陜西省2024-2025學(xué)年高二下期期末考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

陜西省2024-2025學(xué)年高二下期期末考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.設(shè)復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.3.現(xiàn)有8道四選一的單選題，甲對(duì)其中6道題有思路，2道題完全沒(méi)有思路．有思路的題做對(duì)的概率為，沒(méi)有思路的題只能任意猜一個(gè)答案，猜對(duì)答案的概率為．甲從這8道題中隨機(jī)選擇1道題，則甲做對(duì)這道題的概率為（）A. B. C. D.4.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A.356 B.166 C.246 D.1565.已知向量與的夾角為，，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.6.定義一種運(yùn)算則函數(shù)的最大值為（）A.1 B.2 C.0 D.7.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別是是坐標(biāo)原點(diǎn)，是上第一象限的點(diǎn).若的角平分線(xiàn)上一點(diǎn)滿(mǎn)足，且，則的離心率為（）A. B. C. D.8.在體積為的正四棱錐中，為底面內(nèi)的任意兩點(diǎn)，則直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值的最大值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且的面積為，則（）A. B.函數(shù)為奇函數(shù)C.在上單調(diào)遞增 D.直線(xiàn)為圖象一條對(duì)稱(chēng)軸10.為了解某新品種玉米畝產(chǎn)量（單位：千克）情況，從種植區(qū)抽取樣本，得到該新品種玉米的畝產(chǎn)量的樣本均值，已知該新品種玉米的畝產(chǎn)量服從正態(tài)分布，則下列說(shuō)法正確的是（）（若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則A.的值越大，畝產(chǎn)量不低于510千克的樣本越多 B.的值越大，畝產(chǎn)量不低于510千克的樣本越少C若，則 D.若，則11.若是上的連續(xù)函數(shù)，且，則.從幾何上看，若定義在上的函數(shù)連續(xù)且恒有，則定積分表示由直線(xiàn)和曲線(xiàn)所圍成的圖形的面積.已知花瓣曲線(xiàn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.曲線(xiàn)上恰好存在8個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為B.圓與曲線(xiàn)共有8個(gè)公共點(diǎn)CD.曲線(xiàn)圍成的封閉區(qū)域的面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則______．13.衡量曲線(xiàn)彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線(xiàn)的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的曲率．曲線(xiàn)在點(diǎn)處的曲率為_(kāi)________．14.來(lái)自國(guó)外的博主A，B，C三人決定來(lái)中國(guó)旅游，計(jì)劃打卡北京故宮、西安兵馬俑等5個(gè)著名景點(diǎn).他們約定每人至少選擇1個(gè)景點(diǎn)打卡，每個(gè)景點(diǎn)都有且僅有一人打卡，其中A在北京故宮、西安兵馬俑中至少選擇1個(gè)，則不同的打卡方案種數(shù)為_(kāi)_________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.2025年4月13日，2025十堰馬拉松在十堰市奧體中心鳴槍起跑．馬拉松比賽是一項(xiàng)高負(fù)荷、高強(qiáng)度、長(zhǎng)距離的競(jìng)技運(yùn)動(dòng)，對(duì)參賽運(yùn)動(dòng)員身體狀況有較高的要求，參賽運(yùn)動(dòng)員應(yīng)身體健康，有長(zhǎng)期參加跑步鍛煉或訓(xùn)練的基礎(chǔ)．為了解市民對(duì)馬拉松的喜愛(ài)程度，從成年男性和女性中各隨機(jī)抽取100人，調(diào)查是否喜愛(ài)馬拉松，得到了如下列聯(lián)表：?jiǎn)挝唬喝诵詣e馬拉松合計(jì)喜愛(ài)不喜愛(ài)男60100女60合計(jì)200（1）完成列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，是否可以推斷喜愛(ài)馬拉松與性別有關(guān)？（2）依據(jù)統(tǒng)計(jì)表，用分層抽樣的方法從“喜愛(ài)馬拉松”的人中抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3人，記其中女性人數(shù)為，求的分布列及期望．附：．0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82816.已知，，平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．（1）求的方程；（2）若斜率為的直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，且，求直線(xiàn)的方程．17.如圖，在四棱錐中，側(cè)棱長(zhǎng)均為，四邊形是矩形，.（1）證明：平面平面.（2）求二面角的正弦值.18.已知函數(shù).（1）若，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程.（2）證明：在上單調(diào)遞增.（3）若，證明：.19.已知雙曲線(xiàn)左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，，是上的兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為．當(dāng)時(shí)，．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求直線(xiàn)的斜截式方程；（3）若，，三點(diǎn)不共線(xiàn)，且，證明：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．參考答案1-8.【答案】A【答案】D【答案】B【答案】B【答案】B【答案】A【答案】B【答案】A9.【答案】ABD10.【答案】ACD11.【答案】BCD12.【答案】13.【答案】14.【答案】8815.【小問(wèn)1】由題意數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表：性別馬拉松合計(jì)喜愛(ài)不喜愛(ài)男6040100女4060100合計(jì)100100200零假設(shè)為：喜愛(ài)馬拉松與性別無(wú)關(guān).經(jīng)計(jì)算得，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷成立，即可以推斷喜愛(ài)馬拉松與性別無(wú)關(guān).【小問(wèn)2】由題意及分層抽樣性質(zhì)知5人中，有3個(gè)男運(yùn)動(dòng)員，2個(gè)女運(yùn)動(dòng)員，故，；；.所以的分布列為012期望.16.【答案】（1）（2）或17【小問(wèn)1】證明：連接交于點(diǎn)，記的中點(diǎn)分別為，連接.在中，是的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，所以平?因?yàn)槠矫?，所?在矩形中，.因?yàn)槠矫妫云矫?因?yàn)槠矫?，所?，同理得，所以，即.因?yàn)槠矫妫云矫?因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問(wèn)2】作，垂足為.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以?所以.設(shè)是平面的法向量，則即可取.設(shè)是平面的法向量，則即可取.，.故二面角的正弦值為.18.【小問(wèn)1】當(dāng)時(shí)，，，則，，故曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即；【小問(wèn)2】的定義域?yàn)?，則，令函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增；【小問(wèn)3】（證法一）由（2）得，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，由，，可知存在唯一?shí)數(shù)，使得，即，可得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則上單調(diào)遞增；所以的極小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，所以，所?（證法二）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，即，令，則有，先證當(dāng)時(shí)，，令函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，得證；再證，令函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即得證；綜上，，即當(dāng)時(shí)，得證.19.【小問(wèn)1】設(shè)雙曲線(xiàn)的半焦距為，則，由題意，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線(xiàn)為，將代入雙曲線(xiàn)方程，得，解得；又，則，又，所以，結(jié)合，得，解得或，所以，所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2】易知直線(xiàn)