2025年九年級中考數(shù)學(xué)三輪沖刺練習(xí)：四邊形中的相似三角形壓軸題練習(xí)（含解析）

2025年九年級中考數(shù)學(xué)三輪沖刺練習(xí)四邊形中的相似三角形壓軸題練習(xí)

1.如圖，C為NA03的邊。4上一點，0c=6,N為邊上異于點。的一動點，尸是線

段CN上一點，過點尸分別作尸?！?4交于點0,PM〃0B交0A于點M.

(1)若NAOB=60°,0M=4,。。=1,求CP的長；(提示：過點尸作PE_L0A)

(2)當(dāng)點N在邊。2上運動時，四邊形0Mp。始終保持為菱形，

11

①證明：而一嬴是定值；

②設(shè)菱形0MPQ的面積為Si,△NOC的面積為S2,求磬的取值范圍.

2.如圖，在正方形ABC。中，點G是對角線上一點，CG的延長線交A2于點E,交D4的

延長線于點F連接AG.

(1)求證：AG=CG；

(2)求證：ZiAEGsG；

(3)若GE?GP=9,求AG的長.

3.如圖，在矩形ABC。中，AC為矩形ABC。對角線，OG_L4C于點G,延長。G的延長

線交A3于點E,已知AD=6,CD=8.

(1)求AE的長；

(2)NAC￡?的角平分線CP交于點凡求tan/DCP的值；

(3)若。1、02分別是△ADG、△OCG的內(nèi)心，求。1、。2兩點間的距離.

4.如圖1,折疊矩形紙片ABC。，具體操作：①點E為邊上一點(不與點A,。重合)，

把△ABE沿BE所在的直線折疊，A點的對稱點為尸點；②過點E對折NOER折痕EG

所在的直線交。C于點G,。點的對稱點為X點.

(1)求證：△ABE's△OEG.

(2)若AB=6,BC=10.

①點E在移動的過程中，求。G的最大值；

②如圖2,若點C恰在直線所上，連接求線段的長.

5.矩形ABCD的邊CD上有一動點E,連接AE,把△ADE沿著AE翻折，使點D落在邊

8C上的F點處(如圖).

I、AFEF

(1)求證：——=—?

CDCF

(2)若矩形ABC。的邊AO=5,AB=4,求OE的長.

E產(chǎn)EC

(3)若&AEF=SZ\ABF+S^CEF,試判斷一的值與一的值的大小關(guān)系，并證明你的判斷.

AF2AB

6.在矩形ABC。中，E為。C邊上一點，把△ADE沿AE翻折，使點。恰好落在BC邊上

的點?

(1)求證：△ABFsAFCE；

(2)若42=2g，4。=4,求EC的長；

(3)若AE-DE=2EC,記/54尸=。，AFAE—^>,求tana+tan0的值.

7.矩形42C。中，AB=8,4。=12,將矩形折疊，使點A落在點尸處，折痕為。E.

(1)如圖1,若點P恰好在邊BC上.

①求證：AEBPs^pCD；

②求AE的長；

(2)如圖2,若E是AB的中點，EP的延長線交BC于點R求2尸的長.

8.如圖，正方形A8C。的對角線AC、BD交于點、O,NC2D的平分線BG交AC于E,交

CD=^F,5.DGA.BG.

(1)求證：BF=2DG；

(2)若BE=陋,求8尸的長.

9.如圖，正方形ABC。的邊長為1.對角線AC、8。相交于點。，尸是BC延長線上的一

點，AP交BD于點E,交CD于點、H,0P交CD于點、F,且跖與AC平行.

(1)求證：EFLBD.

(2)求證：四邊形ACP。為平行四邊形.

(3)求。尸的長度.

10.根據(jù)相似多邊形的定義，我們把四個角分別相等，四條邊對應(yīng)成比例的兩個凸四邊形叫

做相似四邊形.相似四邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比.

(1)某同學(xué)在探究相似四邊形的判定時，得到如下三個命題，請判斷它們是否正確(直

接在橫線上填寫“真”或"假”).

①四條邊成比例的兩個凸四邊形相似；(命題)

②三個角分別相等的兩個凸四邊形相似；(命題)

③兩個大小不同的正方形相似.(命題)

(2)如圖1,在四邊形A8CD和四邊形481C1O1中，ZABC=ZA1B1C1,ZBCD=Z

ABBCCD

B1C1D1,----=——=-----.求證：四邊形ABC。與四邊形A121C1D1相似.

A1B1BiJC1D1

(3)如圖2,四邊形ABC。中，AB//CD,AC與8。相交于點。，過點。作斯〃分

別交AD,BC于點、E,尸.記四邊形的面積為Si,四邊形EPC。的面積為S2,若

四邊形ABFE與四邊形EFCD相似，求善的值.

11.如圖，平行四邊形A8C。中，點P為延長線上點，連接。尸交AC于點M、交A8

于點N,已知ZM=OC,ZACD=45°.

(1)求證：四邊形ABC。為正方形；

(2)連接若N為AB的中點，求tan/3Mp的值；

(3)若MN=2,PN=6,求。M的長.

12.如圖，邊長為1的正方形的對角線AC、2D相交于點。有直角NMPN,使直

角頂點尸與點。重合，直角邊RW、PN分別與04、重合，然后逆時針旋轉(zhuǎn)NMPN,

旋轉(zhuǎn)角為。(0°<0<90°),PM、PN分別交A3、BC于E、歹兩點，連接E尸交02于

點G.

(1)求四邊形尸的面積；

(2)求證：OG'BD^EF2；

(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)ABE尸與△COP的面積之和最大時，求AE的長.

13.如圖，在菱形ABCD和菱形BEPG中，點A、B、E在同一直線上，G在8C上移動，P

是線段。產(chǎn)的中點，連接尸G,PC.

(1)求的大??；

(2)證明：DB//PG-,

(3)若/8斯=60°,求尸G：PC的值.

14.已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD(AD>AB),將紙片折疊一次，使點A與點C

重合，再展開，折痕所交4。邊于點E,交8C邊于點R分別連接AF和CE；過點E

作EG_LA。交AC于點G.

(1)求證：四邊形AFCE是菱形；

(2)求證：2AF2=AC?AG；

(3)若AE=a,在AAB尸中，AB>BF,AAB尸的面積為b,且6=瑞，求tan/OEG.

15.在團(tuán)ABC。中，AC為對角線，點G在AB的延長線上，連接CG,點歹在CG上，線段

AF交BC于點E,若剛=PC,如圖1.

(1)已知/CAO=/G,求證：AC2=CE-BC；

(2)如圖2,已知A凡LBC,垂足為點E.

①若/GCB=/D4C,求證：AE=FE；

②若AB=遙,AD=4,tanZABC=2,求8G的長.

ADAD

Si圖2

16.在矩形ABC。中，點E在AB邊上，CE=CD,過點2作8尸〃CE交。E的延長線于點

F,連接AF.

(1)如圖1,求證：AAFB絲ACBE；

(2)如圖2,連接BD交CE于點G,若CG=BF.

(z)求證：AF//DG；

AF

⑴求防的值.

17.如圖，在菱形A8CD中，AB=6,/B=60：點、E,尸分別是AB,AD上的動點，滿

足連接CE,CF,EF,EF與AC交于點G.

(1)求NECF的度數(shù)；

(2)填空：

^AFAE

+—=,

CDAC--------

AFFG

CDEC

(3)記aAEG的面積為Si,ZVI/G的面積為S2,△AEC的面積為S3,△AR?的面積為

S4.

①若CF2=3AF?FD,求包的值；

②試判斷心+f的值是否存在最小值？若存在，求出這個值；若不存在，請說明理由.

FD

18.在四邊形ABC。中，點E為的中點，分別連接CE,DE.

(1)如圖1,若NADE=/BEC.

(i)求證：AE2=AD*BC；

(n)求證：OE平分NAOC；

(2)如圖2,若NZMB+NB=90°，/DEC=90°,A￡)=3,BC=1,求CD的長.

E

圖2

19.某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動中，對多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究：

(1)如1,在正方形A2CD中，E,尸分別是A3、上兩點，連接DE,CF,若AE=

DF,求證：AAED絲ADFC；

(2)在(1)的條件下，求證：DE1CF；

(3)如圖2,在矩形ABCD中，過點C作CE_L8O交AD于點E,^tan^DCE=求

rp

77?的值；

BD

（4）如圖3,在四邊形ABC。中，NA=NB=90°,E為AB上一點,連接。E,過點C

作。E的垂線交瓦）的延長線于點G,交AO的延長線于況且AB=5,AD=3,CP=6,

求。E的長.

圖1圖2圖3

參考答案

1.【解答】解：（1）如圖1,過點尸作尸￡，。4于點E.

'."PQ//OA,PM//OB,

，四邊形OMPQ為平行四邊形，

；.PM=O0=1,NPME=NAOB=60°,

：.PE=PM-sin60°=芋ME=當(dāng)

3

???CE=OC-OM-ME=p

由勾股定理得CP=y/PE2+EC2=V3；

(2)①證明：設(shè)。ON=y,

???四邊形OMP。為菱形，

OQ=QP=OM=x,NQ=y-x,

'JPQ//OA,

:.ANQPs^NOC,

.QPNQ

oc~ON'

111

6y-6x=xy,兩邊都除以6xy得——一二一,

fxy6

1

6

②如圖2,過點尸作尸石，。4于點區(qū)過點N作即，。4于點R

1

則Si=OM?PE,S2=^OC*NF,

.S]x-PE

**S2-3NF'

,:PM〃OB,

：.ACPM^ACNO.

.PEPMCM6-x

??NF~NO~CO~6

.,0<x<6,

??0〈江<5.

/本/；

)ME

2.【解答】⑴證明：。是正方形ABC。的對角線,

；./ADB=NCDB=45°,

:四邊形ABC。是正方形，

：.AD=CDf

在△AOG和△COG中,

AD=CD

Z.ADG=Z-CDG

DG=DG

???△AOG也△COG(SAS),

：.AG=CG；

(2)證明：???四邊形ABC。是正方形，

:?AD〃CB,

：.ZFCB=ZF,

由(1)可知△A0G之△CDG,

；?/DAG=/DCG,

：.ZDAB-ZDAG=ZDCB-ZDCG,即ZBCF=ZBAGf

：.ZEAG=ZF,

又NEG4=NAGR

???AAEG^AFAG；

(3)解：由(2)得AAEGs△必G,

GEGA°

???一=—,n即GA2=GE?G尸=9,

AGFG

???G4=3或GA=-3(舍去)，

故AG的長為3.

3?【解答】解：(1)??,四邊形A5CD是矩形，

：.ZB=BAD=90°,AB=CD=8,AD=BC=6,

.*.ZDAG+ZBAC=90°,

VZ)G±AC,

：.ZDAG+ZADE=90°,

：.ZBAC=/ADE,

tanZBAC=tanZADE,

BCAE幡6AE

—=--,即：—二—,

ABAD86

?\AE=2；

(2)如圖1,過點尸作尸AC于點〃，

?.?。/平分/47。，F(xiàn)DLCD,FHLCA,

：?FD=FH,

VZAZ)C=90°,

：.AC=y/AD2+CD2=V62+82=10,

SAACF+SADCF=SAACD,

：.^AC'FH+^CD'FD=^AD-CD,

圖1

111

A-X10XFD+4X8XFD=5X6X8,

222

..FD=3，

FDo1

tanZDCF=歷=普=于

(3)過點Oi作OWLAC于點N,過點。2作SMLAC于點作OiK,02M于點K,

則N01NMK是矩形，

VZ)G-AC=AZ)*CZ),

.AD-CD6x824

9

4尸24418

???AG=Z)G?tanNAOE=Z)Gx卷=寺x看=菅，

-1ODO

CG=AC-AG=10-號=菅，

???01、。2分別是RtZVIOG、Rt^OCG的內(nèi)心，設(shè)。01的半徑為r1,。。2的半徑為⑵

1R742224c

.AG+DG-AD號+虧一66CG+DG-CD丁+號-88

"n~22~5'2-2一5'?

862B?

6814-----

：?01K=MN=ri+n=耳+E=-g-,OiK—n-n555

：/OIKO2=90°,E

：.O\Oi=J。/+02K2=J(野+(|)2=2叵

FD

圖2

4.【解答】解：(1)如圖1中，

由折疊可知，ZAEB=ZFEB,/DEG=NHEG,A

"：ZAEB+ZFEB+ZDEG+ZHEG=180°,

ZAEB+ZDEG^90°,

:四邊形ABC。是矩形，

/A=ZD=ZAEB+ZABE^90°,

NABE=ZDEG,B

：.△ABES/VDEG.

(2)①設(shè)AE=x,

AABEs^DEG,

AEAB

???_—_，

DGDE

xx6

?,DG~DG~10-x，

.-.￡)G=%(1°~X)=-1(x-5)2+磊

1

、＜0(0X10),

；.x=5時，￡>G有最大值，最大值為二.

6

②如圖2中，連接

由折疊可知NAEB=NFEB,AE=EF,AB=BF=6,ZBFE=ZA=90°,

9：AD//BC,

：.NAEB=NEBC,

：.ZFEB=NEBC,

：.CE=CB=10,

???點C在直線所上，

：.ZBFC=90°,CF=W-EF=10-AE,

：.CF=VBC2-BF2=V102-62=8,

：.AE=EF=CE-CF=10-8=2,

.x(10-x)_2x(10-2)_8

??DCj=g=6=3?

：.EG=y/DE2+DG2=J82+(1)2=5^2,

由折疊可知，EG垂直平分線段OH,

DE-DG8x1

：.DH=2x—±=1Vio.

EG

5.【解答】(1)證明：???△ADE沿著AE翻折，使點。落在邊3C上的尸點處,

AAED^AAFE,

：.ZCFE+ZBFA=90°,

ZAFE=ZD=90°,

在矩形A5CD中，ZB=ZC=90°,

：.ZBFA+ZBAF=90°,

：.ZCFE=ZBAF,

：.AABF^AFCE,

.AF_AB

??—,

EFCF

'：AB=CD,

.AFEF

；

「CD-CF

(2)解：設(shè)&)=%,

VCZ)=AB=4,

CE=4-x,FE=x,

X".'AF=AD=5,AB1+BF1=AF1,

：.BF=yjAF2-AB2=7s2—42=3,

:.CF=5-3=2,

VCF2+CE1=EF2,

22+(4-x)2=/,

??X—7T，

：.DE=5；

(3)答：相等.

證明：,?*S/^AEF=SAABF+SAEFC,

5aA￡F=

?,0梯形CEAB'

111

過尸作AB的平行線交AE于G,則一FG-BC=-x-(AB+CE)BC,

222

1

AFG=1(AB+CE),

過E作即_LAB于H,交FG于M.

'：FG//AB//CE,

i

:?FM=《(BH+CE),

FM+GM=](BH+AH+CE),

GM=|AH,

AG,歹分別為AE、2C中點.

在RtZXABP中，BF=*BC=%F.

：.ZBAF^3Q°,

ZBAF^ZCFE^ZEAF^3Q°,

,：/ABF=NAFE=ZFC￡=90°,

：.LABFs/\AEF,/\AFE^AFCE,

.AFAEEFCE

"AB—AF'AF—EF'

：.AF2=AEAB,EF2=AECE,

.EF2AECE

"AF2-AE-AB'

.EF2CE

AF2—AB'

6.【解答】(1)證明：?.?四邊形ABC。是矩形，

.?./B=NC=NO=90°,

由翻折可知，ZD=ZAFE=90°,

：.ZAFB+ZEFC^90°,ZEFC+ZCEF^9Q°,

NAFB=NFEC,

：.△ABFsAFCE.

(2)設(shè)EC=x,

由翻折可知，AD=A尸=4,

：.BF=<AF2-AB2="16—12=2,

:.CF=BC-BF=2,

'：△ABFs—CE,

.ABBF

??=,

CFEC

2遮2

2x

"竽，

?巾—遺

??口L—3,

(3)VAABF^AFCE,

.AF_AB

?EF~CF

.，BFEFBF,CFBF+CFBC

?tana+tano0=詼+而=通+通=^-=麗'

設(shè)AB=CZ)=a,BC=AD=bfDE=x,

AE=DE+2CE=x+2(a-x)=2a-x,

'：AD=AF=b,DE=EF=x,ZB=ZC=ZD=90°,

:?BF=Vb2—a2,CF=-Jx2—(a—x)2=V2ax—a2,

VAD2+DE2=AE2,

，廬+/=(2〃-x)2,

??ci-ax—4b，

AABF^AFCE,

.ABBF

CF-EC

.ay/b2-a2

7x2-(a-x)2a-x

a1-ax—Vh2—a2,V2ax—a2,

.".-Z?2=V/72—a2*Ja2—^b2,

整理得，16/-2442b2+?4=0,

???(4/-3戶)2=0,

.b2V3

??—―,

a3

??.tana+ta蚌器=竽.

7.【解答】解：(1)①???四邊形A3CD是矩形,

ZB=ZC=ZBAD=90°,

:./BPE+/BEP=9b。,

由折疊知，ZDPE=ZBAD=90°,

：.ZBPE+ZCPD=90°,

：.ZBEP=ZCPD,

VZB=ZC=90°,

:?△EBPS&PCD；

②,??四邊形ABCD是矩形，

：.ZB=ZC=90°,CD=AB=S,BC=AD=12,

由折疊知，PE=AE,DP=AD=12,

在RtADPC中，CP=<DP2-CD2=4V5,

:.BP=BC-CP=12-4V5,

在RtZXPBE中，PE1-BE2=BP2,

J.AE2-(8-A￡)2=(12-4V5)2,

；.AE=18-6V5；

(2)如圖，過點P作G8〃BC交AB于G,交,CD于H.

則四邊形AGEffi)是矩形，

設(shè)EG=x,則2G=4-尤，

VZA=ZEPD=90°,NEGP=NDHP=90°,

:.NEPG+/DPH=9Q°,/DPH+/PDH=90°,

:.NEPG=/PDH,

:.△EGPs/\PHD,

.EGPGEP41

"PH—DH―PO—12―3’

:.PH=3EG=3x,DH=AG=4+尤，

在RtZkPHD中，PH1+DH1=PD1,

：.(3尤)2+(4+x)2=122,

解得戶學(xué)(負(fù)值已經(jīng)舍棄)，

：164

.BG=4-了=百'

在RtAEGP中，GP=y/EP2-EG2=菅，

■:GH//BC,

:?△EGPsAEBF,

.EGGP

??—,

EBBF

1612

???工_—三,

4BF

:.BF=3.

8.【解答】(1)證明：延長。G、5C交于點H,

?:BG平分NCBD,

.'.Z1=Z2,

VDGXBG,

：.ZBGD=ZBGH=90°,

又,：BG=BG,

:?ABGD義ABGH(ASA),

:.BD=BH,

:?DH=2DG,

???四邊形A5CD是正方形，

:?BC=DC,ZBCF=ZDCH=90°,

又?：/BGD=9b°,N3=N4,

???N2=N5,

:?△BCF"ADCH(A5A),

；.BF=DH,

：.BF=2DG；

(2)??,四邊形ABC。是正方形,

ZACB=ZBDC=45°,

；.NBCE=NBDF,

又???N1=N2,

:?△BECS^BFD,

tBEBCBC_1

??BF-BD_y[2BC~V2?

?；BE=V3,

：.BF=V6.

9.【解答】(1)證明：???四邊形ABC。是正方形,

：.AC±BD,

U：EF//AC,

：.EF±BD；

(2)證明：

'JEF//AC,

.PEEFDEEF

PA~OADO~OC

??,四邊形ABC。是正方形，

：.AD//CPf04=OC,

PEDE

PA~DO'

PEDE

即--=---，

AEOE

J.AO//DP,

9：AD//CP,

???四邊形ACPD為平行四邊形；

(3)解：由勾股定理得：AC=BD=Vl2+I2=V2,

???四邊形ACPD為平行四邊形，

：.CP=AD=BCf

AD1

PB~2

AD//BP,

DEAD1

BE~BP~2

：.DE=』BD=孝，0E=OD-DE=孝-孝=青

9：D0=^BD=:，

'：ZDEF=ZDOC=90°-ZEDF=45°,

：.ZDFE=^5°,

：.EF=DE=等

在RtAOEF中,由勾股定理得：0F=V0￡2+EF2=J(^)2+(導(dǎo)尸=孚.

10?【解答】(1)解：①四條邊成比例的兩個凸四邊形相似，是假命題,角不一定相等.

②三個角分別相等的兩個凸四邊形相似，是假命題,邊不一定成比例.

③兩個大小不同的正方形相似.是真命題.

故答案為假，假，真.

(2)證明：如圖1中,連接8。，BiDi.

BCCD

ZBCD^ZBiCiDi,且?

BiGC1D1

△BCD^ABiCiDi,

NCDB=/C\DTBI,ZCiBiDi=ZCBD,

ABBCCD

口1。1

BDAB

ArBr圖1

ZABC=ZA1B1C1,

ZABD=ZAiBiDi,

ADAB

-------,ZA=ZAi,ZADB=ZAiDiBi,

ABBCCDAD

-------=---------=---------,ZADC=ZAiDiCi,ZA=ZAi,ZABC=ZA1B1C1,

A-yB-yB]C\------------------A-yD-y

ZBCD=ZBiCiDif

：.四邊形ABC。與四邊形4B1C1O1相似.

(3)如圖2中，

'/四邊形AB7方與四邊形EFCD相似.

.空EF

"AE~AB"

?;EF=OE+OF,

.DEOE+OF

"AE-AB'

'：EF//AB//CD,

.DEOEDEOCOF

99AD~AB"AD~AC~AB"

.DEDEOEOF

AD+AD~AB+AB"

.2DEEFDE

**AD~AB~AE

'：AD=DE+AE,

.21

99DE+AE~AE

：.2AE=DE+AEf

：.AE=DE,

：.四邊形ABT方與四邊形EFCD相似比為1

11.【解答】(1)證明：?.,四邊形A8CD是平行四邊形，DA=DC,

四邊形ABC。是菱形，

,;DA=DC,

：.ZACD^ZCAD=45°,

AZADC=90°,

四邊形ABC。為正方形；

(2)解：作3E_LP￡>,如圖所示：

則/,

設(shè)正方形ABC。的邊長為a,

:四邊形ABC。是正方形，

：.AD//BC,AB//CD,AB^AD^a,/PBN=/DAB=/BCD=90°,

■:N為AB的中點，

:.AN=BN=1AB=),

2PBN=乙DAB

在△BPN和4人/中，<BN=AN，

，BNP=乙AND

:?△BPN"AADN(ASA),

:.BP=AD=a,PN=DN='AD?+AN2=Ja2+(1a)2=^a,PC=BP+BC=2a,

:.PD=2DN=小a,

'：AD//BC,

：.AADMsACPM,

#DMAD1

"PM~PC~2

：.PM=|尸。=竽a,

?；/PEB=NPCD=9Q°,/P=NP,

：./\PBE^/\PDC,

.BEPEPBBEPEa

,,CD—PC—PD'*a-2a-逐a'

解得：BE=^-a,PE=Wa,

.EM=PM-PE=

t^nXBMP==4；

(3)解：MN=2,PN=6,

.'.MP=8,

'：AB//CD,

：.AM：MC=MN：MD,

'JAD//BC,

B

：.AM：MC=DM：MP,

：.MN：MD=DM：MP,

：.MD2=MN9MP=2X8=16,

：.MD=4.

12.【解答】解：(1)??,四邊形ABC。是正方形，

：?OB=OC,ZOBE=ZOCF=45°,ZBOC=90°,

AZBOF+ZCOF=9Q°,

VZEOF=90°,

ZBOF+ZCOE=90°,

ZBOE=ZCOF,

在△80S和△CO尸中，

NBOE=乙COF

OB=0C，

/OBE=(OCF

???△BOEmACOF(ASA),

:.S四邊形。砂尸正方形ABCZ)=xlX1=

(2)證明：?；/EOG=NBOE,NOEG=NOBE=45°,

.??△OEGS^OBE,

：.OE：OB=OG：OE,

OG?OB=OR

VOB=^BD,OE=*EF,

：.OG?BD=EF^

(3)如圖，過點。作

：BC=1,

11

OH=^BC=

設(shè)AE=x,則BE=CF=1-x,BF=x,

1iiiii1o9

:?SABEF+S/\COF=耳BE?BF+fCF?OH=7yx(1-x)+不(1-x)x=-77(x—彳)2+

LZZLZZ4DZ

1

,**〃=—2VO，

1

當(dāng)x=五時，S4BEF+SKOF最大；

1

即在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)ABE尸與△COF的面積之和最大時，AE=i

13.【解答】解：(1)在菱形ABC。和菱形2EFG中，

11

ZDBC=專/ABC,ZFBG=*/EBG,

VZABC+ZEBG=180°,

；.NDBF=/DBC+/FBG=90°；

(2)如圖，

延長GP交DC于點、H,

???尸是線段。尸的中點，

:?FP=DP,

由題意可知OC〃GR

：.ZGFP=ZHDP,

?：/GPF=/HPD,

:.AGFP名AHDP(ASA),

:?GP=HP,GF=HD,

???四邊形ABC。是菱形，

:?CD=CB,

：.CG=CH,

CHCD

???—_—_ii,

CGCB

?:/HCG=/DCB,

AACHG^ACDB,

：.ZCGP=ZCBD,

：.DB//PG；

(3)VCG=CH,

???△CHG是等腰三角形，

.-.PG±PC,(三線合一)

又?：NABC=/BEF=60°,

1

：.ZGCP=^BCD=60°,

???絲=w.

PC

14.【解答】（1）證明：當(dāng)頂點A與。重合時，折痕所垂直平分AC,

：.OA=OC,ZAOE=ZCOF=9Q°

???在矩形ABC。中，AD//BC,

：./EAO=NFCO,

在△AOE與△COF中，

AAOE=乙COF

OA=OC,

^EAO=(FCO

：.AAOE^△COFCASA),

：.OE=OF,

???四邊形A尸CE是菱形.

(2)證明：9：EGLAD

：.ZAEG=90°,

VZAOE=90°,

???ZAEG=ZAOE,

,?NEAO=NEAG,

：.AAOE^AAEG,

.AEAO

??二r

AGAE

：.AE2=AO-AG,即2AF2=AC-AG；

(3)解：：四邊形AFCE是菱形，

'.AF—AE—a,

在RtZkABb中，AB2+BF2=AF2,

：.AB2+BF1=a2,

：.(AB+BF)2-2AB^BF=a2@,

,?.△AB尸的面積為4

1

：.-AB?BF=b,

2

???A5?3尸=2Z?②，

由①、②得：(A3+B/)2=〃2+44

'：AB+BF>0,

.\AB+BF==曲+4b=〃，

7

設(shè)。E=x,則CD=(-a-x\貝1J

176a2

-x(-4-x)=b=

2525

解得％1=部X2=(舍去)，

4

CD=可〃，

VZEAG+ZEGA=ZOEG+ZEGA=90°,

???/EAG=/OEG,

CD卷a1

「?tanNOEGutanN_EAG=7齊=—0-=可.

ADa+^a2

15?【解答】(1)證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，

ZABC=ZD,AD//BC,

：.ZCAD=ZACB,

'：ZCAD=ZG,

：.NACB=NG,

VZABC=ZCh-ZBCG,NACG=NACB+NBCG,

：.ZABC=ZACGf

VM=FC,

ZCAF=ZACG,

：.ZABC=ZCAFf

'：NACB=NECA,

：.AACB^AECA,

.ACBC

??—,

ECAC

：.Ad=CE^BC；

(2)①證明：u：ZGCB=ZDAC,由(1)得NCAO=NAC3,

：.ZGCB=ZACB,

VAFXBC,

：.ZFEC=ZAEC=90°,

?；CE=CE,

：.AFEC^AAEC(ASA),

：.AE=FE；

②解：過點尸作尸AC于點H,延長AD與GC的延長線交于點K,如下圖所示：

???四邊形ABCD為平行四邊形，

：.AB=CD=V5,BC=AD=4,AB//CD,BC//AD,

AFAD”

XVAEXBC,在RtaABE中，tan^ABC=輕=2,7:二二

.,.AE—2BE,

由勾股定理得AE2+B￡2=AB2,

即(2BE)2+8產(chǎn)=(遮)2,G

；.BE=1,圖2

:.AE=2BE=2,

:.CE=BC-BE=3,

在RtZ\ACE中，由勾股定理得力C=7AE2+CE2=V13,

"JFA^FC,FHLAC,

：.AH=CH=孚，

11

VSAFi4C=專AC-FH=^AF-CE,

??F"k=7n'

在RtAAF/7中，由勾股定理得AF2-FH2=AH2,

即叱一尊2,

：.AF=(負(fù)值舍去)，

：.FE=AF-AE=^,

CE//AK,

丁?△CEFs△必尸，

.EFCE

??二,

AFAK

5

.工—二

**—-AK

4

39

：.AK=

E'

?:CD"NG,

:AKDCsAKAG,

.KDCD

??二,

AKAG

39ar-

T-4V5

--AG

4

.,_3975

??A4rG-23，

.BG=AG-AB=^^.

16.【解答】(1)證明：???四邊形ABC。是矩形,

：.AB//CD,AB=CDf

：.ZCDE=ZBEF,

,:BF〃CE,

：.ZCED=ZBFE,NABF=/CEB,

?：CE=CD,

；?/CDE=NCED,AB=CE,

：.ZBEF=NBFE,

：?BF=BE,

在AA尸3和△CBE1中，

FB=BE

乙ABF=乙CEB,

AB=CE

：.AAFB^ACBE(SAS)；

(2)(z)證明：連接GR如圖2,

*；CG=BF,CG//BF,

???四邊形BCGF為平行四邊形，

:?GF=BC,GF//BC,

???四邊形A5CD是矩形，

：.AD=BC,AD//BC,

：.AD=GF,AD//GF,

圖2

???四邊形ADG廠為平行四邊形，

：.AF//DG；

(防)解：?;BF=BE,CG=BF,

：.CG=BF=BE,

'：AB=CE,

；?EG=AE,

設(shè)CG=BF=BE=y,EG=AE=x,貝UAB=x+y,

■:AF//DG,

:?NBAF=NEBG,

又,:NABF=NBEG,

：.△ABFs^BEG,

?ABBF

??二,

BEEG

即日d—+y=一y,

yx

解得％=與1丫,

又TA尸〃。3,

LAFEsABDE,

tAFAExV5-1

,,DB~BE~y~2*

17.【解答】解：(1)在菱形ABC。中，'：AB=BC=CD=AD,且N5=NZ)=60°

.,.△ABC,△ADC都是等邊三角形，

：.AC=CD,ZCAE=60°=ZD=ZACD.

'：AE=DF,

：.AAEC^ADFC(SAS),

ZACE=ZDCF,

：.ZECF=60°；

(2)由(1)AABC,△ADC都是等邊三角形，

：.AB=AC=ADf

?；AE=DE,

^AFAEAFDFAD

①+=+==1,

CDACACACAC

②由(1)知△AEC之△￡＞尸C,

：.CE=CF,

u：ZECF=60°,

???△CE/是等邊三角形，

：.ZCFE=60°=ZCAF,

■:NFCG=NACF,

.,.△CFG^ACAF,

.AF_AC

??—,

FGCF

?■.竺二出,

ACCF

'：AC=CD,CF=CE,

AFFG

??一，

CDCE

AFFG

———=0；

CDEC

③?.?NEAG=NCFG=60°,NAGE=NCGF,

：.AAGE^AFGC,

AGFG

—,

AECF

AGEG

同理,

AF~CE'

AGAGFGEGEF

--+=