湖北省武漢市新洲區(qū)2023-2024學(xué)年高二年級下冊6月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

湖北省武漢市新洲區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期

6月期末考試數(shù)學(xué)試題

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.設(shè)等差數(shù)列｛%｝滿足。2=5,&,+。8=30，則2以=（）

A80B.100C.120D.160

【答案】D

【解析】因為數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，且。6+/=2%=30,則%=15,

則2s&=2義8（"1；"8）=8（/+%）=8（5+15）=160.

故選：D

2.若圓尤2+9=4與圓/+/+2%+。y一8=0的公共弦長為20，則。=（）

A.±2B.+4C.2D.4

【答案】A

【解析】圓X?+J+2x+ay-8=0與圓/+>2=4兩式相減，

整理得公共弦所在直線方程為2%+ay-4=0,

又f+y2=4,圓心為0（0,0）,半徑為2,公共弦長為20，

則圓心0（0,0）到直線2x+ay—4=0的距離d=~F==

+4

化簡得2（萬+4）=16,

解得：a=±2.驗證知符合題意.

故選：A.

1

的展開式中含一尸項的系數(shù)為(

7x

A.-56B.-28C.28D.56

【答案】A

【解析】二項式(L-?)8的展開式的通項公式為

X

113r_8

Tr+1=CK—)F-?)r=q?xT(_iy?x2'=c;(-i)F2，

X

3r1

令一一8二——，所以r=5,

22

56

所以"二C；(T)5?『5=—56”

忑'

所以(4-4)8展開式中含的項的系數(shù)為-56.

xyjx

故選：A.

4.5G技術(shù)在我國已經(jīng)進(jìn)入調(diào)整發(fā)展的階段，5G手機(jī)的銷量也逐漸上升，某手機(jī)商城統(tǒng)計

了最近5個月手機(jī)的實際銷量，如下表所示：

時間X12345

銷售量y(千只)0.50.81.01.21.5

若x與y線性相關(guān)，且線性回歸方程為9=0.24X+3,則下列說法正確的是()

A.由題中數(shù)據(jù)可知，變量y與x正相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)廠41

B.當(dāng)解釋變量x每增加1個單位時，預(yù)報變量平均增加0.24+4個單位

C.線性回歸方程9=0.24工+。中6=0.26

D.可以預(yù)測x=6時，該商場5G手機(jī)銷量約為1.72(千只)

【答案】D

【解析】從數(shù)據(jù)看，y隨％的增加而增加，故變量y與％正相關(guān)，由于各增量并不相等，故

相關(guān)系數(shù)r<l,故A錯誤；

根據(jù)線性回歸方程5=0.24x+d,可得X每增加一個單位時，預(yù)報變量平均增加0.24個

單位，故B錯誤；

由已知數(shù)據(jù)得了=!。+2+3+4+5)=3,y=|(0.5+0.8+1.0+1.2+1,5)=1,代入

亍=0.24x+d中得到￡=1—0.24x3=0.28,故C錯；

將％=6代入亍=0.24x+0.28中得到y(tǒng)=U2,故D正確.

故選：D.

5.2024年“與輝同行”直播間開播，董宇輝領(lǐng)銜7位主播從“心”出發(fā)，其中男性5人，女性3

人，現(xiàn)需排班晚8：00黃金檔，隨機(jī)抽取兩人，則女生人數(shù)的期望為（）

4533

A.-B.-C.一D.

3445

【答案】C

【解析】設(shè)抽取的女生人數(shù)為X,則X可能取值為0,1,2,

21

p(X=0)=^C|-=—10=—5,P(X=l)=C^1fCi=1—5

C：2814C；28

C23

P(X=2)=4-=—,

C；28

51533

所以E(X)=0x—+lx—+2x—.

1428284

故選：C

6.甲辰龍年春節(jié)哈爾濱火爆出圈，成為春節(jié)假期旅游城市中的“頂流”.甲、乙等6名網(wǎng)紅

主播在哈爾濱的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亞教堂、音樂長廊4個景點中選擇一個打

卡游玩，若每個景點至少有一個主播去打卡游玩，每位主播都會選擇一個景點打卡游玩，

且甲、乙各單獨1人去某一個景點打卡游玩，則不同游玩方法有（）

A.96種B.132種C.168種D.204種

【答案】C

【解析】依題意其余4位主播有兩種情況：

①3位主播去一個景點，1位主播去另外一個景點；②分別都是2位主播去一個景點；

所以不同游玩方法C；A：+V^-A：=168（種）.

故選：C

7.質(zhì)數(shù)（pr加仍er）又稱素數(shù)，一個大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他

自然數(shù)整除，則這個數(shù)為質(zhì)數(shù).數(shù)學(xué)上把相差為2的兩個素數(shù)叫做“攣生素數(shù)”，如：3和

5,5和7,?一，那么，如果我們在不超過30的自然數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，記事件

A：這兩個數(shù)都是素數(shù)：事件3：這兩個數(shù)不是李生素數(shù)，則P（劇A）=（）

11371341

A.B.—C.—D.

15451545

【答案】D

【解析】不超過30的自然數(shù)有31個，其中素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10個,

攣生素數(shù)有3和5,5和7,11和13,17和29,共4組.

所以P(A)=|^=m，°(陰=守=m'

41

所以咿吐制二縣=1

<4

故選：D

a223]

8.已知函數(shù)/(x)=—I-Inx—,g(%)=—%3H—爐—九，若對任意的玉，々￡~?2

x332_3

都有/(%)?g(%)成立，則實數(shù)a的取值范圍是()

(二A

Ae2,+a?B.”,+8

I)_)

r_T

C.—a,e2D.(e,+8)

【答案】B

【解析】若對任意的玉，x2e1,2，都有/(xj?g(x2)成立,

則/⑺皿*⑷1mx成立，

gf(x)=-2x2+3A--l,當(dāng)g<x<|■時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)1<%<2時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)g<x<l時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

3321

+—

2816

231

所以g(x)?g⑴=-§+5-1=-5,

x-a

當(dāng)aWO時，f'M>0,/(%)在xe1,2單調(diào)遞增,

/12191

所以/(%)2/彳=3〃+111彳_7，nj^#34z+ln-,

I”33336

解得—I—In3>0,舍去；

63

當(dāng)0<a<』時，

3

可得xe1,2時尸⑺>0,/(%)單調(diào)遞增，

/(?^)^/|!|=3tz+lni-1,解得aN；+:ln3>《,舍去；

)33633

當(dāng)g<〃<2時，可得時廣(%)>0,/(X)單調(diào)遞減，

時((%)>0,/(同單調(diào)遞增，

211

所以“%)2f(a^=l+]na--=-+]na>~—,

解得「5<a<2；

a>2,r(x)>0,/(%)在xe1,2單調(diào)遞增，

所以/(x)2/[；]=3a+lng-g2-',

解得。之2,

綜上所述,“〉、.

Ct二C

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.對于2%-的展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大,則下列說法正確的是(

A.〃=9B.展開式的各項系數(shù)之和為1

C.展開式的二項式系數(shù)之和為512D.展開式中的含/項系數(shù)是1792

【答案】BD

【解析】(2x-41的展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，

則第5項為中間項，即〃=8,A錯誤；

[2x—4]的展開式中，通項Z+|=C；(—1丫28一/3，/=0,1,2,..,8.

令8—3r=2,得廠=2,故含/的系數(shù)為C；(—l)226=1792,D正確；

展開式的二項式系數(shù)之和為28=256,C錯誤；

令x=l,可得展開式的各項系數(shù)之和為(2-1)8=1,B正確.

故選：BD.

10.定義在(0,+8)上的函數(shù)加)滿足2〃x)+靖(x)=3,/⑴=0(若/?'('=工則

XX

fix)=\nx+c,。為常數(shù))，則下列說法正確的是()

A./(x)在.x=Ve處取得極大值，極大值為—

2e

B.7(x)恰有兩個零點

1e

C.若f<k—^在(0,+oo)上恒成立，則k>—

x2

D./(l)</(V2)</(^)

【答案】ACD

【解析】對于A：因為2/(x)+靖(x)=3,且(0,+8),可得2獷(力+尤2/(力=工，

XX

則有[X2〃X)]'=L故￡/(x)=lnx+c(c為常數(shù))，

X

InY

又f(l)=0,所以12/(i)=inl+c,所以c=0,可得/■(%)=—xe(o,y),

X

12。1

—XX-2xxlnxc11cl

、x-2xx]nxl-21nx,

/w=-r------5------=———二——

XXX

當(dāng)1—21nx〉0,即0<x<4時，f'(x)>0,

當(dāng)1—2Inx<0,即口〉加時,f'(x)<Q,

所以x=五時，/(幻取得極大值，極大值為/(/)=],故A正確；

2e

對于B：%./(x)<0,xf+oo,/(x)>0,

作出了(X)的示意圖，如圖所示：

根據(jù)圖象可知，/(X)只有一個零點，故B錯誤;

對于C:要使/(X)(女一-y,在(0,+℃)上恒成立,

X

即/'(X)+4〈左在(0,+8)恒成立,

n、Inxll-In%17一八一

因為/r(%/)=--，所以--十二〈左恒成立,

XXX

?—,lnx1、.,、Inx1

八9>(z?+7)皿，令g(x)r

X

-l-21nx

求導(dǎo)可得g'(x)=

X3

當(dāng)0＜%＜十時,

g'(%)＞。，當(dāng)茶x>Ve時，g'(%)<。,

所以g(%)maxp)~~,所以左>(—『H—y)=—9故C正確;

，e2xxmin2

對于D：根據(jù)/(%)單調(diào)遞增，x＞冊,/(%)單調(diào)遞減,

因為1＜后＜也，可得/(1)＜/(、歷),

又八屆粵L竽八3)=增"(2)=*八揚,

故;?(1)</(0)=/(2)</(百)，故D正確.

故選：ACD.

11.某種子站培育出42兩類種子,為了研究種子的發(fā)芽率，分別抽取100粒種子進(jìn)行試

種，得到如下餅狀圖與柱狀圖:

/類種子

用頻率估計概率,且每一粒種子是否發(fā)芽均互不影響，則(

A.若規(guī)定種子發(fā)芽時間越短，越適合種植，則從5天內(nèi)的發(fā)芽率來看，2類種子更適合種

植

B.若種下12粒A類種子，則有10粒種子5天內(nèi)發(fā)芽的概率最大

C.從樣本A、B兩類種子中各隨機(jī)取一粒，則這兩粒種子至少有一粒8天內(nèi)未發(fā)芽的概率

是0.145

D.若種下10粒B類種子，5至8天發(fā)芽的種子數(shù)記為X,則。(X)=2

【答案】BC

【解析】從5天內(nèi)的發(fā)芽率來看，A類種子為80%,8類種子為75%,故A錯誤；

若種下12粒A類種子，由題意可知發(fā)芽數(shù)X服從二項分布，X~3(12,0.8),

p(X=k)=C：2().811—0.8)12-*=c10.8"0.2i2d,

則P(X=@NP(X=k+l),且P(X=Z:"P(X=&—1),

可得七.2儂*>C^0.8W10.21M,且Cf20ao.>C^'O.S^'O.213^,

4757

所以彳4左4方，即％=10,即有10粒種子5天內(nèi)發(fā)芽的概率最大，故B正確；

記事件A:樣本A種子中隨機(jī)取一粒8天內(nèi)發(fā)芽；

事件B:樣本B種子中隨機(jī)取一粒8天內(nèi)發(fā)芽；

根據(jù)對立事件的性質(zhì)，這兩粒種子至少有一粒8天內(nèi)未發(fā)芽的概率：

1-P(AB)=1-P(A)P(B)=1—0.9x0.95=1—0.855=0.145,故C正確；

由題意可知X服從二項分布，X~8(10,0.2),

所以刃(X)=10xO2x(l-。2)=16,故D錯誤；

故選：BC

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若C；6=C：8,貝|]〃=.

【答案】4或6

【解析】由C；6=C：78,可得〃=3〃—8或〃+3〃—8=16,

解得九=4或〃=6.經(jīng)檢驗成立

故答案為：4或6.

13.己知某批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)X服從正態(tài)分布"(25,0.16),其中Xe[24.6,26.2]的產(chǎn)品

為合格產(chǎn)品，則在1000件該產(chǎn)品中合格產(chǎn)品件數(shù)約為.

參考數(shù)據(jù)：若X?則尸(〃—b<X<A+cr)=0.6827,

P(〃—2cr<X<〃+2cr)=0.9545,P(〃—3crVX<〃+3cr)=0.9973

【答案】840

【解析】由題意知，該產(chǎn)品服從X?N(25,0.16),則〃=25,b=o.4,

所以P(24.6<X<26.2)=P(25-0.4<X<25+3x0.4)=P(//-cr<X<〃+3cr)

0.68270.9973

=--------+---------=0.84，

22

即抽到“合格產(chǎn)品”的概率為0.84，則在1000件該產(chǎn)品中合格產(chǎn)品件數(shù)約為840.

故答案為：840.

22

14.如圖所示，設(shè)點尸是雙曲線C］：=—==1(口>0,6>0)與拋物線€,:/=4/(〃>0)的

ab

h

公共焦點，8是C2上的一點，若雙曲線一條漸近線y=恰好垂直平分雙曲線C1

【解析】由題意可得c=〃，所以G：y2=4cx(c>0),

b

因為雙曲線一條漸近線y=—%恰好垂直平分BF,

a

t2

2at

-----c

lai4cb,atbt

所以《，所以所以----c=-----+c,

tabtba

7~~~~b----+c

——cAca

14c

“…b、八一…2abc2ab12ab、2a,2ab、

所以(7-I---)1—2c,所以％二--y=-----，所以丁乂(——>=丁(——)-C,

baa+bc4ccbc

所以=—所以〃2從=2〃2c2一04,a2(c2-a2)=2a2c2-c4,

cc

所以—々4=4。2—04,所以04_儲02_々4=0,

所以/—/―1=0，所以4e4-4/—4=0，

所以(2/—1)2=5,所以2/_1=6.

故答案為：

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步粲.

15.已知數(shù)列｛q,｝的前”項和為S“，2s”—/=(2〃+l)a”(“eN*).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)設(shè)優(yōu)=-a,j3“”(〃eN*),求數(shù)列｛2｝的前〃項和T,.

解：(1)當(dāng)〃=1時，2〃1一1=3。1，

所以q=-1；

2

當(dāng)〃之2時，由2Sn—n=(2n+l^an,

則2s"「(〃—1)2=(2〃—1)J,

可得2%+(“-1)2=(2"+i”“—(2”_l)a“_],

整理得％i=-1,

所以數(shù)列｛a“｝是首項為-1，公差為-1的等差數(shù)列，

故%=—1—(w—l)=—M.

a

（2）由（1）可得：bn=-an-3"=n-

2n

則7；=lxg+2x1+3x1+L+唱

+=lx（j+2x[1+3x[]+L+叫，

兩式相減得:+[）+L+品嗚

33+2〃

所以小I

43

16.如圖，在四棱錐P—ABC。中，以，平面ABC。，四邊形ABC。為直角梯形，AD//BC,

AD±AB,AB=BC=1,PA=AD=2,AD=3AE,。為P。的中點.

(1)求證：平面PC￡?_L平面A2。；

(2)求二面角A-BQ-E的正弦值.

解：(1)：上41.平面ABCD,ABu平面ABCD,

又ADLAB,ADr>PA=A,且ADu平面MD,B4u平面MD,

二平面E4￡),又尸Du面上4￡>,C.BALPD，

VPA=AD=2,。為的中點，所以AQLPD,

又R4nAQ=A,且AQu平面A5Q,54u平面ABQ,

QD，平面A5Q,又?；「￡><=面PCD,.,.平面PCD，平面A5Q

(2)以A為坐標(biāo)原點，直線AB,AD,AP分別為x,y,z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0),D(0,2,0),B(l,0,0),P(0,0,2),2(0,1,1),E(0,|,0),

所以苑=(l,0,0),Be=(-l,l,l),E5=[1，—1，0；

設(shè)平面A3。的法向量為J=(x,y,z),

n-AB=x=0_

則<_.，取y=l,則“=(0,1,—1),

n-BQ=-%+y+z=0

設(shè)平面BQE的一個法向量為沅=(a,4c),

m-BQ=-a+b+c=0

則—.2，取4=2,則碗=(2,3,-1),

m-EB=a—b=0

3

A/21

不

故所求二面角A-BQ—E的正弦值為巨.

7

17.將氫儲存在甲基環(huán)乙烷和甲苯等有機(jī)液體中是儲氫和運輸氫的重要方向.2023年12月俄

羅斯科學(xué)院西伯利亞分院科研人員用鍥和錫取代鉗，研發(fā)出一種新型高效的脫氫催化劑，脫

氫效率達(dá)99.9%,且對儲氫載體沒有破壞作用，可重復(fù)使用.近年來，我國氫能源汽車產(chǎn)業(yè)迅

速發(fā)展，下表是某市氫能源乘用車的年銷售量與年份的統(tǒng)計表：

年份20182019202020212022

年份編號X12345

銷量y（萬臺）23.52.589

（1）求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，并預(yù)測2024年氫能源乘用車的銷量；

（2）為了研究不同性別的學(xué)生對氫能源的了解情況，某校組織了一次有關(guān)氫能源的知識競

賽活動，隨機(jī)抽取了男生和女生各60名，得到如表所示的數(shù)據(jù)：

了解不了解合計

男生25

女生20

合計

（i）根據(jù)已知條件，填寫上述2x2列聯(lián)表;

（ii）依據(jù)a=0.01的獨立性檢驗，能否認(rèn)為該校學(xué)生對氫能源的了解情況與性別有關(guān)?參考

公式：

1.回歸方程9=%+?中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為

y)

b=^—------,a=y-bx

Z=1

n(ad-bcj

2./=n=a+b+c+d.

(a+Z?)(c+d)(a+c)(6+d)

a0.0500.0100.001

xa3.8416.63510.828

1+2+3+4+5c

解：(1)年份編號x的平均數(shù)兀=--------------二3，

5

2+35+2.5+8+9

銷量y的平均數(shù)了=5,

5

5_

所以￡(七一?2=(—2)2+(-1)2+02+12+22=10,

1=1

又6(%-7)=(1-3)(2-5)+(2-3)(3.5-5)+(3-3)(2.5-5)+(4-3)(8-5)

Z=1

(5—3)(9—5)=6+15+0+3+8=18.5

5__

.1>一領(lǐng)％7)185

所以6=--------------=-—=1.85,

一、210

i=l

于是4==5-1.85x3=-0.55,

所以丁關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為夕=1.852—0.55,

又因為年份2024對應(yīng)的編號x為7,

所以y=1.85x7—0.55=12.4,

故可以預(yù)測2024年氫能源乘用車的銷量約為12.4萬臺.

(2)(i)根據(jù)男生和女生各60名，補全2x2列聯(lián)表為：

了解不了解合計

男生352560

女生204060

合計5565120

(ii)零假設(shè)“°：該校學(xué)生對氫能源的了解情況與性別無關(guān),

120x(35x40-25x20)2

根據(jù)2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得：力2-7.55>6.635-

60x60x55x65

依據(jù)。=0.01的獨立性檢驗，可以推斷不成立，即該校學(xué)生對氫能源的了解情況與性別

有關(guān).

18.中華茶文化源遠(yuǎn)流長，博大精深，制作復(fù)雜.其中綠茶在制茶過程中，在采摘后還需要經(jīng)

過殺青、揉捻、干燥這三道工序.現(xiàn)在某綠茶廠將采摘后的茶葉進(jìn)行加工，其中殺青、揉捻、

24

干燥這三道工序合格的概率分別為3，Dg，每道工序的加工都相互獨立，且茶葉加工中三

29

道工序至少有一道工序合格的概率為一.三道工序加工都合格的綠茶為特級綠茶，恰有兩

30

道工序加工合格的綠茶為一級綠茶，恰有一道工序加工合格的綠茶為二級綠茶，其余的為不

合格綠茶.

（1）在綠茶的三道工序中恰有兩道工序加工合格的前提下，求殺青加工合格的概率；

（2）每盒綠茶（凈重100g）原材料及制作成本為30元，其中特級綠茶、一級綠茶、二級綠

茶的出廠價分別為90元，60元，40元，而不合格綠茶則不進(jìn)入市場.記經(jīng)過三道工序制成

的一盒綠茶的利潤為X元，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

29（2、（4、29

解：（1）由三道工序至少有一道工序合格的概率為正，得1—1—、,。）1一彳=正，

解得p=g

記殺青、揉捻、干燥這三道工序加工合格分別為事件A,B,C,

這三道工序加工中恰有兩道工序合格記為事件D,

則P（D）=P（ABe）+P（A月C）+PlXBC,nZxLxL+ZxLxd+LxLxqnl,

32532532515

P（AD）=P（ABC）+P（ABC）=-x-x-+-x-x-=-,

v7vv73253253

1

因此■⑼

15

所以在綠茶的三道工序中恰有兩道工序加工合格的前提下，殺青加工合格的概率為』

7

（2）由題意可知隨機(jī)變量X的所有可能取值為-30,10,30,60

則p（X=—30）=P（Z月0）=；義；><1=焉，

P（X=iQ}=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）=-x-x-+-x-x-+-x-x-=—,

'7v7v7v,32532532530

P(X=30)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=|xlx|+|xlxi4x|x|^

2144

P(X=60)=P(ABC)=—x—x—=

32515

則隨機(jī)變量X的分布列為:

X-30103060

1774

P

30301515

177494

故X的數(shù)學(xué)期望為石(x)=(—30)乂4+10義4+30><話+60*百

T

19.已知函數(shù)/(x)=lnx+ax

(1)若。=1,求函數(shù)/(幻在點(L/⑴)處的切線方程