2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：圓周角定理綜合題典型題型

2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

圓周角定理綜合題典型題型

1.如圖1,是VABC的外接圓，A3為。。的直徑，過點(diǎn)C作。//AB,交。。于點(diǎn)，

點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，ZC￡A=ZG4D.

⑴求證：CE是0。的切線；

(2)如圖2,若NCE4=2ND43,04=4,求弧即的長(zhǎng).

2.如圖，VABC內(nèi)接于0。，相是0。的直徑，CE是0。的切線，。是0。上的一點(diǎn)，CELAD,

垂足為點(diǎn)E,A8與CD相交于點(diǎn)尸.

C

⑴求證：CO平分4CD；

⑵若A￡=4,AB=9,求AC的長(zhǎng).

3.如圖，A3是。。的直徑，點(diǎn)C為0。上一點(diǎn)，連結(jié)AC,BC,作/CAB的角平分線AD

交。。于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)E,連結(jié)交BC于點(diǎn)八

(1)求證：AC//OD-

⑵若DR=2,sinB=-,求跖的長(zhǎng).

4.如圖，AB是0。的直徑，點(diǎn)C是0。上一點(diǎn)，C尸為0。的切線，弦仞〃CP,。。的延

長(zhǎng)線交CP于點(diǎn)尸，連接AC,BC.

(1)求證：ZABD=2NBDC；

(2)若切＞=3P3=6,求A￡)的長(zhǎng).

5.如圖，VA2C內(nèi)接于O。A3是。。的直徑，連接"，點(diǎn)E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD是

。。的切線，連接網(wǎng)＞并延長(zhǎng)交A8于點(diǎn)尸，且CD=DE.

(1)求證：EF±AB；

(2)若tanB=GBE=6,BF=3AF,求AC的長(zhǎng).

6.如圖，點(diǎn)c在以A3為直徑的°。上，過點(diǎn)。作的垂線交AC于點(diǎn)交。。于點(diǎn)E,

交過點(diǎn)C的切線于點(diǎn)尸.

試卷第2頁，共6頁

A

⑴求證：DF=CF；

(2)若。。半徑為5,AC=3A/10,求的長(zhǎng)和tanF的值.

7.如圖，以VA2C的邊為直徑的0。交AC邊于點(diǎn)D.交BC邊于點(diǎn)E,連接如，AE相

交于點(diǎn)，連接C￡

(1)求證：^BAE+ZCBD=ZCAB；

(2)若3CE=-1BE,CF=5,求°。的半徑.

8.如圖，VABC中，AB=4&。為AB中點(diǎn)，ZBAC=ZBCD,cosZADC=?O>^ACD

(1)求即和2C的長(zhǎng)；

⑵利用尺規(guī)作圖，過點(diǎn)A作線段。垂線，交。于點(diǎn)E,保留作圖痕跡；

⑶求。。的半徑.

9.定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與另一個(gè)內(nèi)角的鄰補(bǔ)角的平分線相交所成的銳

角稱為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的“張望角”.

⑴如圖1,點(diǎn)。在BC的延長(zhǎng)線上，4是VABC中NA的“張望角”，求證：Z/=|zA；

(2)如圖2,VA5c內(nèi)接于。。，點(diǎn)。在2C的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在AC上，連接EA,EC,EA=EC,

連接班，點(diǎn)尸在AC上，AF=BF,連接質(zhì),連接CP并延長(zhǎng)交3E的延長(zhǎng)線于點(diǎn)/,求證:

4是NABC中ZBAC的“張望角”;

⑶如圖3,在(2)的條件下，若AC是0。的直徑，過點(diǎn)/作AC的垂線，點(diǎn)G為垂

足，IG交AF于點(diǎn)H,若切=5,BC=1,求卻的長(zhǎng).

10.小溢同學(xué)在復(fù)習(xí)圓中的垂徑定理時(shí)，進(jìn)行變式、探究與思考：如圖1,0。的直

徑CD垂直弦于點(diǎn)E,且CE=8,DE=2.

(1)復(fù)習(xí)回顧：求A3的長(zhǎng).

⑵探究拓展：如圖2,連接AC,點(diǎn)G是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AG,延長(zhǎng)CG交A5的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)尸.

①當(dāng)點(diǎn)G是8c的中點(diǎn)時(shí)，求證：ZG4F=ZF；

②如圖3,連接OF,BG,當(dāng)VCW為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出3G的長(zhǎng).

11.如圖，是O。的直徑，點(diǎn)。E均在O。上，皿。=2/亞加，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，

ZC=ZABD,連接BE.

試卷第4頁，共6頁

D

(1)求證：CE是。。的切線；

⑵若所=2,EF=4U,求。。半徑的長(zhǎng).

12.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于0。，AB為。。的直徑，點(diǎn)。為8。的中點(diǎn)，過。作。。

的切線，分別交神，釘?shù)难娱L(zhǎng)線于點(diǎn)E,F.

(1)求證：EFLAF；

(2)若點(diǎn)G為。。上一點(diǎn)且位于A8下方，cosZBGD=-,AD=4,求8E的長(zhǎng).

⑴求證：DE是。。的切線；

⑵若NC=30。，CD=12,求。。的直徑.

14.已知如圖，AB為。。的直徑；C為。。上一點(diǎn)，4OC=120。，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，連

接AD,交OC于點(diǎn)G,延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)E,連接BE,OD.

(1)求證：ZADO=ZCBE.

(2)若AB=4,求AG的長(zhǎng).

15.如圖，A8與0。相切于點(diǎn)5,A0交0。于點(diǎn)0,A。的延長(zhǎng)線交0。于點(diǎn)。，E是BCD

上不與5,。重合的點(diǎn)，ZA=30°.

⑴求即的大小；

(2)若點(diǎn)尸在A8的延長(zhǎng)線上，且AF=2AB,求證：時(shí)與。。相切.

試卷第6頁，共6頁

《2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)-圓周角定理綜合題典型題型》參考答

案

1.(1)證明見解析

⑵兀

【分析】(1)連接”，如圖所示，設(shè)=由平行線性質(zhì)、圓周

角定理及直徑所對(duì)的圓周角是直角得到相關(guān)角度關(guān)系，再等量代換即

可得到“CE=9O。，進(jìn)而得證；

(2)連接。。、即，如圖所示，設(shè)〃鉆=人由題意，結(jié)合等腰三角形

性質(zhì)、圓周角定理及平行線性質(zhì)求出相關(guān)角度，再由直徑所對(duì)的角是

直角，得到+=M=解得分=22.5。，進(jìn)而由圓周角定理求

出NBOD=2NBAD=2/3=45。,最后由弧長(zhǎng)公式代值求解即可得到答案.

【詳解】(1)證明：連接”，如圖所示：

ZCDA=ZDAB=a,

AC=AC,

■-ZABC=ZCDA=a,ZCOA=2ZCDA=2a,

???A5為0。的直徑，

ZACB=90°,貝lj在Rt^ABC中，ZCAB+ZB=ZCAD+2a=90°,

VZCEA=ZCAD,

答案第1頁，共30頁

ZCEA+2a=90°,貝lj在ACOE中，ZCEO+ZCOE=90°,gpZOCE=90°,

:.OCLCE,

???oc是。。的半徑，

是0。的切線；

(2)解：連接加、BD,如圖所示:

設(shè)NZM3=/7,貝UNCEA=2NZ)AB=2分,

:.ZCAD=ZCEA=2/3,

\'OA=OD,

,AADO=ADAB=/3

BD=BD,

:.ZDCB=ZDAB=/3,

??,CD//AB,

：.ZCBA=ZDCB=J3,

???DC=DC,

:.ADBC=ACAD=2/3,

:.4OBD=4OBC+/DBC=(3+2(3=3(3,

AB為。。的直徑，

ZADB=9Q°,貝ljZDAB+ZABD=邛=90°,

解得夕=22.5。，

/./BOD=2ZBAD=20=45°,

答案第2頁，共30頁

v0A=4,

:.l.=—x27tx4=7t

BD360

【點(diǎn)睛】本題考查圓綜合，涉及切線的判定、平行線性質(zhì)、圓周角定

理、等腰三角形的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，熟記圓的相關(guān)性質(zhì)是解決

問題的關(guān)鍵.

2.(1)見解析

(2)AC=6

【分析】本題考查切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，角平分線以及相

似三角形的判定和性質(zhì)，掌握切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，角平

分線以及相似三角形的判定和性質(zhì)是正確解答的關(guān)鍵.

(1)利用切線性質(zhì)和圓的半徑相等所帶來的等腰三角形性質(zhì)，通過

角度等量代換證明角平分線.進(jìn)行解答即可；

(2)通過證明AACESAABC,利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例來計(jì)算AC的

長(zhǎng)度.

【詳解】(1)證明：???CELAD,

.-.ZE=90°,

???CE是0。的切線，

:.ZOCE=90°,

:.ZOCE+ZE=180°,

:.OC//DE,

:.ZD=ZOCD,

\OB=OC,

答案第3頁，共30頁

:"B=NOCB=/D,

.\ZOCB=ZOCD,

.??CO平分4CQ；

(2)解：???峰是。。的直徑,

:.ZACB=90°.

???ZOCE=ZACO+ZACE=90°,ZACB=ZACO+ZOCB=90°,

.\ZACE=ZOCB,

?,-ZB=ZOCB,

:.ZACE=ZB

又丁ZACB=ZAEC=90°,

:.AACE^AABC,

.AEAC

'~AC~~AB'

AC2=AE-AB=4x9=36.

：.AC=6.

3.(1)證明見解析

(2)1

【分析】(1)先利用角平分線的定義得到NG4D=4S，根據(jù)等邊對(duì)等

角得出/胡。=〃，推得〃=/GW,根據(jù)平行線的判定方法得至I」結(jié)論；

(2)先根據(jù)圓周角定理得到ZAC3=90。，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得

ZACB=ZOFB=90°,根據(jù)垂徑定理得到CF=防，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定

義可求出8=5,求得O尸=3,AB=10,根據(jù)勾股定理求出防=4,即可

得出BC=8,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求出AC=6,根據(jù)相似三角形

答案第4頁，共30頁

的判定和性質(zhì)即可求出所的長(zhǎng).

【詳解】（1）證明：???A。平分/BAC,

/.ZCAD=ZBAD,

;OA=OD,

/.ZBAD=ZD,

：.ZD=ZCAD,

：.AC//OD；

(2)解：???AB是。。的直徑,

/.NAC6=90。，

*/AC//OD,

/.ZACB=ZOFB=90°,

：.CF=BF,

,.OF3

中,sinB==—,

OB5

又,:OB=OD,OF=OD-DF=OD-2,

.OD-23

OD~'5"

OD=5,

/.OF=3,AB=2OD=10,

在RtAOFB中，BF=y]OB2-OF2=^52-32=4，

：.BC=89

在RtA4BC中，sinB=——=—,

AB5

/.AC=6,

*/AC//OD,

答案第5頁，共30頁

??△ACE°°^J)FE,

?DFEF

**~AC~~CE9

EF=1,

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，等

邊對(duì)等角，平行線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，解直角三

角形，勾股定理等.熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)定理和相似三角形的判定與性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.(1)見解析

(2)8

【分析】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和

性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練利用上述性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)連接"，利用切線的性質(zhì)可得NOCP=90。，再證明

ZP=180°-ZADB=90%可得0c〃小，利用圓周角定理即可解答；

(2)證明/BCS'C，利用相似三角形的性質(zhì)求角度即可.

【詳解】(1)證明：如圖，連接”，

?「CP為。。的切線,

/.ZOCP=90°,

答案第6頁，共30頁

?A5是O。的直徑,

/.ZADB=9Q°.

*/AD//CP,

ZP=1800-ZADB=90°,

/.ZP+ZOCP=180°,

/.OC//DP,

ZABD=ZBOC.

*：ZBOC=2ZBDC,

/.ZABD=2ZBDC；

(2)解：VBD=3PB=6,

/.PD=S,PB=2,

NOCP=90。,

/.ZOCB+ZBCP=90°.

丁AB是。。的直徑，

，ZACS=90。，

ZOBC+ABAC=90°.

*/OB=OC,

/.ZOBC=ZOCB,

/.ZBAC=Z.BCP=ZBDC,

?.?ZP=ZP,

/.APBCS^PCD,

?PCPB

?*PD-PC?

答案第7頁，共30頁

PC=YPB-PD=4,

BC=y]PC2+PB2=2非,

ZACB=NP=90°,ABAC=ZBCP,

APBCS.CBA,

.PBBC

??BC-ABJ

AD=\lAB2-BD2=8.

5.(1)證明見解析

(2)273

［分析】本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，

圓周角定理的應(yīng)用，角的和差等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

(1)由CD是。。的切線，得到NOCD=90。，進(jìn)一步得到々+4=90。，即

可得出結(jié)論；

(2)由tanB=VL得到ZB=60。，進(jìn)一步得到NE=ZA=30。，再通過解直

角三角形即可求解.

【詳解】(1)證明：是。。的切線，

ZOCD=9Q°,

ZOCB+ZDCE=90°.

VOB=OC,CD=DE,

ZB=ZOCB,NE=ZDCE,

ZB+ZE=90°,

：.ZBFE=90°,BPEF±AB.

答案第8頁，共30頁

(2)解:tanB=73,

ZB=60°,

EFLAB,

ZBFE=90°,

丁AB是。。的直徑，

/.404=90°,

/.ZE=ZA=3Q°,

BE=6,

BF=-BE=3

2

BF=3AF,

AF=1,AB=AF+BF=4,

AC=ABsinB=2y/3.

6.(1)見解析

53

⑵tanF=-

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.也

考查了勾股定理、垂徑定理和圓周角定理.

(1)連結(jié)OC,先根據(jù)切線的性質(zhì)得到NOb=90。，再利用ZAOF=90。和

ZA=ZOC4得到NDCF=ZADO,然后根據(jù)對(duì)頂角相等得到NCDF=NDCF,

從而有結(jié)論；

(2)先根據(jù)圓周角定理得到48=90。，則利用勾股定理可計(jì)算出

2C=M,再證明AAODSAACB,利用相似比可求出。。=；,在口△無尸中，

設(shè)CF=x,則利用勾股定理得到52+/=聯(lián)+；解方程得到CP

答案第9頁，共30頁

的長(zhǎng)，然后根據(jù)正切的定義求解.

【詳解】（1）證明：連結(jié)OC,如圖

W為O。的切線，

/.OC1CF,

/.ZOCF=90°,

BPZOCA+ZDCF=90°,

OF±AB,

/.ZAOF=90°,

/.ZA+ZADO=90°9

*：OA=OC,

ZA=ZOCA,

ZDCF=ZADO,

*.*ZADO=ACDF,

/./CDF=/DCF,

DF=CF；

(2)解：?.?AB是O。的直徑

:.ZACB=90°=ZAOD

???。。半徑為5

AB=10

答案第10頁，共30頁

22

???在RtZWC中，BC=AB-AC=^102-（3A/10）2=M

ZA=ZA

在△AQD和AACB中ZAOD=ZACB

.△AOD^AACB

.OPAO

.0D_5

??回—3M，

CF-DF=x,貝UOb=OD+O77=g+x,

在RtAOCF中,0C2+CF2=OF2,

:.52+x2+,

解得x=g,

ACF=y,

OC53

.?.在RtZ\OCF中，tan=CF=20=4

T

7.⑴見解析

(2)5+|遙

【分析】(1)根據(jù)同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等可知可推出

ZCAE=ZCBD,然后根據(jù)N54E+N。場(chǎng)=NG4B即可證明結(jié)論；

(2)由直徑所對(duì)的圓周角為直角，ZADB=ZAEB=90。,設(shè)加=x,則

CD=|oF=|%,在段段￡)尸中利用勾股定理，即可求得X,不妨設(shè)CE=a,

BE=2a,接著禾lj用sinNC4E=sinNCBr>,得到隼=*=蕓，得到AC=/,

BF=ayl25-a2,接著利用防2+m2=臺(tái)廣，求得。，最后在RtAADB中利用

勾股定理求得”，最后得到半徑.

答案第11頁，共30頁

【詳解】（1）解：???NC4E和NC5。為劣弧QE所對(duì)的圓周角,

:"CAE=/CBD,

???ZBAE+ZCAE=ZCAB,

/.NBAE+NCBD=ZCAB.

（2）解：???的是。。的直徑,

..ZADB=ZAEB=90。，

.\ZCDF=90°,

設(shè)叱=x,則。/=]孫

在RtZ\CDF中，CF=5,

222

CD+DF=CF,艮|][1力+無2=52,

解得x=4,（負(fù)值已舍去），

33

.\DF=4,CD=-DF=-x4=39

?.,NCAE=/CBD,

sinZCAE=sinZCBD,

.CECDEF

CE=^BE,不妨設(shè)CE=a,BE=2a,

ZAEB=ZADB=90°,

EF=ylCF2-CE2=525一/，

a3yj25-a2

"AC"3a"BF-'

：.AC=a2,BF^asJ25-a2,

?:EF?+BE?=BF2,

（，25-a?/+（2?）2=（ad25—a2丫,

答案第12頁，共30頁

25-4+4Q2-Q?(25-4)，

不妨設(shè)/=x，

/.25-x+4x=x(25-x),

x=11±4^6,

a2=11±4A/6,

vAC>CD,AC=a2,

：,AC=a1=11+476(舍去11-4布)，

a=2\/2+\[?>,

AD=AC-CD=11+4A/6-3=8+4>/6,

BF=a125-a2=(272+旬)也5-11-4#=(2近+圾(26-6=3瓜+2,

BD=BF+Z)F=3A/6+2+4=3A/6+6,

AD2+BD2=AB2,

(8+4炳2+(376+6)2=AB2,

AB=10+5y/6,

，半徑為：5+g卡.

【點(diǎn)睛】本題考查了同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，勾股定理，解直

角三角形，算術(shù)平方根，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

8.(1)BD=2貶,BC=4

(2)見解析

⑶。。的半徑為"

【分析】本題主要考查圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直

角三角形等知識(shí)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

答案第13頁，共30頁

（1）證明△BACSABCD,即可得出答案；

（2）根據(jù)過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線傻即可；

（3）連接C。并延長(zhǎng)交0。于點(diǎn)尸，連接轉(zhuǎn),在RtAA匹中，求出AE,

設(shè)CD=x,則=CE=x-\,運(yùn)用勾股定理求出8=2,AC=242,

解直角三角形求出第=然即可得解.

【詳解】（1）解：VZBAC=ZBCD,ZB=ZB,

小BACsABCD,

.BC_BA

??茄―茄，

,:AB=4E,。為48中點(diǎn)，

BD=AD=2版,

.BC4近

??運(yùn)=正’

ABC=4（負(fù)值舍去）；

（2）解：如圖，AE即為所作:

（3）解：連接CO并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)尸，連接AF,

在RtAAED中，cosZCDA=—=—

AD4

答案第14頁，共30頁

?/AD=2^2,

/.DE=1,

AE=^AEr-DEr=41,

,/ABACS/CD,

生=絲=0.

CDBC'

設(shè)CZ)=x,貝(jAC=&x,CE=x-\,

在RUACE中，AC2-CE-=AE2,

解得，占=2,x2=-4(舍去),

/.CD=2,AC=20,

公FC和ZADC都是AC所對(duì)的圓周角，

/.ZAFC^ZADC,

,/cr為。。的直徑，

/.ZC4F=90°,

sinZAFC=—=sinZCDA=—=—,

CFAD4

:.CF2

7

o。的半徑為印

9.(1)見解析

(2)見解析

⑶*華

【分析】(1)根據(jù)題中“張望角”的定義和角平分線的定義得到

〃BC=^ZABC,ZICD=^ZACD,結(jié)合三角形的外角性質(zhì)可得結(jié)論；

答案第15頁，共30頁

(2)先根據(jù)圓周角定理和角平分線定義可得即平分/4BC,再根據(jù)圓

周角定理，結(jié)合圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可證明C/平分ZACD,進(jìn)而根據(jù)

“張望角”的定義可得結(jié)論；

(3)連接A/,EF,先證明當(dāng)ffiF(AAS)得到ZF=AF,進(jìn)而證明

△ACF四△由F(ASA)得至==5,過尸作而，如于在MD上截取

on

MN=CM,連接M,FN,證明AMWFSA麗g,求得班=0/=3,BF=y,

CI=3,過/作/KLa)于K,IK=BK=y,在Rt4CK中，由勾股定理求

得片進(jìn)而可求解.

【詳解】(1)證明：?.一是VABC中々的“張望角”，

BI,Q分別是-4BC,ZACD的平分線

ZIBC=-ZABC,ZICD=-ZACD

22

VZACD=ZA+ZABC,ZICD=//+ZIBC

ZZ=ZICD-ZIBC=-ZACD--ZABC=~(ZACD-ZABC}=-ZA

222''2

.-.ZZ=-ZA.

2，

(2)證明：?：EA=EC,

EA=EC,

:.ZABE=ZEBC9

即皿平分-4BC,

???AF=BF，

:.ZBAF=ZACF,

丁四邊形ABC廠內(nèi)接于。。,

.\ZBAF+ZBCF=1SO0,

答案第16頁，共30頁

???/FCD+/BCF=180。，

:.ZBAF=ZFCD,

.\ZACF=ZFCD,

即C7平分ZACD,

.?)是NABC中NBAC的“張望角”；

(3)解：連接山，EF,

?.?N/是NABC中NBAC的“張望角”,

ZBAC=2ZBIC,

,/ZBEC=ZBAC,

/.ZBEC=2/BIC,又NBEC=NBIC+NECF,

/.ZBIC=ZECF=ZEAF,艮|]/ETF=/FAF,

?.?EA=EC,

??EA=EC，

/.ZCAE=ZEFA,

四邊形ACFE內(nèi)接于00,

ZEFI=Z.CAE=Z.EFA,又EF=EF,

：.AAEFmMEF(AAS),

IF=AF,

丁AC是。。的直徑，IG±AC,

ZABC=ZAFC=ZHFI=ZAGH=90°,又ZAHG=ZIHF,

I.NGAH=ZHIF,即ZCAF=ZHIF,

“CF絲△田F(ASA),

答案第17頁，共30頁

/.CF=FH=5,

過尸作于在MD上截取肱V=CM,連接所，F(xiàn)N,則五M垂直

平分CN,

CF=FN=5,

/.ZFCM=ZFNM,

設(shè)ZECF=ABIC=a,貝|ZBFC=2a,

「以平分ZABC,ZABC=90°,

ZIBC=45°9

AFNM=Z.FCM=ZIBC+ZBIC=45°+cr,

/.ZCFM=ZNFM=45°-a9

：.ZBFN=2cr+2(45°-a)=90°,

ZFMN=ZBFN=9Q09又/FNM=ZBNF,

/.ANMFS處JFB,

.FN_MN_MF

??而一俞一赤’

7

設(shè)MN=CM=x,又Be、,

5_x

?*-Z+2x5,解得了=3(負(fù)值已舍去),

3

，MN=CM=3,

?*.FM=YIFN2-MN2=A/52-32=4,

由冷篝得則“年

?AF=BF,

/.BF=AF=IF="

3

答案第18頁，共30頁

2035

CI=CF+IF=5+—=—

33

過/作于K,則Rt/BK是等腰直角三角形,

/.IK=BK,

7

設(shè)IK=BK=y,則CK=A^_5C=y_1

在RtZJCK中，由/片+CK2=CL得/一J

解得y=?（負(fù)值已舍去），即BK=/K=?,

.，.BI=y/2BK=.

3

圖3

【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了角平分線的定義，圓周角定理,

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，弧與弦的關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)，全

等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形

的判定與性質(zhì)，解一元二次方程等知識(shí),涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，

熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

10.(1)8

(2)①見解析；②BG的長(zhǎng)為半或4括-20

【分析】(1)先求得。。的直徑為10,再利用垂徑定理求得=

在RCOAE中，利用勾股定理即可求解;

(2)①連接DG,由點(diǎn)G是8C的中點(diǎn)，推出NGA尸=/。，根據(jù)等角的

答案第19頁，共30頁

余角相等即可證明結(jié)論成立；

②分兩種情況討論，當(dāng)CF=CD=10和止=CD=1。時(shí)，證明AFGBs△網(wǎng)g

利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）解：連接以，如圖1,

;的直徑。垂直弦于點(diǎn)E,且CE=8,DE=2,

:.CD=CE+DE=10,AE=BE,

OA=OD=-CD=5,OE=OD-DE=3,

2

在RtZkOAE1中，AE=y/oA2-OE2=752-32=4,

AB=2AE=8；

(2)解：①證明：連接DG,如圖，

圖2

丁點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，

?*.BG=*G,

...ZGAF=ZD,

:0。的直徑CD垂直弦AB于點(diǎn)E,

NCGD=NCEF=90°,

答案第20頁，共30頁

/.ZF=90°-NDCG=ND,

ZGAF=ZF；

②當(dāng)CF=CD=10時(shí)，

RtACEF中,EF=^CF2-CE1=V1O2-82=6,

BF=EF—BE=2,

AE=4,CE=8,

AC=A/42+82=475,

ZFGB=180°-NBGC=ZFAC,

：.AFGBSAFAC,

.BGBFBG_2

??就=而，R即n礪=正

當(dāng)Db=C￡>=10時(shí),

圖3

在RtADEF中，EF=RDF。-DE?=V102-22=4底,

在RtACEF中，CF=^CE'+EF2=,+(4廚=4y/10,

BF=EF-BE=446-4,

同理△FG5SAR4C,

：.BA-里,即與=",

ACCF4A/54A/10

I.BG=4百-20.

答案第21頁，共30頁

綜上，BG的長(zhǎng)為W或4g-2五.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定

和性質(zhì)，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要

的條件.

11.⑴見解析

(2)y

【分析】本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的

判定定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解

此題的關(guān)鍵.

(1)連接。E,則/8OE=2/班巴結(jié)合題意得出=證明

△ABDSQCE,結(jié)合圓周角定理可得NOEC=403=90。，即可得證；

⑵連接皿證明△碎—得出黑嚏，器嚕，結(jié)合。3

得出=代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解.

【詳解】(1)證明：如圖：連接OE,則4。石=2/及圮，

NDAO=2NBDE,

ZDAO=ZBOE,

ZC=ZABD,

/.AABD^/JJCE,

/.ZADB=ZOEC,

答案第22頁，共30頁

:A3是。。的直徑，

/.ZOEC=ZADB=90°,

TOE是0。的半徑，

.??CE是0。的切線；

(2)解：如圖，連接班,

貝ljZA=ZBED,

;ZA=ZBOE,

：.ZBED=/BOE,

ZBEF=ZBOE,/EBF=/OBE,

/.^OBE^^EBF,

?EBOBOBEB

''BF~BE，0E~EF9

"：OB=OE,

EB=EF,

,:BF=2,EF=JTi,

.A/TT_OB

,,丁忑V

；.0B=,即°。半徑的長(zhǎng)為*

12.⑴見解析;

⑵成=1.

答案第23頁，共30頁

【分析】(1)連接。CAC,可得"AC=NG4E,然后根據(jù)等邊對(duì)等角證

明OC〃Ab,再由切線的性質(zhì)得到OCLEP，再由平行線的性質(zhì)即可求證;

(2)先由圓周角定理得到ZBGD=/BM),連接8D,則ZAT?=90。，解

RtA4D3中，AB=|AZ)=10,貝|OC=OB=；A2=5,證明/C0E=/&4D,解

S25

RSCOE中，求得OE=]OC=M，再由3E=OE-O3即可求解.

【詳解】(1)證明：連接",AC,

BC=CD，

.\ZFAC=ZCAE

?,-OA=OC,

.\ZCAE=ZACO,

:.ZFAC=ZACO,

:.OC//AF

???￡/切OO于C,

/.OC.LEF9

ZOCE=90°

:.ZF=ZOCE=90°,

:.EF±AF；

(2)解：???“GD、/歷⑦都是所對(duì)的圓周角,

:"BGD=/BAD

連接加，

答案第24頁，共30頁

?.,池是。。直徑,

:,ZADB=90°,

AD_2

,AB"5

AD=4,

/.AB=-AD=10,

2

?.OC=OB=-AB=5

2

??,點(diǎn)。是8。的中點(diǎn),

:,ZCOE=ZBAD

or2

在R3COE中，cosZCOE=—=-,

OE=-OC=—

22

2515

:.BE=OE-OB=——5

2~2

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理,

等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

13.(1)見解析

(2)43=8/

【分析】本題考查了切線的判定，三角形中位線定理,解直角三角形.

(1)由三角形中位線定理求得8〃AC,推出N￡DO=90。，據(jù)此可證明

DE是。。的切線；

答案第25頁，共30頁

(2)先求得AD的長(zhǎng)，再證明△OAD是等邊三角形，據(jù)此求解即可.

【詳解】(1)證明：連接

C

丁是直徑，

.?。是的中點(diǎn).

???。是BC的中點(diǎn),

：.OD//AC.

.?./AED+/EDO=180。.

*.*DEJ.AC,

ZAED=90°.

.?./EDO=90。,

石是。。的切線；

(2)解：連接AO,

???A5是。。的直徑,

:.ZADB=90°,

是直角三角形,

答案第26頁，共30頁

；ZC=30°fCD=12,

AD=CDtan30°.

...==

3

丁OD//AC,

.\ZC=ZODB=30°.

*/OB=OD,

.\ZB=ZODB=30°.

:.AAOD=60°.

*/OA=OD,

??△AO。是等邊三角形,

：.OA=OD=AD=46.

AB=8\/3?

14.（1）見解析

（2）當(dāng)

【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得4CL3C,再結(jié)合圓周角定

量得AC〃OD,再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得NC4D=WO,再由圓

周角