廣西壯族防城港市港口區(qū)2024-2025學(xué)年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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廣西壯族防城港市港口區(qū)2024-2025學(xué)年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.從拋物線(xiàn)上一點(diǎn)(點(diǎn)在軸上方)引拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足為,且,設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,則直線(xiàn)的斜率為()A. B. C. D.2.已知全集,函數(shù)的定義域?yàn)?,集合,則下列結(jié)論正確的是A. B.C. D.3.已知復(fù)數(shù),(為虛數(shù)單位),若為純虛數(shù),則()A. B.2 C. D.4.設(shè)集合,,則().A. B.C. D.5.已知復(fù)數(shù),若,則的值為()A.1 B. C. D.6.定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足,則()A.-1 B.0 C.1 D.27.已知向量,,=(1,),且在方向上的投影為,則等于()A.2 B.1 C. D.08.射線(xiàn)測(cè)厚技術(shù)原理公式為,其中分別為射線(xiàn)穿過(guò)被測(cè)物前后的強(qiáng)度,是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),為被測(cè)物厚度,為被測(cè)物的密度,是被測(cè)物對(duì)射線(xiàn)的吸收系數(shù).工業(yè)上通常用镅241()低能射線(xiàn)測(cè)量鋼板的厚度.若這種射線(xiàn)對(duì)鋼板的半價(jià)層厚度為0.8,鋼的密度為7.6,則這種射線(xiàn)的吸收系數(shù)為()(注:半價(jià)層厚度是指將已知射線(xiàn)強(qiáng)度減弱為一半的某種物質(zhì)厚度,,結(jié)果精確到0.001)A.0.110 B.0.112 C. D.9.已知集合,集合,則()A. B. C. D.10.已知命題p:直線(xiàn)a∥b,且b?平面α,則a∥α;命題q:直線(xiàn)l⊥平面α,任意直線(xiàn)m?α,則l⊥m.下列命題為真命題的是()A.p∧q B.p∨(非q) C.(非p)∧q D.p∧(非q)11.已知雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合,則雙曲線(xiàn)的離心率為()A. B. C.3 D.412.已知函數(shù)()的部分圖象如圖所示,且,則的最小值為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.對(duì)定義在上的函數(shù),如果同時(shí)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件:(1)對(duì)任意的總有;(2)當(dāng),,時(shí),總有成立.則稱(chēng)函數(shù)稱(chēng)為G函數(shù).若是定義在上G函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______.14.已知圓柱的兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上,圓柱的高和球半徑均為2,則該圓柱的底面半徑為_(kāi)_________.15.設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)的和,成等差數(shù)列,則的值為_(kāi)____.16.三所學(xué)校舉行高三聯(lián)考,三所學(xué)校參加聯(lián)考的人數(shù)分別為160,240,400,為調(diào)查聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)科的成績(jī),現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這三所學(xué)校中抽取樣本,若在學(xué)校抽取的數(shù)學(xué)成績(jī)的份數(shù)為30,則抽取的樣本容量為_(kāi)___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)若對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)求證:18.(12分)某網(wǎng)絡(luò)商城在年月日開(kāi)展“慶元旦”活動(dòng),當(dāng)天各店鋪銷(xiāo)售額破十億,為了提高各店鋪銷(xiāo)售的積極性,采用搖號(hào)抽獎(jiǎng)的方式,抽取了家店鋪進(jìn)行紅包獎(jiǎng)勵(lì).如圖是抽取的家店鋪元旦當(dāng)天的銷(xiāo)售額(單位:千元)的頻率分布直方圖.(1)求抽取的這家店鋪,元旦當(dāng)天銷(xiāo)售額的平均值;(2)估計(jì)抽取的家店鋪中元旦當(dāng)天銷(xiāo)售額不低于元的有多少家;(3)為了了解抽取的各店鋪的銷(xiāo)售方案,銷(xiāo)售額在和的店鋪中共抽取兩家店鋪進(jìn)行銷(xiāo)售研究,求抽取的店鋪銷(xiāo)售額在中的個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.19.(12分)已知a>0,證明:1.20.(12分)在三角形ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若,角為鈍角,(1)求的值;(2)求邊的長(zhǎng).21.(12分)的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,其面積記為,滿(mǎn)足.(1)求;(2)若,求的值.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線(xiàn)的普通方程和曲線(xiàn)的普通方程;(2)若P,Q分別為曲線(xiàn),上的動(dòng)點(diǎn),求的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】

根據(jù)拋物線(xiàn)的性質(zhì)求出點(diǎn)坐標(biāo)和焦點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo),代入斜率公式即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,由題意知,焦點(diǎn),準(zhǔn)線(xiàn)方程,所以,解得,把點(diǎn)代入拋物線(xiàn)方程可得,,因?yàn)?,所以,所以點(diǎn)坐標(biāo)為,代入斜率公式可得,.故選:A本題考查拋物線(xiàn)的性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.2.A【解析】

求函數(shù)定義域得集合M,N后,再判斷.【詳解】由題意,,∴.故選A.本題考查集合的運(yùn)算,解題關(guān)鍵是確定集合中的元素.確定集合的元素時(shí)要注意代表元形式,集合是函數(shù)的定義域,還是函數(shù)的值域,是不等式的解集還是曲線(xiàn)上的點(diǎn)集,都由代表元決定.3.C【解析】

把代入,利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn),由實(shí)部為0且虛部不為0求解即可.【詳解】∵,∴,∵為純虛數(shù),∴,解得.故選C.本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.4.D【解析】

根據(jù)題意,求出集合A,進(jìn)而求出集合和,分析選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,則故選:D此題考查集合的交并集運(yùn)算,屬于簡(jiǎn)單題目,5.D【解析】由復(fù)數(shù)模的定義可得:,求解關(guān)于實(shí)數(shù)的方程可得:.本題選擇D選項(xiàng).6.C【解析】

推導(dǎo)出,由此能求出的值.【詳解】∵定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足,∴,故選C.本題主要考查函數(shù)值的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用,屬于中檔題.7.B【解析】

先求出,再利用投影公式求解即可.【詳解】解:由已知得,由在方向上的投影為,得,則.故答案為:B.本題考查向量的幾何意義,考查投影公式的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.8.C【解析】

根據(jù)題意知,,代入公式,求出即可.【詳解】由題意可得,因?yàn)?所以,即.所以這種射線(xiàn)的吸收系數(shù)為.故選:C本題主要考查知識(shí)的遷移能力,把數(shù)學(xué)知識(shí)與物理知識(shí)相融合;重點(diǎn)考查指數(shù)型函數(shù),利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來(lái)研究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì),以及解指數(shù)型方程;屬于中檔題.9.D【解析】

可求出集合,,然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可.【詳解】解:,;.故選.考查描述法、區(qū)間的定義,對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,以及并集的運(yùn)算.10.C【解析】

首先判斷出為假命題、為真命題,然后結(jié)合含有簡(jiǎn)單邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性,判斷出正確選項(xiàng).【詳解】根據(jù)線(xiàn)面平行的判定,我們易得命題若直線(xiàn),直線(xiàn)平面,則直線(xiàn)平面或直線(xiàn)在平面內(nèi),命題為假命題;根據(jù)線(xiàn)面垂直的定義,我們易得命題若直線(xiàn)平面,則若直線(xiàn)與平面內(nèi)的任意直線(xiàn)都垂直,命題為真命題.故:A命題“”為假命題;B命題“”為假命題;C命題“”為真命題;D命題“”為假命題.故選:C.本小題主要考查線(xiàn)面平行與垂直有關(guān)命題真假性的判斷,考查含有簡(jiǎn)單邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假性判斷,屬于基礎(chǔ)題.11.A【解析】

根據(jù)題意,由拋物線(xiàn)的方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo),由此可得雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo),由雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)可得,解可得,由離心率公式計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,則雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)也為,即,則有,解可得,雙曲線(xiàn)的離心率.故選:A.本題主要考查雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程,關(guān)鍵是求出拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的坐標(biāo),意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.12.A【解析】

是函數(shù)的零點(diǎn),根據(jù)五點(diǎn)法求出圖中零點(diǎn)及軸左邊第一個(gè)零點(diǎn)可得.【詳解】由題意,,∴函數(shù)在軸右邊的第一個(gè)零點(diǎn)為,在軸左邊第一個(gè)零點(diǎn)是,∴的最小值是.故選:A.本題考查三角函數(shù)的周期性,考查函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性.函數(shù)的零點(diǎn)就是其圖象對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

由不等式恒成立問(wèn)題采用分離變量最值法:對(duì)任意的恒成立,解得,又在,恒成立,即,所以,從而可得.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上G函數(shù),所以對(duì)任意的總有,則對(duì)任意的恒成立,解得,當(dāng)時(shí),又因?yàn)?,,時(shí),總有成立,即恒成立,即恒成立,又此時(shí)的最小值為,即恒成立,又因?yàn)榻獾?故答案為:本題是一道函數(shù)新定義題目,考查了不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍,考查了學(xué)生分析理解能力,屬于中檔題.14.【解析】

由圓柱外接球的性質(zhì),即可求得結(jié)果.【詳解】解:由于圓柱的高和球半徑均為2,,則球心到圓柱底面的距離為1,設(shè)圓柱底面半徑為,由已知有,∴,即圓柱的底面半徑為.故答案為:.本題考查由圓柱的外接球的性質(zhì)求圓柱底面半徑,屬于基礎(chǔ)題.15.2【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比設(shè)為再根據(jù)成等差數(shù)列利用基本量法求解再根據(jù)等比數(shù)列各項(xiàng)間的關(guān)系求解即可.【詳解】解:等比數(shù)列的公比設(shè)為成等差數(shù)列,可得若則顯然不成立,故則,化為解得,則故答案為:.本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解以及運(yùn)用,屬于中檔題.16.【解析】

某層抽取的人數(shù)等于該層的總?cè)藬?shù)乘以抽樣比.【詳解】設(shè)抽取的樣本容量為x,由已知,,解得.故答案為:本題考查隨機(jī)抽樣中的分層抽樣,考查學(xué)生基本的運(yùn)算能力,是一道容易題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1);(2)見(jiàn)解析.【解析】

(1)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立,換元構(gòu)造新函數(shù)即可得解;(2)結(jié)合(1)可得,令,求導(dǎo)后證明其導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增,結(jié)合,即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值,即可得證.【詳解】(1)對(duì)任意恒成立等價(jià)于對(duì)任意恒成立,令,,則,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;有最大值,.(2)證明:由(1)知,當(dāng)時(shí),即,,,令,則,令,則,在上是增函數(shù),又,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),,即,.本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問(wèn)題,考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化化歸思想,屬于中檔題.18.(1)元;(2)32家;(3)分布列見(jiàn)解析;【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖求出各組頻率,再由平均數(shù)公式,即可求解;(2)求出的頻率即可;(3)中的個(gè)數(shù)的所有可能取值為,,,求出可能值的概率,得到分布列,由期望公式即可求解.【詳解】(1)頻率分布直方圖銷(xiāo)售額的平均值為千元,所以銷(xiāo)售額的平均值為元;(2)不低于元的有家(3)銷(xiāo)售額在的店鋪有家,銷(xiāo)售額在的店鋪有家.選取兩家,設(shè)銷(xiāo)售額在的有家.則的所有可能取值為,,.,,所以的分布列為數(shù)學(xué)期望本題考查應(yīng)用頻率分布直方圖求平均數(shù)和頻數(shù),考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望,屬于基礎(chǔ)題.19.證明見(jiàn)解析【解析】

利用分析法,證明a即可.【詳解】證明:∵a>0,∴a1,∴a1≥0,∴要證明1,只要證明a1(a)1﹣4(a)+4,只要證明:a,∵a1,∴原不等式成立.本題考查不等式的證明,著重考查分析法的運(yùn)用,考查推理論證能力,屬于中檔題.20.(1)(2)【解析】

(1)由,分別求得,得到答案;(2)利用正弦定理得到,利用余弦定理解出.【詳解】(1)因?yàn)榻菫殁g角,,所以,又,所以,且,所以.(2)因?yàn)椋?,所以,又,則,所以.21.(1);(2)【解析】

(1)根據(jù)三角形面積公式及平面向量數(shù)量積定義代入公式,即可求得,進(jìn)而求得的值;(2)根據(jù)正弦定理將邊化為角,結(jié)合(1)中的值,即可將表達(dá)式化為的三角函數(shù)式;結(jié)合正弦和角公式與輔助角公式化簡(jiǎn),即可求得和,進(jìn)而由正弦定理確定,代入整式即可求解.【詳解】(1)因?yàn)椋杂扇切蚊娣e公式及平面向量數(shù)量積運(yùn)算可得,所以.因?yàn)?,所?(2)因?yàn)?,所以由正弦定理代入化?jiǎn)可得,由(1),代入可得,展開(kāi)化簡(jiǎn)可得,根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)可得.因?yàn)?,所以,所以,所以為等腰三角形,?/p>

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