2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期復(fù)習(xí)分項(xiàng)匯編《三角形中的最值及分類討論》含答案解析

專題03三角形中的最值及分類討論

題型概覽

題型01將軍飲馬模型

題型02線段的最值問題

題型03等腰三角形中的分類討論

題型04直角三角形中的分類討論

II

!經(jīng)典基礎(chǔ)題

■?

將軍飲馬模型

1.（23-24八下?甘肅蘭州?期中）如圖所示，在VABC中，,ABC的平分線交AC于點(diǎn)。，E

為線段80上一動(dòng)點(diǎn)，尸為邊A8上一動(dòng)點(diǎn)，若AB=5,BD=4,AD=DC=3,則AE+EF

的最小值為（）

2.（23-24八下.河南周口太康縣?期中）如圖，Rt^ABC中，ZC=90°,ZA=30°,點(diǎn)D為AC

上一點(diǎn)，點(diǎn)E為43上一點(diǎn)，當(dāng)DB+OE有最小值時(shí)，/BDE為（）

A.90°B.85°C.60°D.不能確定

3.（23-24八下?河北石家莊?期中）如圖，已知RtZ\ABC,ZACB=90°,AD平分NA4c與

BC交于。點(diǎn)，M,N分別在線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接MN、MC,當(dāng)MN+MC最小

時(shí)，畫出Af、N的位置.已知VABC的面積為12cm2,AB=6cm,求MN+MC的最小值

4.(23-24八下?黑龍江哈爾濱南崗區(qū)?期中)在平面直角坐標(biāo)系宜制中，VABC的位置如圖

所示，三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上

(1)請(qǐng)?jiān)趫D中描出點(diǎn)C關(guān)于V軸對(duì)稱的點(diǎn)。，并寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)一，連接則△的

的面積為一，的形狀為

(2)已知點(diǎn)尸是y軸上的一點(diǎn)，則當(dāng)B4+PC取最小值時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

3

5.(23-24八下?湖南衡陽(yáng)?期中)一次函數(shù)y尤-6的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A,B,平分

4

N03A交x軸于點(diǎn)C,CDLAB,垂足為D

(1)求..ABO的面積；

⑵求點(diǎn)C、。的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)￡是線段02上的一點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段3c上的一點(diǎn)，求防+。b的最小值.

線段的最值問題

6.（23-24八下.河南周口商水縣?期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,0）,

點(diǎn)8的坐標(biāo)為（5,0）,點(diǎn)P為線段外一動(dòng)點(diǎn)且抬=1,以尸3為邊作等邊，則當(dāng)線

段A0的長(zhǎng)取到最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（）

7.（23-24八下?上海奉賢區(qū)?期中）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0,6）,點(diǎn)B是尤

軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).以A3為邊向右側(cè)作等邊三角形ABC,連接OC,在運(yùn)動(dòng)過程中，OC的

8.（23-24八下?河南開封通許縣?期中）如圖，VABC和VADE為等腰直角三角形，將VADE

繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接8。，EC,點(diǎn)M為直線3。，CE的交點(diǎn).若AB=2,AD=6,

則ZACE+ZDBC=。，在旋轉(zhuǎn)過程中，比?的最大值為.

E

B

9.（23-24八下?吉林吉林船營(yíng)區(qū)?期中）如圖，BD,CE在BC的同側(cè)，點(diǎn)A在線段BC上,

AB=BD=3cm,AC=CE=4cm,/D+/E=45。則DE的最大值是.

10.（23-24八下?山西晉城陵川縣多校聯(lián)考?期中）如圖，在RtAABC中，NC=9",=30。，

AB=8.若反尸是BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以所為邊的等邊△EFP的頂點(diǎn)P在VMC內(nèi)部或

邊上，則等邊的邊長(zhǎng)的最大值為.

11.（23-24八下,湖北孝感云夢(mèng)縣?期中）如圖，VABC和VADE都是等腰直角三角形，

ABAC=ZDAE=90°,AB=AC=4,。為AC中點(diǎn)，若點(diǎn)。在直線BC上運(yùn)動(dòng)，連接OE,

則在點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)過程中，線段OE的最小值是為.

等腰三角形中的分類討論

12.（23-24八下?河南周口扶溝縣?期中）一個(gè)等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50。，

則該等腰三角形的頂角度數(shù)為.

13.（23-24八下?河北保定蓮池區(qū)?期中）在平面直角坐標(biāo)系中，40,5）,8（2,3）,C為第一

象限內(nèi)一點(diǎn)，若以A，B,C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，則C點(diǎn)坐標(biāo)為一.

14.（23-24八下?福建三明寧化縣?期中）如圖，VA3C中Z4BC=4O。，動(dòng)點(diǎn)。在直線BC上，

當(dāng)△ABD為等腰三角形，/ADB=.

A

15.（23-24八下.河南商丘梁園區(qū)?期中）平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)A（2,0）,B（0,4）,以A,

8為頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)作等腰直角△ABC,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

16.（23-24八下?福建廈門?期中）如圖，在RtaACB中，ZACB=90°,AB=10,AC=6,

動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)3出發(fā)沿射線BC運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ZVIPB為等腰三角形時(shí)，其底邊的長(zhǎng)為.

17.（23-24八下?河南許昌禹州?期中）如圖直線y=-2x+7與X軸、y軸分別交于點(diǎn)C、B,

3

與直線y=交于點(diǎn)A.如果在y軸上存在一點(diǎn)P,使等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)

直角三角形中的分類討論

18.（23-24八下?江蘇宿遷泗陽(yáng)縣?期中）若三角形的兩邊長(zhǎng)為4和5,要使其成為直角三角

形，則第三邊的長(zhǎng)為.

19.（23-24八下?江蘇蘇州蘇州工業(yè)園區(qū)?期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4-4,0）,。為

坐標(biāo)原點(diǎn).若要使△043是直角三角形，則點(diǎn)3的坐標(biāo)不可能是（）

A.（-4,2）B.（0,4）C.（4,2）D.（-2,2）

20.（23-24八下.廣東廣州番禺區(qū)?期中）當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角a是另一個(gè)內(nèi)角夕的2倍時(shí)，

我們稱此三角形為“特征三角形”，其中a稱為“特征角”.若一個(gè)“特征三角形”恰好是直角三

角形，則這個(gè)“特征三角形”的“特征角”的度數(shù)為（）

A.120。或90°B.120?；?0°C.90?；?0°D.90?；?5°

21.（23-24八下?湖北武漢洪山區(qū)?期中）如圖所示，AD為VA3C的高，AE,族為VABC的

角平分線，若NFBC=30。，ZC=40°.

⑴求的度數(shù)；

⑵若點(diǎn)M為線段2C上任意一點(diǎn)，當(dāng)△MFC為直角三角形時(shí)，直接寫出ZB-欣的度數(shù).

22.（23-24八下?安徽合肥蜀山區(qū)?期中）如圖1,等腰三角形ABC中，AO是邊上的中

線，延長(zhǎng)至點(diǎn)E,使=連結(jié)AE.

（1）求證：VADE是等腰直角三角形.

（2）如圖2,過點(diǎn)8作AC的垂線交AE于點(diǎn)尸，試判斷一AB尸的形狀，并說明理由.

（3）如圖3,在⑵的基礎(chǔ)上，4）=4,連結(jié)CP,若△CPE是直角三角形，求CE的長(zhǎng).

23.（23-24八下?四川內(nèi)江第六中學(xué).）如圖，AD為VABC的高，3E為VA2C的角平分線,

若NEBA=34°,ZAEB=71°.

⑴求NCAD的度數(shù)；

（2）若點(diǎn)歹為線段3c上任意一點(diǎn)，當(dāng)EFC為直角三角形時(shí)，求ZBEF的度數(shù).

|優(yōu)選提升題|

1.（23-24八下.河北唐山遷安?期中）在VABC中，AB=AC,其中一個(gè)內(nèi)角度數(shù)是40。，點(diǎn)

。在直線BC邊上，連接A。，若為直角三角形，則—ADC的度數(shù)為.

2.（23-24八下.廣西南寧橫州百合鎮(zhèn)?期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB=4,BC=12,

CD=9,E是BC的中點(diǎn)，ZA￡D=120°,則AD的最大值為（）

A.25B.19C.20D.21

3.（23-24八下?安徽安慶?期中）如圖，四邊形ABOC中，AC=OC=3,/BAC的角平分線

AD_L3D與點(diǎn)。，E為AC的中點(diǎn)，貝kABD與，EBC面積之差的最大值為（）

A

A.9B.4.5C.3D.1.5

4.（23-24八下?浙江衢州開化縣?期中）如圖，在VABC中，AB=AC,N3=70。，ADABC

的中線，E為邊AC上的一點(diǎn).若VADE是等腰三角形，則一犯）的度數(shù)是°

5.（23-24八下?湖北武漢?期中）如圖，在直角坐標(biāo)系中，0是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知4（4,3）,尸是

坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，若以。、A、尸三點(diǎn)組成的三角形為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)尸共有

6.（23-24八下?浙江杭州拱墅區(qū)?期中）如圖，VA5C中，=AC,ZA=36。,。是射線上

的動(dòng)點(diǎn)，連接C。，令/48=。（0。＜以＜75。），將ACD沿CD所在射線CP翻折至△女€?

處，射線C4'與射線相交于點(diǎn)E.若A'DE是等腰三角形，則/以的度數(shù)為.

7.（23-24八下.河南濮陽(yáng)范縣?期中）如圖，在VABC中，ZA=60°,/3=30。，點(diǎn)。是

A3上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CD取最小值時(shí)，NDCB=

8.（23-24八下.廣東深圳?期中）如圖，在VA3C中，ZACB=60°,AC=3,AB=4,點(diǎn)D、

E分別是AB,BC上的動(dòng)點(diǎn)，S.AD=BE,連接CD,AE,則CD+AE的最小值是.

9.（23-24八下?江蘇常州?期中）如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)O為AC中點(diǎn)，點(diǎn)。

在射線8c上運(yùn)動(dòng)，以AD為邊向右作等邊三角形ADE,連接OE,則線段OE的最小值

是.

10.（23-24八下?江蘇揚(yáng)州?期中）如圖，"＞為丫48（7的高，AE,班'為VABC的角平分線,

若NCBF=32°,/AFB=72°.

（1）N￡^D=°；

⑵求NZM￡■的度數(shù)；

⑶若點(diǎn)G為線段2C上任意一點(diǎn)，當(dāng)G"為直角三角形時(shí)，求/BFG的度數(shù).

11.(23-24八下.湖南廣益?期中)如圖，在VA2C中，AB=AC=2,N3=30。,點(diǎn)。在邊3c

上運(yùn)動(dòng)(。不與B、C重合)，連接AD,作NADE=30。，DE交邊AC于點(diǎn)E.

⑴當(dāng)DC等于多少時(shí)，&ABD^ADCE,請(qǐng)說明理由:

(2)在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)VADE是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出一人汨的度數(shù).

12.(23-24八下?河南商丘民權(quán)縣?期中)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為

1個(gè)單位的正方形，VABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.

⑴畫VABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形;

(2)試判斷VABC的形狀，說明理由；

(3)在y軸上求作一點(diǎn)P,使得上4+PB最小，并求出這個(gè)最小值.

13.(23-24八下?四川成都成華區(qū)學(xué)?期中)如圖，在VA2C中AC=21,BC=13,D是AC邊

上一點(diǎn)，比＞=12,AD=16.

(1)求證：BDA.AC-,

(2)若E是邊筋上的動(dòng)點(diǎn)，求線段DE的最小值.

14.(23-24八下.廣東梅州五華縣?期中)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為

⑴試判斷VA03的形狀，并說明理由；

⑵在第二象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)P,使得VP03是以02為腰的等腰直角三角形，若存在，求

出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)如圖2,點(diǎn)C為線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。為線段54上一動(dòng)點(diǎn)，且始終滿足=求

AC+OD的最小值.

專題03三角形中的最值及分類討論

題型概覽

題型01將軍飲馬模型

題型02線段的最值問題

題型03等腰三角形中的分類討論

題型04直角三角形中的分類討論

II

!經(jīng)典基礎(chǔ)題

■?

將軍飲馬模型

1.（23-24八下?甘肅蘭州?期中）如圖所示，在VABC中，,ABC的平分線交AC于點(diǎn)。，E

為線段8。上一動(dòng)點(diǎn)，下為邊A8上一動(dòng)點(diǎn)，若AB=5,BD=4,AD=DC=3,則AE+砂

的最小值為（）

24八23

A.4nC.5D.—

54

【答案】B

【詳解】解：如圖，在邊上取點(diǎn)G使=B/，連接EG,過點(diǎn)A作于點(diǎn)

,//ABC的平分線交AC于點(diǎn)

NEBF=NEBG,

VBG=BF,BE=BE,

：.EBF^EBG,

EF=EG,

：.AE+EF=AE+EG,

當(dāng)點(diǎn)A,E,G三點(diǎn)共線時(shí)，AE+EF取得最小值，最小值為A”的長(zhǎng)，

在△ABD中，AB=5,BD=4,AD=3,

：?BD?+AD?=AB?,

△ABD為直角三角形，且BD_LA￡）,

ZADB=ZCDB=90°,

?；AD=CD,BD=BD,

：.Z\ABD^^CBD,

?.AB=BC=5,

,：SARr=-BDxAC=-AHxBC,

ABC22

.\!x4x（3+3）=1AHx5,

：.AH=—24.

5

故選：B.

2.（23-24八下.河南周口太康縣?期中）如圖，Rt^ABC中，ZC=90°,ZA=30°,點(diǎn)D為AC

上一點(diǎn)，點(diǎn)E為A3上一點(diǎn)，當(dāng)DB+DE有最小值時(shí)，NBDE為（）

A.90°B.85°C.60°D,不能確定

【答案】C

【詳解】解：如圖，作出點(diǎn)8關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B',過點(diǎn)作3ZLAB，垂足為點(diǎn)E,BE

交AC于點(diǎn)。，連接2。，止匕時(shí)D8+DE有最小值，

8'

點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B',

:.BD=B'D,

；.ADBC=AB',

ZDEA=ZDCB'=90°,ZADE=ZB'DC,

:.ZB'=ZA=30°,

NDBC=NB'=30。,

ZACB=90°,

ZA+ZABC=90°,

:.ZABD=30°,

:.ZBDE=60°,

故選：C.

3.（23-24八下?河北石家莊?期中）如圖，已知RCABC,ZACB=90°,平分/BAC與

2C交于。點(diǎn)，M、N分別在線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接MMMC,當(dāng)MN+MC最小

時(shí)，畫出河、N的位置.已知VABC的面積為12cm,，AB=6cm,求MN+MC的最小值

為.

【答案】4cm

【詳解】解：如圖：作DEJLM于點(diǎn)E,連接CE,作EN_LAC于點(diǎn)N,交AO于點(diǎn)

則點(diǎn)M、N就是所求作的點(diǎn).

：AD平分ZBAC與BC交于。點(diǎn)，ZACB=9Q°,

，由作圖可知：CD=DE,

.ADE與,ADC關(guān)于直線AD對(duì)稱，即點(diǎn)C與點(diǎn)E關(guān)于直線AD對(duì)稱,

:作硒_LAC于點(diǎn)N,交AO于點(diǎn)

EN是點(diǎn)、E到AC的最短距離，

MN+MC=MN+ME=EN,

作于點(diǎn)尸，

則MZV=MF,

在RtFME與RtNMC中,

MF=MN

ME=MC'

Rt.FME^Rt_WC(HL),

ZFME=NNMC,即NFME+NEMC=ZEMC+ZNMC=180°.

點(diǎn)/、M、C三點(diǎn)共線，NE=CF,

,：ABC的面積為12cm2,AB=6cm,

.-.-x6-CF=12,

2

.".CF=4(cm),

即：MN+MC的最小值為4cm,

故答案為：4cm.

4.（23-24八下?黑龍江哈爾濱南崗區(qū)?期中）在平面直角坐標(biāo)系宜b中，VABC的位置如圖

所示，三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上

（1）請(qǐng)?jiān)趫D中描出點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)。，并寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)一，連接AR8Q,則

的面積為一，△ABD的形狀為一.

⑵己知點(diǎn)尸是y軸上的一點(diǎn)，則當(dāng)R4+PC取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為一.

7Q

【答案】（1）見解析；（1,5）;y;等腰直角三角形；

⑵［嗤］

【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)。為所作；

由圖知：E>（1,5）,

VA（-4,3）,3（3,0）,

AD2=（T-1）2+（3_5,=29,*=（3-1）2+（0-5）2=29,AB2=（^-3）2+（3-0）2=58,

AD2+BD2=AB2>AD=BD,

:.ZADB=90°,

為等腰直角三角形，

1129

2

S.ABD=-ADBD=-AD=—；

AABD222

（2）解：如圖，取格點(diǎn)E,F,H,根據(jù)點(diǎn)C與點(diǎn)。關(guān)于y軸對(duì)稱，B4+PC的最小值為AD

的長(zhǎng)，

yk

r1-l——十-1r-l——"rr———L——r

IIIIIZIIIII

設(shè)尸尸=x,網(wǎng)格中小正方形邊長(zhǎng)為1,

q=q_LQ

°AHD~UAFP丁梯形PFHD，

(PF+DHYPH口口11lx(x+2)

AH-DH=-AF-PF+-------------------1----------，即一x5x2=—x4x+，

222222

解得：x=］，

.-.PF=|,

;.8二+3="，

55

4,高，

故答案為：

3

5.(23-24八下.湖南衡陽(yáng).期中)一次函數(shù)y=6的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A,B,3C平分

/084交工軸于點(diǎn)C,CDLAB,垂足為D

⑴求ABO的面積;

(2)求點(diǎn)C、。的坐標(biāo);

⑶若點(diǎn)E是線段OB上的一點(diǎn)，點(diǎn)方是線段BC上的一點(diǎn)，求石尸+。尸的最小值.

【答案】(1)24

⑵C(3,0),。葭

24

⑶行

3

【詳解】⑴解：將…代入產(chǎn)片一6得一6,

?.5(0,—6),即03=6,

3

將y=0代入y=W%_6得％=8,

A(8,0),即OA=8,

.-.SAOB=^OA-OB=24；

設(shè)OC長(zhǎng)為加，則G4=CM-OC=8-m,

3c平分/OBA,CD1,AB,

.'.CD—OC—m,

在RtACOB和RtACDB中，

{CO=CD

[BC=BC'

RtACOB^RtACDB(HL),

BD=OB=6,

在RtAOB中，由勾股定理得：

AB=y]OAi+OB2=10>

:.AD=AB-BD^4.

...在RtA4CD中，CD2+AD2=AC2,即根？+不=(8-機(jī)產(chǎn)，

解得m=3,

OC=CD=3,

C(3,0)；

AC=5,

S.CB=2AC.°B=15,5ABCD=5BD-CD=9,

??SACD=SACB—SBCD=6,

即g4C|%|=；x5|%|=6,

19

解得

12

%=--

入12小、3,,曰123/

將,=一彳代入了="_6得_《=片_6,

解得V74,

:.OF=DF,

:.EF+OF=EF+DF,

即D到>軸距離為EF+OF最小值，

24

.?.呼+0尸的最小值為彳.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，三角形全等的判定與性質(zhì)，對(duì)稱的性質(zhì)，解題關(guān)鍵

是熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，掌握角平分的性質(zhì)及求線段和最值的方法.

線段的最值問題

6.（23-24八下?河南周口商水縣?期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,0）,

點(diǎn)8的坐標(biāo)為（5,0）,點(diǎn)P為線段外一動(dòng)點(diǎn)且24=1,以尸8為邊作等邊一尸3加，則當(dāng)線

段AM的長(zhǎng)取到最大值時(shí)，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為（）

A.1.5B.2C.3D.1

【答案】A

【詳解】如圖1,以P4為邊作等邊△PAN,連接6N,

=ZAPN=60°,

???ZAPM=ZNPBf

NPBmAPM(SAS),

：.AM=BN,

,：NB<AB-^-AN,

???當(dāng)N,A,B三點(diǎn)共線時(shí),BN最大,即AM最大,

如圖2,過尸作尸丁，九軸，垂足為T,

???PN=NA=PA=\,

:點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,0）,

/.N（l,0）.

PTVAN,

：.NT=-NA=-,

22

/.T（1.5,0）,

，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為1.5.

當(dāng)P在x軸下方時(shí)，同上可求點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為1.5.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三條邊的關(guān)系,

坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

7.（23-24八下.上海奉賢區(qū)?期中）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0,6）,點(diǎn)8是尤

軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).以A3為邊向右側(cè)作等邊三角形ABC,連接OC,在運(yùn)動(dòng)過程中，OC的

最小值為（）

【答案】B

【詳解】解：如圖，以Q4為邊向左側(cè)作等邊三角形AOE,連接8E,

AOA=EA=OE,ZOAE=ZAOE=60°.

：VABC為等邊三角形,

/.AB=AC,ZBAC=60°,

：.ABAC-ZOAB=ZEAO-ZOAB,即NQ4C=/E4B,

.0ACgE4B（SAS）,

OC=EB.

.,.當(dāng)3EJ_x軸時(shí)，BE最短，即此時(shí)OC最小.

VA（0,6）,

OA=6,

OE-6.

9：ZAOE=6Q°,ZAOB=9Q0,

/BOE=30°,

：.BE=-OE=3,即在運(yùn)動(dòng)過程中，OC的最小值為3.

2

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、垂線段最短、含30度角

的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

8.（23-24八下?河南開封通許縣糊中）如圖，VABC和VADE為等腰直角三角形，將VADE

繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接BD,EC,點(diǎn)M為直線8。，CE的交點(diǎn).若AB=2,AD=6

則ZACE+ZOBC=°,在旋轉(zhuǎn)過程中，BO的最大值為.

【答案】452+V3/V3+2

【詳解】解：和VADE為等腰直角三角形，

ZBAC=ZZME=90°,AB=AC,AD^AE,ZABC=ZACB=45°,NAED=NADE=45。,

：.ABAC+Z.CADACAD+ZDAE,

即=

/.BAD^CAE(SAS),

：.ZABD^ZACE,

：.ZACE+ZDBC=ZABD+ZDBC=ZABC=45°；

:將VADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，BD<AB+AD,且當(dāng)8、A、。三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，

XVAB=2,AD=y[3,

，8。的最大值為：AB+AD=2+^/3.

故答案為：45；2+73.

9.（23-24八下.吉林吉林船營(yíng)區(qū)?期中）如圖，BD,CE在BC的同側(cè)，點(diǎn)A在線段BC上,

AB=BD=3cm,AC=CE=4cm,"+/E=45。則DE的最大值是.

【答案】12cm

【詳解】解：將△ABD沿AD折疊形成VAB'D,將"底沿AD折疊形成VAC'E,連接"C1,

DE,

*.*AB=BD=3cm,AC=CE=4cm,

B'D=BD=3cm,B'A=BA=3cm,N2=/3,

AZ1=Z2,

JN1=N2=N3,

同理：N4=N5=N6,

VZ1+Z6=45°

.??Z2+Z3+Z4+Z5=2(Z1+Z6)=90°,

???NCAB'=90。，

B'C=yj32+42=5,

：.B'D+B'C+C'E>DE,

當(dāng)且僅當(dāng)nB',C',E四點(diǎn)共線時(shí)，DE有最大值，即DE的最大值為：

B'D+B'C+C'E=3+4+5=12cm.

故答案為12cm.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、最短距離等知識(shí)點(diǎn)，

正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

10.（23-24八下?山西晉城陵川縣多校聯(lián)考?期中）如圖，在Rt^ABC中，ZC=9CP,ZB=30°,

AB=8.若反尸是2C邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以跖為邊的等邊的頂點(diǎn)尸在VABC內(nèi)部或

邊上，則等邊△應(yīng)才的邊長(zhǎng)的最大值為.

【答案】273

【詳解】解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C、尸重合且點(diǎn)尸在A8上時(shí)，等邊△EEP的邊長(zhǎng)最長(zhǎng),

?：△EFP是等邊三角形,ZACB=90°,

：.ZPFE=6O°,

：.ZPCA=ZACB-ZPFE=90°-60°=30°,

VZB=30°,AB=8

：.ZAPC=NPFE+NB=60°+30°=90°,

在VABC中，AC=|AB=1x8=4,

在AACP中，AP=—AC=—x4=2,

22

...在Rt^R4c中，PC=4Af^-AP1=V42-22=273-

等邊八EFP的邊長(zhǎng)的最大值為2TL

BE(MC

11.（23-24八下?湖北孝感云夢(mèng)縣.期中）如圖，VABC和VADE都是等腰直角三角形，

ZBAC=ADAE=90°,AB=AC=4,。為AC中點(diǎn)，若點(diǎn)。在直線2c上運(yùn)動(dòng)，連接0E,

則在點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)過程中，線段OE的最小值是為.

【答案】五

【詳解】解：取的中點(diǎn)為點(diǎn)。，連接CQ,

ZBAC=ZDAE=90°,

ABAC-ADAC=NDAE—NDAC,

即NB4D=NC4E,

AB=AC=4f。為AC中點(diǎn)，

AQ=AO,

在.AQO和ZXAOE1中，

AQ=AO

<ZQAD=ZOAE,

AD=AE

AQD^AOE(SAS),

QD=OE,

:點(diǎn)。在直線3C上運(yùn)動(dòng)，

.?.當(dāng)QDL3C時(shí)，QO最小，

???VABC是等腰直角三角形，

:.ZB=45°,

QDVBC,

△QB。是等腰直角三角形,

QD=-^-QBi

QB;AB=2,

:.QD=y[2,

...線段OE的最小值是為加.

故答案為：血.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂線段

最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線構(gòu)建全等三角形，學(xué)會(huì)利用垂線段最短解決最值

問題.

等腰三角形中的分類討論

12.（23-24八下?河南周口扶溝縣?期中）一個(gè)等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50。,

則該等腰三角形的頂角度數(shù)為.

【答案】40?；?40。

【詳解】解：①如圖：當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，

VAB=AC,ZACD=50°,CD為高，即NADC=90°,ZA+ZACD+ZADC=,

：.ZA=180°-90°-50°=40°,

②如圖：當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，

VAB=AC,ZACD=50°,CD為高,即ZADC=90。,

ABAC=ND+ZACD=90°+50。=140。，

綜上，等腰三角形的頂角的度數(shù)為40?；?40。.

故答案為：40?；?40。.

13.（23-24八下.河北保定蓮池區(qū)?期中）在平面直角坐標(biāo)系中，A（0,5）,8（2,3）,C為第一

象限內(nèi)一點(diǎn)，若以A,B,C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，則C點(diǎn)坐標(biāo)為一.

【答案】（2,5）或（2,7）或（4,5）

【詳解】解:如圖，

觀察圖象可知，滿足條件的點(diǎn)C坐標(biāo)為（2,5）或（2,7）或（4,5）.

故答案為：（2,5）或（2,7）或（4,5）.

14.（23-24八下?福建三明寧化縣?期中）如圖，VABC中ZABC=40。，動(dòng)點(diǎn)。在直線3C上,

當(dāng)為等腰三角形，ZADB=.

【答案】20?；?0。或70?；?00°

【詳解】解：若=

貝ljZADB=ZABC=40°；

DCB

若4)=助，

則ZDAB=Z.DBA=40°,

：.ZADB=180°-2x40°=100°；

若AB=BD,且三角形是銳角三角形，

貝I]ZADB=ZBAD=-(180°-ZABC)=70°；

貝I]ABAD=ZBDA=；ZABC=20°.

綜上：4Z汨的度數(shù)為20?；?0?；?0?；?00。，

故答案為：20。或40?；?0?；?00。.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找齊所有情況，分類討

論.

15.(23-24八下?河南商丘梁園區(qū)?期中)平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)A(2,0),B(0,4),以A,

8為頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)作等腰直角△ABC,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

【答案】(4,6)、(6,2)或(3,3)

【詳解】解:①如圖所示，點(diǎn)C在第一象限，AB±BC,AB=BC^,

作CP_Ly軸于P點(diǎn),則NCPB=N8Q4=90。，

ZABC=90°,

：.ZPBC+ZOBA=90°9

9

：ZPBC^ZPCB=90°f

：.ZOBA=ZPCB,

在△05A和△尸Q5中，

ZOBA=ZPCB

<ZBOA=ZCPB

BC=AB

：.OB=PC,OA=PB,

由題意，OB=4,0A=2f

：.PC=4,PB=2,

?,.O尸=2+4=6,

???此時(shí)，。點(diǎn)坐標(biāo)為(4,6)；

②如圖所示，點(diǎn)。在第一象限，AB±AC,A3=AC時(shí),

作CQ，元軸于Q點(diǎn)，則NAQC=N3OA=90。，

同①理，可證得△BOAgzXAQC,

???05=AQ=4,CQ=OA=2,

：.00=2+4=6,

???此時(shí)，。點(diǎn)坐標(biāo)為(6,2)；

③如圖所示，點(diǎn)C在第一象限，BC±AC,8C=AC時(shí),

作交CN延長(zhǎng)線于/點(diǎn)，則/8MC=NCN4=90。,

同①理，可證得△BMCgZ\C7VA,

：.AN=MC,CN=BM,

OA+AN=BM=CN

則

CN+CM=MN=OB'

2+AN=CN

即:

CN+AN=4'

AN=\

解得:

CN=3'

；.ON=2+1=3,

此時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3)；

綜上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,6)、(6,2)或(3,3)；

故答案為：(4,6)、(6,2)或(3,3).

【點(diǎn)睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系中等腰直角三角形的確定，掌握等腰直角三角形的基本性

質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)求解是解題關(guān)鍵.

16.（23-24八下?福建廈門?期中）如圖，在Rt^ACB中，ZACB=9Q°,AB^IO,AC=6,

動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)3出發(fā)沿射線3c運(yùn)動(dòng)，當(dāng)38為等腰三角形時(shí)，其底邊的長(zhǎng)為.

【答案】16或2J證或10

227

【詳解】解：由勾股定理可知：BC^ylAB-AC=A/16^6=8＞分類討論:

①A為等腰三角形的頂點(diǎn)時(shí)，有=

即以A點(diǎn)為圓心，A3為半徑的圓，P點(diǎn)在BC的延長(zhǎng)線上，如圖1所示，

此時(shí)AAPB的底邊BP=23C=2x8=16；

②B為等腰三角形頂點(diǎn)時(shí)，有BA=BP,

即以點(diǎn)B為圓心，為半徑的圓，P點(diǎn)在BC的延長(zhǎng)線上，如圖2所示,

圖2

止匕時(shí)"PB的底邊為AP,CP=BP-BC=10-8=2,

在Rt中,AP^^AC2+CP1=762+22=2A/10；

③尸為等腰三角形頂點(diǎn)時(shí)，有PA=PB,如圖3所示,

圖3

此時(shí)P點(diǎn)在線段A3的垂直平分線上，△APB的底邊為AB=10,

綜上所述，當(dāng),ABP為等腰三角形時(shí)，這個(gè)三角形的底邊的長(zhǎng)為16或2所或10.

故答案為：16或2J后或10.

17.（23-24八下.河南許昌禹州?期中）如圖直線y=-2x+7與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C、B,

3

與直線＞=交于點(diǎn)A.如果在y軸上存在一點(diǎn)P,使Q4P等腰三角形，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)

是;

【答案】（。,-呵或（0,響或（。，力或蟲。,6）

y——2x+7「g

、\x=2

【詳解】解：聯(lián)立3,解得：,

y=-x[y=3

點(diǎn)坐標(biāo)為（2,3）；

分類討論：①當(dāng)OP=OA時(shí)，如圖點(diǎn)片和點(diǎn)片.

???4（2,3）,

OP=OA=d*+乎=岳，

.*./]（0,-713）,月（0,后）；

②當(dāng)。P=AP時(shí)，如圖點(diǎn)鳥，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)Q.

設(shè)OP2=x,貝qQP2=3_X,AP2=x,

2

在RtAgQ中，AP^QP^+AQf

：.X2=（3-X）2+22,

解得：%=一13，

6

???小心

③當(dāng)OA=AP時(shí)，如圖點(diǎn)舄，

OP&=2OQ=6,

???《（0,6）.

綜上可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-屈）或（0,而）或［。,或舄（0,6）,

故答案為：（。，-屈）或（。，后）或［o，T］或4（°，6）?

直角三角形中的分類討論

18.（23-24八下?江蘇宿遷泗陽(yáng)縣?期中）若三角形的兩邊長(zhǎng)為4和5,要使其成為直角三角

形，則第三邊的長(zhǎng)為.

【答案】3或同/國(guó)或3

【詳解】解：當(dāng)較大的數(shù)5為斜邊時(shí)，第三邊=石=不=3，

當(dāng)?shù)谌厼樾边厱r(shí)，第三邊=,52+4?=屈,

故答案為：3或屈.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方,

那么這個(gè)三角形就是直角三角形，熟練掌握勾股定理的逆定理及分情況考慮是解題關(guān)鍵.

19.(23-24八下?江蘇蘇州蘇州工業(yè)園區(qū)?期中)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(-4,0),。為

坐標(biāo)原點(diǎn).若要使△043是直角三角形，則點(diǎn)8的坐標(biāo)不可能是()

A.(-4,2)B.(0,4)C.(4,2)D.(-2,2)

【答案】C

【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)8的坐標(biāo)不可能是(4,2),

A.點(diǎn)(-4,2)時(shí)，AKAO=9Q°,此項(xiàng)不符合題意；

B.點(diǎn)(0,4)時(shí)，NMOA=90。，此項(xiàng)不符合題意；

C.點(diǎn)(4,2)時(shí)，如圖，△OA2不是直角三角，符合題意；

D.點(diǎn)(-2⑵時(shí)，由勾股定理求得/Z=2近,OZ=20,故NO?=4乃+。不，即乙位。=90。，

此項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

20.(23-24八下?廣東廣州番禺區(qū)?期中)當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角a是另一個(gè)內(nèi)角夕的2倍時(shí)，

我們稱此三角形為“特征三角形”，其中a稱為“特征角”.若一個(gè)“特征三角形”恰好是直角三

角形，則這個(gè)“特征三角形”的“特征角”的度數(shù)為()

A.120°或90°B.120°或60°C.90°或60°D.90°或45°

【答案】C

【詳解】解：當(dāng)。為直角時(shí)，?=90°；

則￡=45。；

當(dāng)a為銳角時(shí)，依題意得，a+j3=90°,

a=2/3,

?**f3—~^ct,

a+—a=90°,

2

解得e=60。，

=90°或60°,

故選：C.

21.（23-24八下?湖北武漢洪山區(qū)?期中）如圖所示，為VABC的高，AE,9'為VABC的

角平分線，若NFBC=30。，ZC=40°.

⑴求ND4E的度數(shù)；

⑵若點(diǎn)M為線段BC上任意一點(diǎn)，當(dāng)△MFC為直角三角形時(shí)，直接寫出/打M的度數(shù).

【答案】⑴10°

（2）20°或60。

【詳解】（1）解：：即平分NABC,且NFBC=30。，

ZASC=2ZFBC=60。，

ABAC=180°-ZABC-NC=80°；

：AE平分一B4C,

.??ZCAE=-ZBAC=40°,

2

：.ZAED=ZC4E+ZC=80°；

,:ADJ.BC,

：.ZDAE=900-ZAED=10°；

k

(2)解：①如圖，當(dāng)/fMC=90。時(shí)，則NBWVf=90°-ZFBC=60°；

BADEMRC

②如圖，當(dāng)NMFC=90。時(shí)，

則NFMC=90°-ZC=50°,

NBFM=Z.FMC-Z.FBC=20°；

BDMEC

綜上，/在加的度數(shù)為20?；?0。.

22.(23-24八下?安徽合肥蜀山區(qū)?期中)如圖1,等腰三角形ABC中，AO是邊上的中

線，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E,^AD=DE,連結(jié)AE.

BDCEBDC￡B。(E

圖1圖2圖3

(1)求證：V4)E是等腰直角三角形.

(2)如圖2,過點(diǎn)8作AC的垂線交AE于點(diǎn)尸，試判斷A3尸的形狀，并說明理由.

(3)如圖3,在(2)的基礎(chǔ)上，AD=4,連結(jié)CP,若是直角三角形，求CE的長(zhǎng).

【答案】⑴見解析

(2)等腰三角形，理由見解析

Q

⑶2或§

【詳解】(1)證明：=是BC邊上的中線

:.AD±BC

ZADC=90°

又AD=DE

.??%W￡是等腰直角三角形；

(2)一ABP是等腰三角形，理由：

ZADC=90°

:.ZCAD+ZDCA=90°

BPLAC

:.ZPBE^ZDCA=90°

:.ZCAD=ZPBE

=AC,AD是5c邊上的中線

:.ZBAD=ZCAD

:.ZBAD=ZPBE

是等腰直角三角形

,\ZDAE=ZE=45°

:.ZBAD+ZDAE=ZPBE+ZE,ZBAP=ZBPA

:.BA=BP

/.ABP是等腰三角形；

(3)解：①當(dāng)/PCE=90。時(shí),

在△ABD和中

NBDA=NBCP

</BAD=ZPBC

AB=BP

/.AABD^ABPC(AAS)

:.BC=AD=4

設(shè)CE=x,貝！]CD=4-x,BD=4-x,BC=8-2x

8—2x=4,角軍得x=2f即CE=2；

②當(dāng)NCPE=90。時(shí)，

作P/FCE,同理可證一ABZ涇ABPF(AAS)

,\BF=AD=4

設(shè)EF=x,貝UCF—x,CD=4—2x,BD=4—2x,BC=8—4x,BF=8—3x

,4

8-3%=4,解得x=]

Q

:.CE=2x=-

3

綜上所述，CE的長(zhǎng)為2或g.

23.（23-24八下?四川內(nèi)江第六中學(xué).）如圖，AD為VABC的高，3E為VA2C的角平分線,

若NEBA=34°,ZAEB=71°.

A

(1)求NC4￡)的度數(shù)；

(2)若點(diǎn)歹為線段BC上任意一點(diǎn)，當(dāng)EFC為直角三角形時(shí)，求ZBEP的度數(shù).

【答案】(1)53。

(2)56?；?9。

【詳解】(1)解：為VABC的角平分線，

Z.ZCBE=ZEBA=34°,

,：ZAEB=ZCBE+ZC,

：.ZC=71°-34°=37°,

：AO為VA3C的高，

ZADC=90°,

：.ZCAD=90°-ZC=53°；

(2)解：當(dāng)ZEFC=90。時(shí)，如圖

貝（JZBEF=90°-Z.CBE=90°-34°=56°,

當(dāng)NFEC=90。時(shí)，如圖

A

則NBEC=180°-NEBC-ZC=180°-34°-37°=109°,

ZBEF=ZBEC-AFEC=109°-90°=19°.

所以ZBEF的度數(shù)為56°或19°

優(yōu)選提升題

1.（23-24八下.河北唐山遷安?期中）在VABC中，AB=AC,其中一個(gè)內(nèi)角度數(shù)是40。，點(diǎn)

D在直線邊上，連接A。，若為直角三角形，則—ADC的度數(shù)為

【答案】130°、90°或20。

【詳解】解：如圖1,在VABC中，AB=AC,若NB=NC=4O。,

點(diǎn)D在直線BC邊上，為直角三角形，且當(dāng)N&LD=90。

圖1

時(shí),

ZADC=ZB+ZBAD=40°+90°=130°；

如圖2,在VABC中，AB=AC,若ZB=NC=4O。,

點(diǎn)。在直線邊上，△ABD為直角三角形，且當(dāng)NADB=90。時(shí),

:.ZADC=90°；

圖2

如圖3,在VABC中，AB=AC,若/胡C=40。,

A

點(diǎn)。在直線邊上，△ABD為直角三角形，且當(dāng)/位）8=90。時(shí),

如圖4,在VABC中，AB=AC,若/朋C=40。,

點(diǎn)。在直線8C邊上，△ABD為直角三角形,

圖4

且當(dāng)N54T>=90。時(shí)，

:.ZB=ZACB