長(zhǎng)方體和正方體（講義）-2024年小升初數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

專題19長(zhǎng)方體和正方體（小升初復(fù)習(xí)講義）

2024年小升初數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題：第七章立體圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量

（高頻考點(diǎn)梳理+重難點(diǎn)講解+同步練習(xí)+答案）

［雷高頻考點(diǎn)梳理

長(zhǎng)方體和正

1長(zhǎng)方體的體積

方體的認(rèn)識(shí)

f正方體的體積

長(zhǎng)方體的表面積

［正方體的表面積

II高頻考點(diǎn)>I長(zhǎng)方體和正方體的認(rèn)識(shí)

【知識(shí)梳理】

名稱長(zhǎng)方體正方體

生三清

圖形[

長(zhǎng)寬豺

上

展開(kāi)圖笆S3匚

面6個(gè)6個(gè)

相同點(diǎn)棱12條12條

頂點(diǎn)8個(gè)8個(gè)

6個(gè)面一般是長(zhǎng)方形，也可能有2個(gè)

面的特點(diǎn)相對(duì)的是正方形6個(gè)面都是相同的正方形

不同點(diǎn)面的大小相對(duì)的面的面積相等6個(gè)面的面積都相等

棱長(zhǎng)相對(duì)的棱的長(zhǎng)度相等6條梭的長(zhǎng)度都相等

聯(lián)系正方體是特殊的長(zhǎng)方體

畫(huà)重難點(diǎn)講解

【例1】一個(gè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和是72厘米，長(zhǎng)、寬、高的比是3:2:4。則這個(gè)長(zhǎng)

方體的高是（）厘米。

【解題分析】

長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和等于（長(zhǎng)+寬+高）X4,所以先用棱長(zhǎng)總和除以4求出長(zhǎng)、

寬、高的和。然后根據(jù)長(zhǎng)、寬、高的比，求出總份數(shù)，用長(zhǎng)、寬、高的和除以總

份數(shù)，再分別乘高所占的份數(shù)即可求出高。

-4）X.

=18X4-

9

=8（厘米）

【答案】8；

【例2】一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是5分米、3分米、2分米。一個(gè)正方體

和這個(gè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和相等，那么正方體的體積是多少立方分米？

【解題分析】

先根據(jù)長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)總和=（長(zhǎng)+寬+高）X4,求出長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和；因?yàn)檎?/p>

方體的棱長(zhǎng)總和等于長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和，正方體有12條棱且每條棱相等，所以

用棱長(zhǎng)總和;12可以求出正方體的棱長(zhǎng)；再根據(jù)正方體體積=棱長(zhǎng)X棱長(zhǎng)X棱

長(zhǎng)，可得正方體體積。

【解答】

（3+2+4）X4

=9X4

=36（分米）

364-12=3（分米）

3X3X3

=9X3

=27（立方分米）

答：正方體的體積是27立方分米。

【例3】如圖，在一個(gè)正方體的相鄰兩個(gè)面上畫(huà)了兩條對(duì)角線AC和AB,那么這

兩條對(duì)角線的夾角是（）o°

【解題分析】

由于是正方體，那么它上面所有的正方形的對(duì)角線都是相等的。AB,AC,再加上

左面的正方形的對(duì)角線，正好組成一個(gè)等邊三角形，所以這兩條對(duì)角線的夾角為

60°o

【答案】60；

【例4】一個(gè)正方體的每個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6。根據(jù)下圖中三種

狀態(tài)所顯示的數(shù)字，和“6”相對(duì)的數(shù)字是（）。

D.5

【解題分析】

觀察正方體可知，與“1”相對(duì)的是“5”，與“3”相對(duì)的是“6”,與“2”相對(duì)

的是“4”。

【答案】C；

1小升初

復(fù)習(xí)小試身手

【練習(xí)1】用下面的硬紙板沿虛線折疊拼成一個(gè)立方體,則“5”的對(duì)面是（）。

3

A.1B.2C.3D.4

【練習(xí)2]用一根長(zhǎng)96厘米的鐵絲正好圍成一個(gè)正方體框架，則相交于同一個(gè)

頂點(diǎn)的所有棱長(zhǎng)的和是（）厘米。

【練習(xí)3]一個(gè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和是116厘米，則相交于同一個(gè)頂點(diǎn)的所有棱長(zhǎng)

的和是（）厘米。

2高頻考點(diǎn)>長(zhǎng)方體的表面積

【知識(shí)梳理】

1、長(zhǎng)方體或正方體6個(gè)面的總面積，叫做它的表面積。

2、長(zhǎng)方體的表面積

長(zhǎng)

長(zhǎng)方體的表面積=（長(zhǎng)X寬+長(zhǎng)X高+寬X高）X2

用字母表示：S=（ab+ah+bh）X2

國(guó)重難點(diǎn)講解

【例5】一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是10厘米、5厘米、3厘米，如果把這個(gè)

長(zhǎng)方體平均分成兩個(gè)小長(zhǎng)方體，表面積最少會(huì)增加()平方厘米；最多會(huì)

增加()平方厘米。

【解題分析】

把一個(gè)長(zhǎng)方體平均分成兩個(gè)小長(zhǎng)方體，會(huì)增加兩個(gè)面，要使增加的表面積最少，

則增加的兩個(gè)面是原長(zhǎng)方體中較小的兩個(gè)面，即長(zhǎng)為5厘米、寬為3厘米的面，

那么增加的表面積為

2X5X3

=10X3

=30平方厘米

要使增加的表面積最多，則增加的兩個(gè)面是原長(zhǎng)方體中較大的兩個(gè)面，即長(zhǎng)為10

厘米、寬為5厘米的面，那么增加的表面積為

2X10X5

=20X5

=100平方厘米

【答案】30；100；

【例6】一間客廳長(zhǎng)8米，寬5米，高3米。

(1)客廳準(zhǔn)備用邊長(zhǎng)5分米的方磚鋪地面，需要多少塊？

(2)準(zhǔn)備粉刷客廳的四周墻壁和頂面，門(mén)窗、電視墻等12平方米不粉刷，實(shí)際

粉刷的面積是多少平方米？

【解題分析】

(1)先統(tǒng)一單位，將客廳的長(zhǎng)和寬換算成分米，求出客廳地面的面積，再求出

每塊方磚的面積，用客廳地面面積除以每塊方磚面積即可得到方磚數(shù)量。(2)求

出客廳四周墻壁和頂面的總面積，減去不粉刷的面積，就是實(shí)際粉刷的面積。

【解答】

(1)8米=80分米

5米=50分米

80X504-(5X5)

=40004-25

=160(塊)

答：需要160塊。

(2)8X5+E2X(8X3+5X3)]

=40+2X39

=40+78

=118(平方米)

118-12=106(平方米)

答：實(shí)際粉刷的面積是106平方米。

【例7】用8個(gè)棱長(zhǎng)是1分米的小正方體可以搭成不同的長(zhǎng)方體，體積都是（）

立方分米。在所有搭成的長(zhǎng)方體中，表面積最大是（）平方分米。

【解題分析】

用小正方體搭成不同的長(zhǎng)方體，無(wú)論怎么搭，體積都等于小正方體體積之和。8

個(gè)棱長(zhǎng)1分米的小正方體體積為：

8X（1X1X1）

=8X1

=8（立方分米）

所以搭成的長(zhǎng)方體體積都是8立方分米。

要使表面積最大，則把8個(gè)小正方體排成一排，這樣長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是8分米、寬

是1分米、高是1分米，表面積為：

（8X1+8X1+1X1）X2

(8+8+1)X2

(16+1)X2

=17X2

=34（平方分米）

【答案】8；34；

【例8】一個(gè)長(zhǎng)方體等分成三份，變成了三個(gè)小正方體，表面積比原來(lái)增加了100

平方厘米，原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積是（）平方厘米。

【解題分析】

把一個(gè)長(zhǎng)方體等分成三份，變成三個(gè)小正方體，增加了4個(gè)正方形的面，這4個(gè)

面的面積就是100平方厘米，那么一個(gè)面的面積是100+4=25（平方厘米），小

正方體的棱長(zhǎng)為5厘米，小正方體一個(gè)面的面積就是5X5=25（平方厘米）。原

來(lái)長(zhǎng)方體有14個(gè)這樣的面，所以原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積是25X14=350（平方厘

米）。

【答案】350；

【例9］要修建一個(gè)長(zhǎng)方體花壇，在比例尺是1:40的設(shè)計(jì)圖上，花壇的長(zhǎng)為12

厘米，寬為8厘米，高為2厘米。按圖施工完成后，如果在這個(gè)花壇的底面和四

周貼上瓷磚，那么貼瓷磚部分的面積是多少平方米？

【解題分析】

首先根據(jù)比例尺算出實(shí)際的長(zhǎng)、寬、高。然后求出底面面積和四周面積，四周面

積為前后兩個(gè)面的面積加左右兩個(gè)面的面積，最后將底面和四周面積相加就是

貼瓷磚部分的面積，注意單位換算。

【答案】

12X40=480（厘米）=4.8（米）

8X40=320（厘米）=3.2（米）

2X40=80（厘米）=0.8（米）

4.8X3.2+4.8X0,8X2+3.2X0.8X2

=15.36+7.68+5.12

=28.16（平方米）

答：貼瓷磚部分的面積是2&16平方米。

國(guó)小試身手

【練習(xí)1】用鐵絲做一個(gè)長(zhǎng)40厘米，寬30厘米，高20厘米的長(zhǎng)方體框架，需

要用（）厘米長(zhǎng)的鐵絲。如果要在這個(gè)框架外面包一層紙板，至少需要紙

板（）平方厘米。（接口處忽略不計(jì)）

【練習(xí)2］把一個(gè)長(zhǎng)方體鐵塊截成三個(gè)完全一樣的正方體，這三個(gè)正方體的棱長(zhǎng)

之和比原來(lái)長(zhǎng)方體增加了72厘米，原來(lái)長(zhǎng)方體鐵塊的表面積是多少平方厘米？

3高頻考點(diǎn)>I正方體的表面積

【知識(shí)梳理】

正方體的表面積

棱

正方體的表面積=棱長(zhǎng)X棱長(zhǎng)X6

用字母表示：S=6a2

I嘲重難點(diǎn)講解

【例10］將一個(gè)正方體木塊切成27個(gè)相等的小正方體后，表面積增加108平方

厘米，原來(lái)正方體的體積是（）立方厘米

【解題分析】

把一個(gè)大正方體切成27個(gè)小正方體，需要切6次，每切一次增加兩個(gè)大正方體

的面，所以共增加了12個(gè)大正方體的面。已知表面積增加了108平方厘米，那

么一個(gè)面的面積是108?12=9平方厘米，由此可求出大正方體的棱長(zhǎng)為3厘米,

再根據(jù)正方體體積公式求出正方體的體積：3X3X3=27（立方厘米）。

【答案】27；

【例11】從一個(gè)長(zhǎng)方體中切下一個(gè)體積是48立方厘米的小長(zhǎng)方體，剩下的部分

剛好是一個(gè)棱長(zhǎng)4厘米的正方體，那么原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積是多少平方厘米？

【解題分析】

剩下部分是一個(gè)棱長(zhǎng)4厘米的正方體，說(shuō)明原來(lái)長(zhǎng)方體底面是邊長(zhǎng)為4厘米的

正方形，截下的小長(zhǎng)方體的高可通過(guò)體積除以底面積求出，進(jìn)而求出原來(lái)長(zhǎng)方體

的高，然后根據(jù)長(zhǎng)方體表面積公式求解。

【答案】

原來(lái)長(zhǎng)方體底面邊長(zhǎng)為4厘米，截下小長(zhǎng)方體的高為：

48+（4X4）

=484-16

=3（厘米）

原來(lái)長(zhǎng)方體的高為4+3=7（厘米），

表面積為：

4X4X2+4X7X4

=32+112

=144(平方厘米)

答：原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積是144平方厘米。

【例12】?jī)蓚€(gè)正方體棱長(zhǎng)比是5:3,那么表面積的比是()，體積的比是

()o

【解題分析】

根據(jù)正方體的表面積=棱長(zhǎng)X棱長(zhǎng)X6,設(shè)大正方體的棱長(zhǎng)為5a,小正方體的棱

長(zhǎng)為3a,則大正方體的表面積為6X(5a)X(5a)=150a2,小正方體的表面

積為6X(3a)X(3a)=54a2,所以表面積之比為150a2:54a2=25:9；

根據(jù)正方體的體積=棱長(zhǎng)X棱長(zhǎng)X棱長(zhǎng)，可得大正方體的體積為(5a)X(5a)

X(5a)=125a3,小正方體的體積為(3a)X(3a)X(3a)=27a3,所以體

積之比為125a3:27a3=125:27o

【答案】25:9；125:27

m小升初

?復(fù)習(xí)小試身手

【練習(xí)1】把一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，則它的表面積就擴(kuò)大到原來(lái)

的()倍。

A.3B.6C.9D.12

【練習(xí)2］用鐵絲做一個(gè)棱長(zhǎng)為3分米的正方體盒子框架，要給這個(gè)盒子框架除

頂面外的其它面貼上裝飾紙，至少需要多少平方分米的裝飾紙？(接頭處損耗忽

略不計(jì))

4高頻考點(diǎn)>長(zhǎng)方體的體積

【知識(shí)梳理】

1、物體所占空間的大小叫做物體的體積。

2、常用的體積單位有立方厘米（cm3）＞立方分米（dm3）和立方米（n?）。

3、長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)＞＜寬X高

用字母表示：V=abh

慟重難點(diǎn)講解

【例13】一個(gè)長(zhǎng)方體木塊長(zhǎng)8厘米、寬7厘米、高6厘米，把它削成一個(gè)最大

的正方體，削去部分的體積是（）立方厘米。

A.200B.150C.120

【解題分析】

要把長(zhǎng)方體削成一個(gè)最大的正方體，那么這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)應(yīng)取長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、

高的最小值，所以削成的最大正方體棱長(zhǎng)為6厘米。先根據(jù)長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)

X寬X高求出長(zhǎng)方體的體積，再根據(jù)正方體的體積=棱長(zhǎng)X棱長(zhǎng)X棱長(zhǎng)求出削

成的正方體的體積，最后用長(zhǎng)方體體積減去正方體體積就是削去部分的體積。

8X7X6-6X6X6

=336-216（立方厘米）

=120（立方厘米）

【答案】C；

【例14】用一條長(zhǎng)96厘米的鐵絲做成一個(gè)長(zhǎng)、寬、高的比為3:2:1的長(zhǎng)方體

框架，在每個(gè)面都用鐵皮封上做成鐵盒，那么這個(gè)鐵盒的體積是多少立方厘米？

【解題分析】

長(zhǎng)方體有4條長(zhǎng)、4條寬、4條高，用鐵絲的總長(zhǎng)度除以4可得長(zhǎng)、寬、高的和。

再根據(jù)長(zhǎng)、寬、高的比例關(guān)系，求出長(zhǎng)、寬、高各自的值，最后利用長(zhǎng)方體體積

公式求出體積。

【解答】

964-4=24（厘米）

3

24X，一=12（厘米）

3+2+1

2

24X-^（厘米）

3+2+1

1

24X^—（厘米）

3+2+1

12X8X4

=96X4

384（立方厘米）

答：這個(gè)鐵盒的體積是384立方厘米。

【例15］往一個(gè)長(zhǎng)10分米、寬8分米、高6分米的長(zhǎng)方體魚(yú)缸內(nèi)倒入4分米深

的水，然后放入一個(gè)棱長(zhǎng)為4分米的正方體鐵塊，則水位上升了多少分米？

【解題分析】

正方體鐵塊放入容器中會(huì)使水位上升，上升的水的體積就等于正方體鐵塊的體

積。先根據(jù)正方體體積=棱長(zhǎng)X棱長(zhǎng)X棱長(zhǎng)，求出正方體鐵塊的體積；再根據(jù)長(zhǎng)

方形的面積=長(zhǎng)乂寬求出長(zhǎng)方體容器的底面積；然后用正方體鐵塊的體積除以

長(zhǎng)方體容器的底面積，就可得到水位上升的高度。

【答案】

4X4X44-（10X8）

=644-80

=0.8（分米）

答：水位上升了0.8分米。

叵小試身手'

【練習(xí)1】要挖一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的蓄水池，蓄水池長(zhǎng)8米，寬4米，深L5米,

如果每立方米土重L3噸，挖這個(gè)蓄水池一共要挖出（）噸土。

【練習(xí)2】用一條長(zhǎng)72厘米的鐵絲做成一個(gè)長(zhǎng)、寬、高的比為3:2:1的長(zhǎng)方體

框架，在每個(gè)面都用鐵皮封上做成鐵盒，那么這個(gè)鐵盒的體積是多少立方厘米？

5高頻考點(diǎn)正方體的體積

【知識(shí)梳理】

正方體的體積=棱長(zhǎng)X棱長(zhǎng)X棱長(zhǎng)

用字母表示：v=a3

畫(huà)重難點(diǎn)講解

【例16】把一個(gè)正方體木塊加工成一個(gè)最大的圓錐形木塊，若圓錐形木塊的底

面直徑是10厘米，求原來(lái)這個(gè)正方體木塊的體積是（）立方厘米。

【解題分析】

要把正方體加工成最大的圓錐形，那么這個(gè)圓錐的底面直徑和高都等于正方體

的棱長(zhǎng)。已知圓錐底面直徑為10厘米，即正方體棱長(zhǎng)為10厘米，根據(jù)正方體體

積=棱長(zhǎng)X棱長(zhǎng)X棱長(zhǎng)，可求出正方體的體積：10X10X10=1000（立方厘米）

【答案】1000

【例17】用4個(gè)大小完全相同的小正方體木塊拼成一個(gè)長(zhǎng)方體（如圖），表面積

減少了32平方厘米，則一個(gè)小正方體的體積是多少立方厘米？

【解題分析】

4個(gè)小正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，會(huì)減少8個(gè)面。表面積減少了32平方厘米，那

么一個(gè)面的面積是32:8=4平方厘米，因?yàn)檎叫蚊娣e=邊長(zhǎng)X邊長(zhǎng)，所以可

得小正方體的棱長(zhǎng)為2厘米，再根據(jù)正方體體積=棱長(zhǎng)X棱長(zhǎng)X棱長(zhǎng)，可求出

小正方體體積。

【解答】

324-8=4（平方厘米）

因?yàn)?X2=4,所以小正方體棱長(zhǎng)為2厘米。

2X2X2

=4X2

=8（立方厘米）

答：一個(gè)小正方體的體積是8立方厘米。

【例18】一個(gè)長(zhǎng)10cm,寬8cll1,高4cm的長(zhǎng)方體木塊可以切成（）個(gè)棱長(zhǎng)

為2cm的正方體木塊。

【解題分析】

分別用長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高除以正方體的棱長(zhǎng)，得到的商相乘就是可以切成的正

方體木塊的個(gè)數(shù)。

長(zhǎng)可以切：104-2=5（個(gè)），

寬可以切：84-2=4（個(gè)），

高可以切：44-2=2（個(gè)），

所以一共可以切：5X4X2=40（個(gè)）

【答案】40；

卜'升初|

復(fù)習(xí)小試身手

【練習(xí)1］將一個(gè)棱長(zhǎng)為4分米的正方體鐵塊熔鑄成一個(gè)圓錐（不計(jì)損耗），若

圓錐的底面積是32平方分米，則圓錐的高是（）分米。

【練習(xí)2］從一個(gè)棱長(zhǎng)5dm的大正方體中挖去一個(gè)棱長(zhǎng)是2dm的小正方體（如

圖），剩余部分的體積是（）立方分米。

參考答案

n高頻考點(diǎn)長(zhǎng)方體和正方體的認(rèn)識(shí)

【練習(xí)a

【解題分析】

將硬紙板沿虛線折疊拼成一個(gè)立方體后，數(shù)字“1”與“4”相對(duì)，“3”與“5”

相對(duì),“2”與“6”相對(duì)。

【答案】C；

【練習(xí)2】

【解題分析】

用鐵絲圍成框架，鐵絲的長(zhǎng)度就是正方體的棱長(zhǎng)總和。因?yàn)檎襟w有12條棱且

都相等，所以用棱長(zhǎng)總和除以12可得到每條棱的長(zhǎng)度，而相交于一個(gè)頂點(diǎn)的所

有棱長(zhǎng)的和也就是每條棱的長(zhǎng)度的3倍。

964-12X3

=8X3

=24（厘米）

【答案】24；

【練習(xí)3】

【解題分析】

長(zhǎng)方體有8個(gè)頂點(diǎn)，相交于同一個(gè)頂點(diǎn)的棱有3條，分別叫做長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、

高。長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和等于相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱的和的4倍。那么相交于

同一個(gè)頂點(diǎn)的所有棱長(zhǎng)的和是：116+4=29(厘米)。

【答案】29；

2高頻考點(diǎn)>長(zhǎng)方體的表面積

【練習(xí)11

【解題分析】

求鐵絲長(zhǎng)度就是求長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和，長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)總和=(長(zhǎng)+寬+高)X4；

(40+30+20)X4

=(70+20)X4

=90X4

=360(厘米)

求紙板面積就是求長(zhǎng)方體的表面積，長(zhǎng)方體表面積=(長(zhǎng)x寬+長(zhǎng)X高+寬X高)

X2o

(40X30+40X20+30X20)X2

=(1200+800+600)X2

=(2000+600)X2

=2600X2

=5200(平方厘米)

【答案】360；5200；

【練習(xí)2】

【解題分析】

把長(zhǎng)方體截成三個(gè)完全一樣的正方體，會(huì)增加4個(gè)正方形的面，也就是增加了

16條正方體的棱，已知增加的棱長(zhǎng)之和是72厘米，那么可求出正方體的棱長(zhǎng)為

72?16=4.5厘米。原來(lái)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是正方體棱長(zhǎng)的3倍，即13.5厘米，寬和

高都是正方體棱長(zhǎng)4.5厘米，然后根據(jù)長(zhǎng)方體表面積公式可求出表面積。

【解答】

724-16=4.5(厘米)

4.5X3=13.5(厘米)

(13.5X4.5+13.5X4.5+4.5X4.5)X2

=(60.75+60.75+20.25)X2

=(121.5+20,25)X2

=141.75X2

=283.5(平方厘米)

答：原