【課件】角的平分線(xiàn)+課時(shí)1+角平分線(xiàn)的性質(zhì)+課件+2025-2026學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

第十四章全等三角形14.3角的平分線(xiàn)課時(shí)1角平分線(xiàn)的性質(zhì)目錄1.學(xué)習(xí)目標(biāo)3.知識(shí)點(diǎn)1 作已知角的平分線(xiàn)6.課堂小結(jié)2.新課導(dǎo)入4.知識(shí)點(diǎn)2 角的平分線(xiàn)的性質(zhì)7.當(dāng)堂小練CONTENTS9.拓展與延伸5.知識(shí)點(diǎn)3 證明幾何命題的一般步驟8.對(duì)接中考1.能用尺規(guī)作圖作一個(gè)角的平分線(xiàn)，知道作圖的理論依據(jù).2.探索并證明角的平分線(xiàn)的性質(zhì)，能夠利用該性質(zhì)解決幾何問(wèn)題.3.熟練掌握證明幾何命題的一般步驟.學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)回顧角平分線(xiàn)的概念：一條射線(xiàn)把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線(xiàn)叫做這個(gè)角的平分線(xiàn).OABC如圖，OC是∠AOB的平分線(xiàn).

新課導(dǎo)入請(qǐng)你作出∠AOB的平分線(xiàn)OC，你有怎樣的方法？AOB用量角器度量；將角剪下來(lái)，用折紙的方法對(duì)折．前面我們學(xué)習(xí)了全等三角形的性質(zhì)和判定，知道可以通過(guò)證明三角形全等，來(lái)證明線(xiàn)段相等或角相等.本節(jié)利用這個(gè)方法研究角的平分線(xiàn)，研究角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)具有什么特性，以及滿(mǎn)足什么條件的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上.新課講解知識(shí)點(diǎn)1作已知角的平分線(xiàn)探究如圖，OC是∠AOB的平分線(xiàn)，P是OC上的任意一點(diǎn)，M，N分別是OA，OB上的點(diǎn)，我們研究PM與PN的關(guān)系.研究幾何圖形的關(guān)系時(shí)，我們往往關(guān)注其中的一些特殊情況.在圖中，當(dāng)OM與ON滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí)，PM=PN？在△OPM和△OPN中，OP=OP，∠POM=∠PON，如果OM=ON，那么△OPM≌△OPN

(SAS)，就有PM=PN.新課講解探究

反過(guò)來(lái)，如圖，M，N分別是∠AOB的邊OA，OB上的點(diǎn)，OM=ON.點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，PM=PN，你能證明出點(diǎn)P在∠AOB的平分線(xiàn)上嗎？AOBMNPOM=ON，PM=PN，OP=OP，∴△OPM≌△OPN

(SSS)，∴∠POM=∠PON，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線(xiàn)上.證明：連接OP，在△OPM和△OPN中新課講解思考由上述結(jié)論，你能想到如何作一個(gè)角的平分線(xiàn)嗎？①根據(jù)上述結(jié)論，可以先在角的兩邊上分別作出與角的頂點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)；②再在角的內(nèi)部作出與這兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)；③以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)，作過(guò)這個(gè)點(diǎn)的射線(xiàn)，就能得到角的平分線(xiàn)了.AOBMNP新課講解ABO已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分線(xiàn).

MNC為什么呢？新課講解思考ABOMNC作圖依據(jù)是什么？利用“SSS”證明全等兩個(gè)三角形全等，則對(duì)應(yīng)角相等新課講解

注意例新課講解1.已知：∠AOB，如圖所示.求作：∠AOB的補(bǔ)角的平分線(xiàn).（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）解：如圖所示，射線(xiàn)OD就是∠AOB的補(bǔ)角的平分線(xiàn).AOBCEFD新課講解作平角的平分線(xiàn)的方法就是過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)作這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)的方法.結(jié)論已知：平角∠AOB.求作：平角∠AOB的平分線(xiàn).AOBEFC練一練知識(shí)點(diǎn)2角的平分線(xiàn)的性質(zhì)新課講解探究由此，我們可以猜想角平分線(xiàn)有什么性質(zhì)？如圖，OC是∠AOB的平分線(xiàn).點(diǎn)P1，P2，P3，…在OC上，過(guò)點(diǎn)P1，P2，P3，…，分別畫(huà)OA與OB的垂線(xiàn)，垂足分別為D1與E1、D2與E2、D3與E3…，分別比較P1D1與P1E1、P2D2與P2E2、P3D3與P3E3…，你有什么發(fā)現(xiàn)？P1D1=P1E1、P2D2=P2E2、P3D3=P3E3.角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.新課講解我們證明這個(gè)性質(zhì).首先，要分清其中的“已知”和“求證”.已知：一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線(xiàn)上；求證：這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.為了更直觀、清楚地表達(dá)題意，我們通常在證明之前畫(huà)出圖形，并用符號(hào)表示已知和求證.新課講解如圖，OC是∠AOB的平分線(xiàn)，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.求證：PD=PE.分析：如果能證明△OPD≌△OPE，就可以得到PD=PE.由題意可知，△OPD和△OPE具備“角角邊”的條件.證明：∵OC是∠AOB的平分線(xiàn)，∴∠AOC=∠BOC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△OPD和△OPE中，∠AOC=∠BOC，∠PDO=∠PEO，OP=OP，∴△OPD≌△OPE（AAS），∴PD=PE

.新課講解角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.∵OC是∠AOB的平分線(xiàn)，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE.幾何語(yǔ)言：角平分線(xiàn)的性質(zhì)：角的平分線(xiàn)的性質(zhì)的兩個(gè)必要條件：(1)點(diǎn)在角平分線(xiàn)上；(2)這個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離即點(diǎn)到角兩邊的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度.兩者缺一不可.新課講解1.角的平分線(xiàn)的性質(zhì)是由兩個(gè)條件（角平分線(xiàn)，垂線(xiàn)）得到一個(gè)結(jié)論（線(xiàn)段相等）.2.利用角的平分線(xiàn)的性質(zhì)證明線(xiàn)段相等時(shí)，證明的線(xiàn)段是“垂直于角兩邊的線(xiàn)段”，如圖①所示，而不是“垂直于角平分線(xiàn)的線(xiàn)段”，如圖②所示.注意新課講解例2.如圖，OD平分∠EOF，在OE，OF

上分別取點(diǎn)A，B，使OA=OB，P為OD

上一點(diǎn)，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分別為M，N.求證：PM=PN.方法點(diǎn)撥：在圖中找出符合角的平分線(xiàn)的性質(zhì)的模型，利用角的平分線(xiàn)的性質(zhì)證明線(xiàn)段相等.證明：∵OD

平分∠EOF，∴∠BOD=∠AOD.在△BOD

和△AOD

中，∴△BOD≌△AOD(SAS).OB=OA，∠BOD=∠AOD，OD=OD，∴∠BDO=∠ADO，即DO

平分∠BDA.又∵

P為DO上一點(diǎn)，且PM⊥BD，PN⊥AD，∴PM=PN.新課講解例3.把兩個(gè)同樣大小的含30°角的三角尺按照如圖(1)所示方式疊合放置，得到如圖(2)的Rt△ABC和Rt△ABD，設(shè)M是AD與BC的交點(diǎn)，則這時(shí)MC的長(zhǎng)度就等于點(diǎn)M到AB的距離，你知道這是為什么嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.解：如圖，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AB于點(diǎn)H.∵∠BAD=30°，∠CAB=60°，∴∠MAC=∠BAC-∠MAB=30°=∠MAB,∴AM平分∠CAB.∵M(jìn)H⊥AB，MC⊥AC,∴MH=MC，即MC的長(zhǎng)度等于點(diǎn)M到AB的距離.新課講解練一練1.如圖，已知AC平分∠BAD，F(xiàn)在AD上，CE⊥AB，CD⊥AD，點(diǎn)E，D分別為垂足，CF=CB．求證：BE=FD．新課講解練一練2.如圖，在△ABC

中，∠C=90°，AD

平分∠CAB，交BC于點(diǎn)D，BD=2CD，點(diǎn)D到AB

的距離為5.6cm，求BC

的長(zhǎng).解題秘方：依據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出BD

的長(zhǎng)，依據(jù)BC=CD＋BD即可得解.解：如圖，過(guò)點(diǎn)D

作DE⊥AB

于點(diǎn)E.∵∠C=90°，AD

平分∠CAB，點(diǎn)D

到AB

的距離為5.6cm，∴

CD=DE=5.6cm.又∵BD=2CD，∴BD=2×5.6=11.2(cm).∴BC=CD＋BD=5.6＋11.2=16.8(cm).知識(shí)點(diǎn)3證明幾何命題的一般步驟新課講解證明一個(gè)幾何命題時(shí)的步驟：已知：一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線(xiàn)上求證：這個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離相等；第一步：明確命題中的已知和求證.第二步：根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示已知和求證；第三步：經(jīng)過(guò)分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫(xiě)出證明過(guò)程.1.所畫(huà)圖形應(yīng)符合題意，并具有一般性和代表性.在畫(huà)圖的時(shí)候要考慮是否存在不同的情形，若存在，則要分別畫(huà)出圖形，再分別進(jìn)行證明；2.證明過(guò)程中的每一步推理都要有依據(jù)，比如：已知條件、定義、定理等.注意新課講解例4.求證：三角形的一邊的兩端點(diǎn)到這條邊上的中線(xiàn)所在的直線(xiàn)的距離相等.需要先將命題改寫(xiě)成”如果……那么……“的形式，然后確定已知和求證.解：已知：如圖，AD為△ABC的中線(xiàn)，且CF⊥AD于點(diǎn)F，BE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.求證：BE=CF.證明：∵AD為△ABC的中線(xiàn)，∴BD=CD.∵BE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，CF⊥AD，∴∠BED=∠CFD=90°.在△BED和△CFD中，∠BED=∠CFD，∠BDE=∠CDF，BD=CD，∴△BED≌△CFD（AAS），∴BE=CF.新課講解例5.求證：兩角和其中一角的平分線(xiàn)對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.解：已知：如圖，在△

ABC和△A′B′C′中，AD，A′D′分別為∠BAC，∠B′A′C′的平分線(xiàn)，且∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′，AD=A′D′.求證：△ABC≌△A′B′C′

∠B=∠B′，∠1=∠2，AD=A′D′，∴△ABD≌△A′B′D′(AAS).∴AB=A′B′在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).∠B=∠B′，AB=A′B′，∠BAC=∠B′A′C′，新課講解練一練1.命題：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高相等.(1)寫(xiě)成“如果??，那么??”的形式：_______________________________________________________________；如果兩條線(xiàn)段是一對(duì)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高，那么這兩條線(xiàn)段相等(2)根據(jù)所給圖形寫(xiě)出已知、求證和證明過(guò)程.解：已知：如題圖，△ABC≌△A′B′C′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′.求證：AD＝A′D′.證明：∵△ABC≌△A′B′C′，∴AB＝A′B′，∠B＝∠B′.∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°.新課講解練一練2.根據(jù)下列圖形，寫(xiě)出命題“如果兩個(gè)直角三角形有一條直角邊和斜邊上的高分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形全等”的已知，求證和證明過(guò)程.

證明：∵EH⊥DF于H，CG⊥AB于G,∴∠DHE=∠AGC=90°.在Rt△ACG與Rt△DEH中，

∴Rt△ACG≌Rt△DEH(HL)，∴∠A=∠D，AC=DE，CG=EH，在△ABC與△DFE中，∠A=∠D，AC=DE，∠ACB=∠DEF，∴△ABC≌△DFE(ASA).新課講解1.證明一個(gè)命題的步驟不是固定不變的，要根據(jù)題目的情況而定，但是總體必須是完整的，并且證明的過(guò)程必須“步步有據(jù)”.2.證明幾何命題所畫(huà)圖形應(yīng)符合題意，并具有一般性和代表性.在畫(huà)圖時(shí)，要考慮是否存在不同的情形，若存在，則要分別畫(huà)出圖形，再分別證明.注意課堂小結(jié)角的平分線(xiàn)為證明線(xiàn)段相等提供了又一途徑.性質(zhì)定理過(guò)角平分線(xiàn)上一點(diǎn)向角兩邊作垂線(xiàn)段.

一個(gè)點(diǎn)：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)；二距離：點(diǎn)到角兩邊的距離；兩相等：兩條垂線(xiàn)段相等.輔助線(xiàn)添加當(dāng)堂小練1.填空：下列結(jié)論一定成立的是（）①如圖1，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，D，E分別為OA、OB上的點(diǎn)，則PD=PE.②如圖2，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，則PD=PE.③如圖3，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD┴OA，垂足分別為D.若PD=3，則點(diǎn)P到OB的距離為3.OBACPD圖3OBACPD圖2EOBACPD圖1E┐┐┐③當(dāng)堂小練2.如圖，若OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C，D，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是 ()A.PC=PD.B.∠CPO=∠DPO.C.OC=OP.D.OC=OD.C當(dāng)堂小練3.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.若AC=2，DE=1，則S△ACD=_______.1當(dāng)堂小練4.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E，若AB=8cm，則△DEB的周長(zhǎng)為（）A.10cmB.7cmC.8cmD.不能確定解析：在△ABC中，∠C=90°，∴DC⊥AC.∵DE⊥AB，AD平分∠CAB，∴DC=DE.在Rt△ACD和Rt△AED中,

AD=AD，DC=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE.∵AC=BC，∴AE=BC，∴△DEB的周長(zhǎng)=DE+DB+EB=DC+DB+EB=BC+EB=AE+EB=AB=8cm.C當(dāng)堂小練5.如圖，OC是∠AOB的平分線(xiàn)，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB,垂足分別為D，E.點(diǎn)F，G分別在OA，OB上，DF=EG，連接PF，PG.求證：PF=PG.