中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《探索規(guī)律題》專項(xiàng)檢測卷(附答案)

第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《探索規(guī)律題》專項(xiàng)檢測卷(附答案)學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________1．【發(fā)現(xiàn)】①；②；③；④；……根據(jù)上述等式反映的規(guī)律，請?jiān)賹懗鲆粋€等式：___________．【歸納】等式①，②，③，④所反映的規(guī)律，可歸納為一個真命題：對于任意兩個有理數(shù)，，若_____，則；反之也成立．【應(yīng)用】根據(jù)上述所歸納的真命題，解決下列問題：若與的值互為相反數(shù)，求的值．2．綜合與實(shí)踐問題情境：活動課上，同學(xué)們以等腰三角形為背景展開有關(guān)圖形旋轉(zhuǎn)的探究活動．如圖1，在中，，．將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到（點(diǎn)，分別是點(diǎn)，的對應(yīng)點(diǎn)），旋轉(zhuǎn)角為．設(shè)與相交于點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)，．【特殊位置】（1）如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到時，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)等于旋轉(zhuǎn)角，都為________度．【探究規(guī)律】（2）如圖2，在繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)過程中，同學(xué)發(fā)現(xiàn)始終與旋轉(zhuǎn)角相等，請證明這一結(jié)論．【拓展延伸】（3）①在繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)為等腰三角形時，旋轉(zhuǎn)角等于________度；②如圖3，延長，相交于點(diǎn)，請判斷與的關(guān)系，并說明理由．3．我國南宋時期杰出的數(shù)學(xué)家楊輝是錢塘人，如圖所示的圖表是他在《詳解九章算術(shù)》中記載的“楊輝三角”．此圖揭示了（n為非負(fù)整數(shù)）的展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律，由此規(guī)律可解決如下問題：(1)圖中括號內(nèi)的數(shù)為；(2)展開式共有項(xiàng)；(3)根據(jù)上面的規(guī)律，寫出的展開式為；(4)利用上面的規(guī)律計(jì)算：．4．【觀察思考】如圖某公園圍欄是由圓形構(gòu)成的圖案，每個圓形的邊上都有“”或“第個圖案中“”有個，“”有個；第個圖案中“”有個，“”有個；第個圖案中“”有個，“”有個；第個圖案中“”有個，“”有個．【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】（1）請求出第個圖案中“”有______個，“”有______個；（用含的式子表示）【規(guī)律應(yīng)用】（2）現(xiàn)有個“”，按此規(guī)律制作圍欄，要求“”剩余最少，需要購買多少個“”？5．觀察下面的變形規(guī)律：，，，…解答下面的問題：(1)計(jì)算：________；(2)若n為正整數(shù)，請你猜想________；(3)計(jì)算：6．【綜合與實(shí)踐】南京文化紀(jì)念品的包裝優(yōu)化南京作為歷史文化名城，有眾多特色文化紀(jì)念品．某紀(jì)念品生產(chǎn)廠家在20周年廠慶前，為其經(jīng)典的“南京云錦”主題紀(jì)念品設(shè)計(jì)了長方體包裝盒．但在實(shí)際生產(chǎn)與使用中發(fā)現(xiàn)，裝入紀(jì)念品后包裝盒邊角空余空間較多，造成了包裝材料的浪費(fèi)，于是決定開展節(jié)省材料的探究活動．任務(wù)1：平面圖形的探究南京的傳統(tǒng)建筑中常常能看到矩形的窗戶等元素．對于面積固定的矩形，我們來探究其周長的變化規(guī)律．已知秦淮河畔某古建筑修復(fù)時用到的一種矩形裝飾磚面積為36平方分米，通過列舉不同長和寬的情況，得到以下表格：長（分米）36181296寬（分米）12345周長（分米）7440302624根據(jù)表格，可猜測：矩形的面積一定時，________時周長最小．為了證明上述猜測，小寧同學(xué)假設(shè)矩形面積為，設(shè)兩鄰邊長分別為和（s，t均為非負(fù)數(shù)），則，經(jīng)化簡可得．請表示出周長并補(bǔ)全后續(xù)的證明過程．任務(wù)2：立體圖形的包裝改進(jìn)廠家之前設(shè)計(jì)的長方體包裝盒尺寸為：長10厘米、寬8厘米、高6厘米，該包裝盒用于包裝以南京明城墻為原型的小型紀(jì)念品．現(xiàn)打算在保持底面積不變的前提下，將包裝盒形狀改為底面半徑為4厘米的圓柱體，高保持不變，從節(jié)省材料（即表面積最?。┑慕嵌葋砜?，你覺得這樣的改進(jìn)合理嗎？請判斷并說明理由．（取，結(jié)果精確到平方厘米）7．刻漏（如圖）是我國古代的一種計(jì)時工具，其工作原理是水從水箱中流入漏斗，再從漏斗底部的小孔中流出，主要是利用水的自然流動和容器內(nèi)水的位差來計(jì)時．某綜合與實(shí)踐小組依據(jù)刻漏的原理制作了一個簡單的刻漏計(jì)時工具，并記錄水位高度h（單位：）與水持續(xù)滴入時間t（單位：）之間的關(guān)系，如下表所示．水持續(xù)滴入時間t（單位：）0369…水位高度h（單位：）23.24.45.6…(1)請你描述水位高度h（單位：）隨水持續(xù)滴入時間t（單位：）的變化規(guī)律，并用函數(shù)解析式表示h與t的關(guān)系；(2)綜合與實(shí)踐小組想從零刻線開始，每隔在刻漏上標(biāo)記對應(yīng)的時刻線，便于使用，求每個相鄰時刻線之間的距離．8．觀察下列一組式子的變形過程，然后回答問題：…(1)求的倒數(shù)；(2)請你用含（為正整數(shù)）的關(guān)系式表示上述各式子的變形規(guī)律（不必證明）；(3)利用上面的結(jié)論，求下列式子的值：9．你會求的值嗎？這個問題看上去很復(fù)雜，我們可以先考慮簡單的情況，通過計(jì)算，探索規(guī)律：(1)由上面的規(guī)律我們可以大膽猜想，得到________(2)利用上面的結(jié)論，求的值；(3)計(jì)算：．10．[觀察思考]圖1是由若干個小圓圈堆成的一個形如正三角形的圖案，最上面一層有一個圓圈，以下各層均比上一層多一個圓圈，一共堆了n層．[規(guī)律總結(jié)]將圖1倒置后與原圖1拼成圖2的形狀，這樣我們可以算出圖1中所有圓圈的個數(shù)為（1）如果圖1中的圓圈共有10層，我們從上往下，在每個圓圈中都按圖3的方式填上一串連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，4，…，則最底層最左邊這個圓圈中的數(shù)是；[問題解決]（2）如果圖1中的圓圈共有12層，我們從上往下，在每個圓圈中都按圖4的方式填上一串連續(xù)的整數(shù)，，，…，求圖4中所有圓圈中各數(shù)的絕對值之和．11．綜合與實(shí)踐：小星學(xué)習(xí)了解直角三角形的知識后，結(jié)合光的折射規(guī)律進(jìn)行了如下綜合性學(xué)習(xí)．【實(shí)驗(yàn)操作】第一步：將長方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽邊沿A處投射到底部B處，入射光線與水槽內(nèi)壁的夾角為；第二步：向水槽注水，水面上升到的中點(diǎn)E處時，停止注水．（直線為法線，為入射光線，為折射光線）．【測量數(shù)據(jù)】如圖，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，O，N，在同一平面內(nèi)，測得，，折射角．【問題解決】根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)操作和測量的數(shù)據(jù)，求B，D之間的距離．（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：，，）12．【觀察思考】如圖，這是由正方形組成的一系列圖案，其中第1個圖案有5個正方形；第2個圖案有9個正方形；第3個圖案有13個正方形；……按此規(guī)律排列下去．【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】（1）第4個圖案有個正方形；第n（n是正整數(shù)）個圖案有（用含n的式子表示）個正方形．【規(guī)律應(yīng)用】（2）第100個圖案需要多少個正方形？13．【問題提出】因式分解：【問題探究】為了便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從簡單的情形入手，逐步分解：①②由①知，繼續(xù)添加下一項(xiàng)得：（1）仿照②，把代數(shù)式進(jìn)行因式分解．【發(fā)現(xiàn)規(guī)律】（2）推廣到一般形式：______；【問題解決】（3）化簡：______．14．下圖是按一定規(guī)律排列的方程組集合和它的解的集合的對應(yīng)關(guān)系圖．將方程組中的方程組自左至右依次記作方程組1、方程組2、方程組3、…方程組n．(1)方程組1的解是________；(2)請依據(jù)方程組和它的解變化規(guī)律，直接寫出方程組n______和它的解是______．(3)若方程組的解是，求m的值，并判斷該方程組是否符合（2）中的規(guī)律？參考答案1．發(fā)現(xiàn)：（答案不唯一）歸納：；應(yīng)用：【分析】本題考查的是立方根和算術(shù)平方根的概念，根據(jù)題意正確找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．發(fā)現(xiàn)：根據(jù)題目給出的規(guī)律解答；歸納：根據(jù)已知的等式規(guī)律即可求解；應(yīng)用：根據(jù)題意列出方程，解方程求出x，根據(jù)算術(shù)平方根的概念解答即可．【詳解】解：發(fā)現(xiàn)：根據(jù)題意；如（答案不唯一）；故答案為：（答案不唯一）歸納：根據(jù)等式①，②，③，④所反映的規(guī)律，可歸納為一個真命題：對于任意兩個有理數(shù)，，若，則；反之也成立；故答案為：；應(yīng)用：與的值互為相反數(shù)；，

解得，

則．2．（1）40；（2）見解析；（3）①或；②，理由見解析【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，多邊形內(nèi)角和，全等三角形的判定與性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練運(yùn)用相減知識是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）由旋轉(zhuǎn)可知，求得得到，于是得到結(jié)論；（3）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，求得，由（1）知，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵，，∴，由旋轉(zhuǎn)得，，在四邊形中，，∴，∴，故答案為：40；（2）證明：由旋轉(zhuǎn)可知，∴，∴，∴∵∴∵為旋轉(zhuǎn)角∴始終與旋轉(zhuǎn)角相等;（3）①.將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，∴，∵，∴，由（1）知，，當(dāng)時，，∴（不合題意，舍去），當(dāng)時，，∴；當(dāng)時，，∴；綜上，當(dāng)為等腰三角形時，旋轉(zhuǎn)角等于或，故答案為：或；②，理由如下：∵將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到,∴，，,∴，∴，∵，∴，∵四邊形的內(nèi)角和為，∴．3．(1)6(2)21(3)(4)32【分析】本題考查了多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，規(guī)律問題探索等知識，尋找規(guī)律是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)圖中每個數(shù)的規(guī)律：中間的每個數(shù)是其肩上兩個數(shù)的和，即可求解；（2）根據(jù)規(guī)律：展開式的項(xiàng)數(shù)比指數(shù)多1，即可求解；（3）根據(jù)規(guī)律，的展開式中系數(shù)依次是1，5，10，10，5，1，字母a的指數(shù)按降冪排列，字母b的指數(shù)按升冪排列，且各項(xiàng)次數(shù)均為5次，由此即可寫出展開中余下的項(xiàng)；（4）根據(jù)（3），令，即可求解．【詳解】（1）解：由圖知，所求的數(shù)為其肩上兩個數(shù)3與3的和，即6；故答案為：6；（2）解：的展開式中共有21項(xiàng)；故答案為：21；（3）解：；故答案為：；（4）解：由（3）知，，上式中令，則，∴．4．（1），，（2）需要購買個“”【分析】此題考查了圖形個數(shù)規(guī)律題，發(fā)現(xiàn)正確的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題中的規(guī)律進(jìn)行解答即可；（2）利用（1）中的規(guī)律即可得到答案．【詳解】（1）由所給圖形可知，第個圖案中“”的個數(shù)為：，“”的個數(shù)為：；第個圖案中“”的個數(shù)為：，“”的個數(shù)為：；第個圖案中“”的個數(shù)為：，“”的個數(shù)為：；，所以第個圖案中“”的個數(shù)為個，“”的個數(shù)為個．故答案為：，．（2）由得，，所以制作成第個圖案“”剩余最少，此時需要購買的“”的個數(shù)為：個，故需要購買個“”．5．(1)(2)(3)2024【分析】本題考查平方差公式，分母有理化，二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平方差公式、二次根式混合運(yùn)算法則計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)平方差公式、二次根式混合運(yùn)算法則計(jì)算即可求解；（3）根據(jù)平方差公式、二次根式混合運(yùn)算法則計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：；故答案為：；（2）解：；故答案為：；（3）解：．6．任務(wù)1：長和寬相等；，證明見解析；任務(wù)2：這樣的改進(jìn)合理，理由見解析【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式乘法在幾何圖形中的應(yīng)用，圓柱和長方體的表面積計(jì)算，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．任務(wù)1：根據(jù)矩形周長計(jì)算公式可得矩形的周長為，則當(dāng)時，矩形的周長有最小值，即矩形的面積一定時，矩形的長和寬相等時周長最小；任務(wù)2：分別計(jì)算長方體和圓柱的表面積，比較即可得到結(jié)論．【詳解】解：任務(wù)1：∵矩形兩鄰邊長分別為和，∴矩形的周長為，∵，∴矩形的周長為，∵n為定值，∴當(dāng)有最小值時，矩形的周長有最小值，∴當(dāng)時，矩形的周長有最小值，∴矩形的面積一定時，矩形的長和寬相等時周長最??；（2）合理，理由如下：長方體的表面積為平方厘米，圓柱的表面積為平方厘米，∵，∴這樣的改進(jìn)合理．7．(1)水持續(xù)滴入時間每增加，水位高度會增加，(2)【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用；（1）設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)（1）所求解析式求出當(dāng)時，的值即可得到答案．【詳解】（1）解：水持續(xù)滴入時間每增加，水位高度會增加，設(shè)h關(guān)于t的函數(shù)解析式為，由可得，將代入中，得，解得，∴h與t的解析式為；（2）解：將代入中，解得，∵，∴每個相鄰時刻線之間的距離為．8．(1)(2)(3)2024【分析】本題考查了二次根式的分母有理化及二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是∶（1）根據(jù)題目中的例子進(jìn)行分母有理化求解即可；（2）按照所給等式的變化規(guī)律寫出第n個等式即可；（3）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解∶，的倒數(shù)是；（2）解：觀察已知式子可得，；（3）解∶原式．9．(1)(2)(3)【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式乘法中的規(guī)律探索，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可得，據(jù)此可得答案；（2）根據(jù)（1）所求，令，則，據(jù)此可得答案；（3）先把原式變形為，再由（1）的結(jié)論可變形為，據(jù)此可得答案．【詳解】（1）解：，，，……，以此類推可得，，∴；（2）解：∵，∴當(dāng)時，，∴；（3）解：．10．（1）46；（2）【分析】本題主要考查了圖形變化類規(guī)律與數(shù)字類規(guī)律探究，要求學(xué)生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．注意連續(xù)整數(shù)相加的時候的這種簡便計(jì)算方法．（1）根據(jù)題意找到每一層最后一個數(shù)的規(guī)律，進(jìn)而求出第9層最后一個數(shù)，即可得到第10層最左邊的數(shù)；（2）首先求出12層共有78個數(shù)，其中23個負(fù)數(shù)，1個0，54個正數(shù)，然后求絕對值之和即可．【詳解】解：（1）∵第1層最后一個數(shù)是1；第2層最后一個數(shù)是；第3層最后一個數(shù)是；第4層最后一個數(shù)是；∴第9層最后一個數(shù)是；∴第10層最左邊的數(shù)是；（2）12層共有（個）數(shù)，其中23個負(fù)數(shù)，1個0，54個正數(shù)，按題圖4方式填數(shù)后所有圓圈中各數(shù)的絕對值之和．11．B，D之間的距離．【分析】本題考查了解直角三角形，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，由題意可得：，根據(jù)解直角三角形求出的長，即可求解，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：在中，，∴，∴，