瞬時排放的一維模型，假設(shè)衰減速度常k=0，且令：即在污染物投放點下游x斷面處，污染濃度隨時間變化為正態(tài)分布。

2006.4.18.2006.4.18.二維流場中的分布特征對于二維穩(wěn)態(tài)的污染物分布，如果令

即在排污點下游X斷面上污染物在橫向呈正態(tài)分布。2006.4.18.2006.4.18.三、天然水體水質(zhì)數(shù)學(xué)模型（考慮多污染指標(biāo)因素）1、河流中的基本水質(zhì)問題。（1）污染物與河水的混合

在排污口附近屬三維混合問題，而在離之遠些的地方（完成橫向混合）污染物在整個斷面上達到均勻分布，再往下游的混合則為一維混合問題。若水深、水寬都相對河段長很小時，可簡化為一維混合問題。

2006.4.18.（2）生物化學(xué)分解河流中含碳有機物的生物降解可用一級反應(yīng)式表達

：式中

：

L——剩余生化需氧量

Lco

——初始生化需氧量

Kc——BOD降解速度常數(shù)，與溫度有關(guān)。

2006.4.18.Kc，T=Kc，20θT-20

，θ在1.047左右（T=100~350C）

Kc可由試驗室中測定生化需氧量和時間關(guān)系來估計。

河流中BOD衰減速度常數(shù)Kr不僅包括生物降解還包括沉淀作用（Ks）故：Kr=Kc+Ks，Kr可由下式估算：LA、LB——上游斷面A和下游斷面B處的BOD濃度。t——兩斷面間的流行時間。

2006.4.18.B處同樣比A處遲t時間

。一年四季及枯水期，平水期，豐水期均有差異，應(yīng)分別測定。另一求法：（考慮河流參數(shù)對實驗室測定值Kc的影響）其中：Kc——實驗室數(shù)值，η——河床活度系數(shù)（與河床坡度有關(guān)）

ux——平均流速（m/s）H——平均水深（m）

2006.4.18.對河流中的含氮有機物仍可與前同樣分析，只是Kc應(yīng)換為KN，稱為含氮有機物生物化學(xué)衰減速度常數(shù)，亦稱為硝化速度常數(shù)（與溶解氧含量，PH值，水溫等有關(guān)）。KN需考慮有機氮、氨氮、亞硝酸鹽氮和硝酸鹽氮的初始濃度及衰減速度常數(shù)，進一步的了解可參考有關(guān)文獻。

2006.4.18.（3）大氣復(fù)氧2006.4.18.

θ

r通常取為1.024Ka,20—200C條件下的大氣復(fù)氧速度常數(shù)。

在河口，由于含鹽量的影響，Cs=14.6244－0.367134T+0.00449T2－0.0966S+0.00205ST+0.0002739S2

其中：S為水中含鹽量（ppt）

2006.4.18.河流中，大氣復(fù)氧速度常數(shù)還可由下式估算其中：Ux——河流平均流速（m/s）H——河流平均水深（m）c、n、m為參數(shù)，許多學(xué)者對此提出實驗數(shù)據(jù)，如Owens等（1964），c=5.336，n=0.67，m=1.85Bennetl＆Rathbun(1972),c=5.369，n=0.674，m=1.865也可由參數(shù)估值方法對實際河流得出。

2006.4.18.（4）光合作用（水生植物的）河流溶解氧的另一個重要來源產(chǎn)氧速率：Pt=Pm·sin(t/T·π)0≤t≤T

其中：T——光照時間Pm----一天中最大的光合作用產(chǎn)氧速度（0~30mg/l)2006.4.18.（5）藻類的呼吸作用消耗河水中的溶解氧，其耗氧速度通?？醋鞒?shù)，一般R的值在0~5mg/ld之間。平均產(chǎn)氧速度P和耗氧速度R可用黑白瓶試驗。求得：對于白瓶：2006.4.18.其中：C0——試驗初始時水樣的溶解氧濃度。C1、C2——試驗終了時白瓶中的水樣和黑瓶中的水樣溶解氧濃度。Kc——試驗溫度下的BOD降解速度常數(shù)（d-1）t——試驗延續(xù)時間（h）Lo——試驗開始時的河水BOD值。聯(lián)立求解即可得P和R值。（6）底棲動物和沉淀物的耗氧。目前其機理尚未完全闡明。

2006.4.18.2、單一河段水質(zhì)模型即只有一個排放口的河段，排放口置于河段的起點（基本模型用于某污染物的遷移轉(zhuǎn)化分析）。上游河段的水質(zhì)視為河流水質(zhì)的本底值。（1）S-P模型

（1925，第一個）描述一維穩(wěn)態(tài)河流中的BOD-DO的變化規(guī)律?；炯僭O(shè)：①BOD衰減和溶解氧的復(fù)氧均為一級反應(yīng)，且反應(yīng)速率為定常。2006.4.18.②僅考慮由BOD衰減引起的耗氧和大氣復(fù)氧而來的水中溶解氧。具體模型為：其中：L—河水中的BOD值，D—河水氧虧值Kd——BOD衰減（耗氧）速度常數(shù)Ka—河流復(fù)氧速度常數(shù)，t—河水的流行時間2006.4.18.其解析解為：

Lo——河流起始點的BOD值

Do——河流起始點的氧虧值河流的溶解氧為：（氧垂公式）2006.4.18.溶解氧濃度最低的點（亦即氧虧值最大的點）稱為臨界點（此點變化速度為0）用Dc表示由起始點到達臨界點的流行時間tc即臨界氧虧發(fā)生時間tc可由下式計算：

tc=1/（Ka－Kd）ln

{Ka/Kd[1-Do(Ka－Kd)/(LoKd)]}

S-P模型廣泛用于河流水質(zhì)模擬預(yù)測中，也用于計算允許最大排污量。

2006.4.18.（2）S-P模型的修正型

a．托馬斯模型在S-P模型基礎(chǔ)上,引進了沉淀作用對BOD去除的影響，其速度常數(shù)為Ks，其解為：

2006.4.18.b．康布模型在托馬斯模型的基礎(chǔ)上再考慮底泥耗氧速度B和河流中光合作用的產(chǎn)氧速度P。其解為：

2006.4.18.c．歐康奈爾模型也在托馬斯模型基礎(chǔ)上引進含氮有機物的衰減速度常數(shù)KN

式中

Lc——含碳有機物的BOD值

LN——含氮有機物的BOD值。1克氨氮的需氧量為4.57克。2006.4.18.在邊界條件為：

X=0處，

Lc=Lco,LN=LNO,D=DO則得解為：

2006.4.18.S-P模型應(yīng)用舉例：某河段流量Q=2160000m3/d，流速46km/d,水溫13.60c，kd=0.771/d，ka=1.821/d，起始斷面有一排污口，廢水量為10m3/d，廢水中BOD5為500mg/l，溶氧為0mg/l，其上游河水BOD5為0mg/l，溶解氧為8.95mg/l，求排污口下游6km處污水的BOD5和D值。

2006.4.18.解：起始斷面河水的BOD5和D0為

Lo=（2160000×0+100000×500）/（2160000+100000）

=22.124mg/lCo=（2160000×8.95+100000×0）/（2160000+100000）=8.554mg/l13.60C時，河水飽和溶解氧Os=10.354mg/lDo=Os－Co=10.354－8.554=1.8mg/l6km處BOD5和氧虧值為：

2006.4.18.

2006.4.18.3、多河段水質(zhì)模型（1）

BOD—DO耦合矩陣模型在河流的水質(zhì)條件沿程變化或多排污口情況，則可將河流分段

，斷面設(shè)置原則：①斷面形狀劇變處②支流或污水的輸入處③河流取水口處④橋涵附近便于采樣處⑤現(xiàn)有水文站附近等

2006.4.18.取水在斷面的上游側(cè)，排污或支流在斷面的下游側(cè)。單角標(biāo)為排污的參數(shù)2006.4.18.雙角標(biāo)的第1個數(shù)字：“1”表示上游進入斷面i的量；“2”表示斷面i輸出到下游的量

；“3”表示取水的參數(shù)；雙角標(biāo)的第2個數(shù)字為斷面序號。第i段河流以第i斷面為起始點，第i+1斷面為終止點，則第i斷面的流量、BOD平衡關(guān)系為：2006.4.18.Q2i=Q1i－Q3i+QiQ1i=Q2,i-1L2iQ2i=L1i(Q1i－Q3i)+LiQi

又由S-P模型，可寫出由i-1斷面至i斷面間的BOD衰減關(guān)系：

2006.4.18.則對1至n斷面的BOD表達式為：（遞推式）L21=aoL20+b1L1L22=a1L21+b2L2…L2i=ai-1L2,i-1+biLi…L2n=an-1L2,n-1+bnLn2006.4.18.用矩陣表示為：式中L2=（L21，L22，……L2n）TL=（L1，L2，……Ln）Tg=(g1,o,……o)T

式中g(shù)1是初始條件，g1=aoL20A,B均為n階方陣。

10……0b10……0-a11……00b2……0A=0……B=…………………………00……0-an-110……0bn2006.4.18.矩陣方程表示每一斷面向下游輸出的BOD（L2向量）與各個（排污口）節(jié)點輸入河流的BOD（L向量）之間的關(guān)系。在水質(zhì)預(yù)測和模擬時，L是一組已知量，L2是需要模擬預(yù)測的量；在水污染控制規(guī)劃中，L2作為河流BOD約束是一組已知量，L則是需確定的量。以上是多河段的BOD模型。

2006.4.18.對于多河段的DO模型為：（據(jù)S-P模型推導(dǎo)）推導(dǎo)類似，可得：

2006.4.18.

O2=(O21,O22……O2n)T

O=(O1,O2,……On)T

10……0

-C11…………C=0………………

……

0

0……0—Cn-11

00……0d10…………D=0

……

……………………００……０dn-10

2006.4.18.

聯(lián)立即為多段河流的BOD-DO耦合關(guān)系的矩陣模型。

U與V是兩個給定數(shù)據(jù)計算的n個階下三角矩陣。m與n是兩個由給定數(shù)據(jù)計算的n維向量。U——稱為河流BOD穩(wěn)態(tài)響應(yīng)矩陣V——稱為河流DO穩(wěn)態(tài)響應(yīng)矩陣

2006.4.18.

每輸入一組污水的BOD值和溶解氧值（L，O）

，就可求出各斷面向下游輸出的BOD值和DO值。（L2，O2）（2）含支流的河流矩陣模型

主流含n個斷面，支流含m個斷面（不含支流匯入主流處的斷面），匯合斷面在主流上的編號為