中考數(shù)學(xué)17~20題（解方程與不等式幾何證明幾何作圖及推理分式與其他綜合解答題）-2025年中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)（廣州專用）含答案

猜押04廣東廣州卷中考數(shù)學(xué)17-20題（解答題）

押題依據(jù)

猜押1年廣州真難

考情分析押題依據(jù)

考點(diǎn)題度

解方方程與不等式是代數(shù)核

2024年廣2022年考方程組，2023年考不等

程與心，2024年第15題考查

東廣州卷式組，2024年考分式方程，2025易

不等方程思想，強(qiáng)調(diào)解法多樣

第16題年可能考查含參方程或不等式.

式性

2022年考全等證明，2023年考平

2024年廣幾何證明題占比穩(wěn)定，

幾何行四邊形判定，2024年考矩形性

東廣州卷2024年第22題以航天為易

證明質(zhì),2025年可能考查菱形或圓的切

第18題背景，凸顯學(xué)科育人價(jià)值

線證明.

幾何

2024年廣2023年考坐標(biāo)系中作圖，2024年幾何證明題占比穩(wěn)定，

作圖

東廣州卷考三角形中尺規(guī)作圖,2025年可能2024年第18題以三角形易

及推

第18題考查菱形或圓的切線證明.為背景

理

分式2022年考分式化簡(jiǎn)，2023年考整

2024年廣代數(shù)應(yīng)用題占比提升，

與其式化簡(jiǎn)，2024年考因式分解應(yīng)用，

東廣州卷2024年第23題需建立函易

他綜2025年可能考查分式方程的實(shí)際

第19題數(shù)模型，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模

合應(yīng)用.

題型一解方程與不等式

（2025?廣東廣州?一模）

試卷第1頁(yè)，共10頁(yè)

1.解方程：X2-2X-8=0.

（2025?廣東廣州?一模）

x+2>3

2.解不等式組:

2x-1<5

（2025?廣東廣州?一模）

5x-3>2x①

3.解不等式組：,2x-lx不?

-----〈一②

132

（2025?廣東廣州一模）

4（x-l）<x+2

4.解不等式組：Kx+11

----------1>x

16

（2025?廣東深圳?一模）

5.（1）解方程：x2-2x-6=0；

(2)計(jì)算：-2cos30°+|-V31-(4-7i)°

(2025?廣東潮州?模擬預(yù)測(cè))

6.(1)解方程：x2-2x-l=0

(2)計(jì)算：4sin60o+(^-3.14)°-Vi2-tan230o

（2025?廣東佛山?一模）

x—14x

7.(1)解方程：--^=0；

Xx-1

(2)已知是銳角，求證：cos4?-sin4a=cos2(7-sin2a.

（2025?內(nèi)蒙古?模擬預(yù)測(cè)）

8.（1）計(jì)算：槨—2卜—-k2|；

3__

（2）解方程:

2x—4x—22

（2025?江西?二模）

9.（1）計(jì)算：（-2）2+（3.14-兀）°-卜2|；

2x1

（2）解方程:---=11----

x-33-x

（2025?廣東中山?模擬預(yù)測(cè)）

試卷第2頁(yè)，共10頁(yè)

-2

io.(i)計(jì)算：(-i)2019+I-|2-V12|+4sin60o.

2x—3>%—5

（2）解不等式組2x+6c，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái).

--------<2-x

[3

題型二幾何證明

（2025?廣東廣州?一模）

11.如圖，在四邊形中，點(diǎn)E是線段8。上一點(diǎn)，連結(jié)CE.已知

ZADB=ZECD,AD=EC.求證：NDBC=NDCB.

（2025?廣東清遠(yuǎn)?一模）

12.如圖，AAED是等腰直角三角形，/C經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)2作瓦1L/C,過(guò)點(diǎn)。作

DC//BA,若/C=10,CD=8,求■的面積.

（2025?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）

13.如圖，點(diǎn)8C,D,尸在一條直線上，AB=EF,AC=ED,ZCAB=ZDEF,求證:

AC//DE.

(2025?廣東廣州?一模)

14.如圖，已知/A4C=/ABO=90°,ZABC=/BAD,求證：AC=BD.

試卷第3頁(yè)，共10頁(yè)

cD

（2025?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）

15.已知：如圖，四邊形4BCD為正方形，點(diǎn)￡在3。的延長(zhǎng)線上，連接E4、EC求證:

△EAB知ECB.

（2025?廣東?模擬預(yù)測(cè)）

16.如圖，點(diǎn)E,尸在BC上，BE=FC,AB=DC,NB=NC.求證：/A=ND.

17.如題圖所示，在Rt448C中，ZC=90°,的垂直平分線DE分別交8C,AB于D,

3

E兩點(diǎn).若8O=5,sinND/C=M，求。E的長(zhǎng).

（2025?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）

18.如圖，ZUBC中，ZACB=90°,CZ）是42邊上的高，求證：AACDs^CBD.

試卷第4頁(yè)，共10頁(yè)

（2025?廣東廣州?一模）

19.如圖，△/BC中，已知。、E分別是48、/C的中點(diǎn)，求證：AADEsAABC.

（2025?廣東江門?一模）

20.如圖，尸8是。。的切線，切點(diǎn)為8,點(diǎn)/在。。上，SLPA=PB,連接4。并延長(zhǎng)交。。

于點(diǎn)C,交直線網(wǎng)于點(diǎn)。，連接OP.證明：DB2=DCDA.

題型三幾何作圖及推理

（2025?廣東廣州?一模）

21.在平面內(nèi)，給定不在同一直線上的點(diǎn)A,B,C,如圖所示.若點(diǎn)。是△NBC的外心,

圓。為△4BC的外接圓，N/8C的平分線交圓。于點(diǎn)。，連接4D,CD.

取

（1）尺規(guī)作圖：作出圓。及角平分線5D（保留作圖痕跡，不寫作法）.請(qǐng)證明：AD=CD.

（2）過(guò)點(diǎn)。作?！?.氏4,垂足為E,作_L8C,垂足為尸，延長(zhǎng)。尸交圓。于點(diǎn)連

接CW.若/D=CW,求直線與圓。的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).

（2025?廣東廣州?一模）

22.如圖，在用A4BC中，NNCB=90。，點(diǎn)尸是/C的中點(diǎn).

試卷第5頁(yè)，共10頁(yè)

c

P)

A-------------------B

⑴尺規(guī)作圖：以線段8c為直徑作。。，交于點(diǎn)。（保留作圖痕跡，不寫作法）;

（2）連接尸D,求證：PD是。。的切線.

（2025?廣東廣州?一模）

23.如圖，△ABC中，AACB=90°.

（1）尺規(guī)作圖：作。。，使圓心。在邊NC上，且。。與3c所在直線相切（保留作圖痕

跡，不寫作法）；

4

（2）在（1）的條件下，若NC=9,cosZABC=-,求。。的半徑

（2025?廣東廣州?一模）

24.如圖，在等腰△4BC中，44=30。，AB=AC,沿射線BE折疊ZUSC,使點(diǎn)/恰好落

在8c的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)。處，射線3E與腰NC交于點(diǎn)E.

⑴尺規(guī)作圖：作出射線BE（保留作圖痕跡，不寫作法）；

⑵在（1）所作的圖形中，連接。E,若CE=2收，求線段DE的長(zhǎng).

（2025?廣東茂名?一模）

25.如圖：在平行四邊形/BCD中，點(diǎn)廠在4D上，且月尸=CZ）.

試卷第6頁(yè)，共10頁(yè)

F

AD

BC

（1）用直尺和圓規(guī)作/A4D的平分線交8C于點(diǎn)￡（尺規(guī)作圖的痕跡保留在圖中）,

（2）求證：四邊形N3E尸為菱形.

（2025?廣東?二模）

26.如圖，在△4BC中，AB=BC,點(diǎn)。在N8的延長(zhǎng)線上.

⑴作NC8Z）的平分線8M（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）.

（2）求證：BMHAC.

（2025?廣東東莞?一模）

k

27.如圖，已知反比例函數(shù)丁=—的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,點(diǎn)8在x軸的正半軸上.

（1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖，過(guò)點(diǎn)A作/CL08于點(diǎn)C；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）

3

（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，若08=5,BC=2,tanZOAC=~,求左的值.

（2025?廣東深圳?一模）

28.如圖，四邊形4BCL（中，8。為對(duì)角線，ZADC=ZABC,ZA=ZC.

（1）證明：四邊形N8C。是平行四邊形；

（2）己知請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作菱形8瓦）尸，頂點(diǎn)E,尸分別在邊5C,AD

試卷第7頁(yè)，共10頁(yè)

上（保留作圖痕跡，不要求寫作法）.

（2024?廣東廣州，二模）

29.如圖，在RtZk/BC中.

⑴利用尺規(guī)作圖，在2c邊上求作一點(diǎn)P,使得點(diǎn)尸到N8的距離（P。的長(zhǎng)）等于PC的

長(zhǎng)；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）畫出（1）中的線段PD.若NC=5,3C=12,求尸8的長(zhǎng).

（2025?廣東深圳?一模）

30.如圖，在口43c。中，AB>AD.

（1）按如下步驟用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)作圖.（要求：保留作圖痕跡，不寫作法.）

①在48上取一點(diǎn)￡,使=②作/胡。的平分線交。于點(diǎn)尸；③連接￡尸.

⑵若4840=60。，AD=6,求出（1）中所作的四邊形NEED的面積.

題型四分式與其他綜合

（2025?廣東廣州?一模）

⑴化簡(jiǎn)T;

2

⑵若點(diǎn)尸（見(jiàn)機(jī)T）在反比例函數(shù)>=—的圖象上，求T的值.

X

（2025?廣東廣州?一模）

32.已知關(guān)于x的一元二次方程/-4x+a=0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根.

⑴求。的取值范圍；

（2）化簡(jiǎn)7=（3+。+2]+且二”，并選擇一個(gè)適合的正整數(shù)。代入求值.

\a-2）a-2

試卷第8頁(yè)，共10頁(yè)

（2025?廣東廣州?一模）

a2—4。+4a2—2a

33.已知了=

b(a-2)—4—

⑴化簡(jiǎn)T;

2

⑵若點(diǎn)尸（。力）在反比例函數(shù)>=*的圖象上，求T的值.

（2025?廣東廣州?一模）

3nm-n

34.已知7=

mn+n2m7—n2

（1）化簡(jiǎn)T；

⑵若（m,〃）是拋物線了=f-4x+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)，請(qǐng)求出T的值.

（2025?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）

35.已知7=3-（"+6）（”叫

bb

⑴化簡(jiǎn)T;

12

⑵若在平面直角坐標(biāo)系雙少中，點(diǎn)尸（〃,b）為反比例函數(shù)y=一上一點(diǎn)，且8=5,求T的值.

（2024?廣東廣州?一模）

.（4機(jī)+4）m+2

36.已知工=加~1---------------廠.

<mJm

⑴化簡(jiǎn)4

⑵若點(diǎn)（私o）是拋物線y=x2+2x-3上的一點(diǎn)，求/的值.

（2024?廣東廣州?三模）

2

「一L（b+2ab}

37.已知/=[]"!—------.

⑴化簡(jiǎn)4

（2）若。、6是方程一一x-l=0的兩根，求/的值.

（2025?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）

38.先化簡(jiǎn)，再求值：\—j—",其中。是方程--x-2=0的根.

+ua—1JCL—1

（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）

39.化簡(jiǎn)求值：竺二^+[金￡一2小，其中（見(jiàn)”）在一次函數(shù)y=x-G的圖象上.

mymJ

（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）

試卷第9頁(yè)，共10頁(yè)

40-先化簡(jiǎn),再求值：1+占,其中.的值為菱形,8°的面積,已知菱形

試卷第10頁(yè)，共10頁(yè)

1.西=4,無(wú)2=一2

【分析】此題主要考查了解一元二次方程的方法靈活運(yùn)用，熟練運(yùn)用方法是解答此題的關(guān)

鍵.運(yùn)用公式法求解即可.

【詳解】解：X2-2X-8=0,

?1,尤2—2x+1=9,

配方得：（x-l『=9,

x-l=3或x-l=-3,

解得：石=4,x2=-2.

2.l<x<3

【分析】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式的方法是解題的關(guān)

鍵.分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大

大小小找不到確定不等式組的解集.

無(wú)+2>3①

【詳解】解:

2x-L<5?

解不等式①得：尤>1

解不等式②得：x<3

此不等式組的解集為1<XW3.

3.1<x<2

【分析】本題考查解一元一次不等式組，先分別解不等式組中的一元一次不等式，再由“同

大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無(wú)解”求不等式組的解集即可得到答案，熟

練掌握一元一次不等式組解集的求法步驟是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

5x-3>2x①

【詳解】解：\2x-l無(wú)4

------〈一②

132

由①得xNl；

由②得x<2；

，不等式組的解集為：14x<2.

4.x<1

【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是解一元一次不等式組.分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口

訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無(wú)解了確定不等式組的解集即可.

答案第1頁(yè)，共27頁(yè)

4(x-l)<x+2

【詳解】解：x+11?,

1----6-----1>x

解不等式4(X-1)WX+2,得X42；

y-L11

解不等式三一-1>X,得X<1,

6

則不等式組的解集為X<1.

5.(1)X]=1+近居=1-6(2)2

【分析】本題考查了公式法解一元二次方程、實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則及運(yùn)算順

序是解此題的關(guān)鍵.

(1)利用配方法解一元二次方程即可；

(2)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)塞、絕對(duì)值的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即

可得出答案.

【詳解】(1)解：X2-2X-6=0,

**,—2x+1=6+1,

???(X-1)2=7,

則X-1=±S，

.1.Xy=1+無(wú)2=1—VT".

(2)解：原式=3-2x且+6一1

2

=3-用6-1

=2.

、ll、2

6.(1)玉=1+A/2,x2=1—v2；(2)—

【分析】本題考查了解一元二次方程、特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，熟練掌握配方法解一

元二次方程、特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

(1)利用配方法解方程即可；

(2)先代入特殊角的三角函數(shù)值，再根據(jù)零指數(shù)嘉、二次根式的運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】解：(1)x2-2x-l=0,

x2—2x=l,

x?-2x+1=1+1，

答案第2頁(yè)，共27頁(yè)

(x-1)2=2,

x—l=±V2,

解得：玉=1+V2,x2=l-V2；

(2)4sin60o+(^-3.14)°-Vi2-tan230o

=4x曰+1一2cH

=2用1-2

3

_2

"3,

7.(1)x=-l或x=：；(2)見(jiàn)解析

【分析】本題考查了解分式方程，證明同角三角函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)

用是解此題的關(guān)鍵.

(1)利用換元法解分式方程即可；

(2)利用平方差公式將cos%-sin4a化簡(jiǎn)，再結(jié)合cc^a+siYq=1即可得證.

Y—14

【詳解】(1)解：設(shè)了=土」，則原方程化為＞—-=0,

xy

方程兩邊同時(shí)乘丁得-4=0,

解得必=2,%=-2.

4

經(jīng)檢驗(yàn)，弘=2,%=-2都是方程/一；=0的解.

Y—1

當(dāng)＞=2時(shí)，——=2,解得x=T：

X

Y—11

當(dāng)＞=—2時(shí)，」=—2,解得x=

x3

經(jīng)檢驗(yàn)，x=T或x=；都是原分式方程的解.

二原分式方程的解為X=-1或x=g.

(2)證明：vcos4tz-sin4tz=(cos2a-sin2tz^cos2tz+sin2^^；

Xcos2?+sin2tz=1；

???cos4tz-si.n4a=cos?tz-sm?2a.

答案第3頁(yè)，共27頁(yè)

8.(1)4-6；(2)x=|

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解分式方程，熟練掌握分式方程的解法是解答本題的

關(guān)鍵.

(1)先逐項(xiàng)化簡(jiǎn)，再算加減；

(2)兩邊都乘以2@-2)化為整式方程求解，然后驗(yàn)根即可.

【詳解】解：⑴槨一2、肪5T-2|

=2-73+3+1-2

=4-73;

(2)-^―---

2x—4x—22

兩邊都乘以2(x-2),得

3—2,x=x—2,

解得x=g,

檢驗(yàn)：當(dāng)工=；時(shí)，2(x-2)w0,

.?"=g是分式方程的解.

9.(1)3；(2)x=-2

【分析】本題考查了零次累，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，解分式方程，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)零次塞，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，進(jìn)而進(jìn)行實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算即可；

(2)乘以公分母x(x-3),去分母，化為整式方程，進(jìn)而求解即可，注意最后要檢驗(yàn).

【詳解】解：(1)(-2丫+(3.14-兀-2|

=4+1-2

二3；

(2)方程兩邊乘(％-3)得：

2x=(x—3)+1,

解得：x=-2,

檢驗(yàn)：當(dāng)工=-2時(shí)工-3。0.

所以，原分式方程的解為x=-2.

答案第4頁(yè)，共27頁(yè)

10.(1)5(2)-2<X<0,數(shù)軸見(jiàn)解析

【分析】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)累，絕對(duì)值，特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的化簡(jiǎn)，解不

等式組，掌握這些知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵.

(1)先算出負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，絕對(duì)值，特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的化簡(jiǎn)，最后進(jìn)行加

減運(yùn)算；

(2)解不等式①，得》>-2,解不等式②，得x<0,最后借助數(shù)軸求出這個(gè)不等式組的

解集.

【詳解】解：⑴(-1)2°19+^-1^|-|2-V12|+4sin60o

=-1+4+2-2A/3+4X^-

2

=-1+4+2-2用2道

=5；

2x-3>x-5①

⑵生±2一x②，

[3

解不等式①得，x>-2,

解不等式②得，尤<0,

把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)如圖：

,,,[，1......................................r-■原不等式組的解集為-2<x<0.

-5-4-3-2-1012345

11.見(jiàn)解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，先根據(jù)平行線性

質(zhì)得出=然后根據(jù)AAS證明△4D8也得出8。=DC,最后根據(jù)等

邊對(duì)等角即可得證.

【詳解】證明：???/3〃。

:.ZABD=ZEDC(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)

在AaoB和AECD中

ZADB=NECD

<ZABD=ZEDC

AD=EC

答案第5頁(yè)，共27頁(yè)

:AADBm△ECD(AAS)

BD=DC,

:.ZDBC=ZDCB.

12.34

【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)得出放=ZBED=9Q0,證明

△/￡8四△CZ)￡(AAS),由全等三角形的性質(zhì)得出求出的長(zhǎng)，由三角形面積公

式可得出答案.本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì),

證明“仍知CDE是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：是等腰直角三角形，

BE=DE,ABED=90°,

；.NAEB+NCED=90。,

-BALAC,

???/4=90。，

??"AEB+/ABE=9G。,

/ABE=ZCED,

-DC//BA,

ZC=1800-ZA=90°=ZA,

；.AAEB烏ACDE(AAS),

CD=AE,

■.-AC=10,CD=8,

AE=8,CE=10-8=2,

在RtADCE中，由勾股定理得：DE2=EC2+CD2=68,

2

S^BDE=^DE=34.

13.見(jiàn)解析

【分析】本題考查全等三角形的判定與平行線的判定，先證A/BC也AEED(SAS),得出

NACB=NEDF,則N/CO=N￡OC,再由平行線的判定即可得出結(jié)論.

【詳解】證明：在△4BC和中，

答案第6頁(yè)，共27頁(yè)

AB=EF

<ZCAB=ZDEF,

AC=ED

.-.^ABC^EFD(SAS),

："ACB=AEDF,

ZACD=ZEDC,

.-.AC//DE.

14.證明見(jiàn)解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解

題的關(guān)鍵.根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：在△4BC與中，

ZABC=ABAD

<AB=BA

ABACAABD

.“BAC知ABD(ASA)

.-.AC=BD

15.見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定，解題關(guān)鍵是正確識(shí)別圖形，熟

練找出和AECB的全等條件.

根據(jù)正方形的性質(zhì)證明=NABE=NCBE,然后根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行證

明即可.

【詳解】證明：???四邊形/5C。為正方形，

AB=BC,/ABE=NCBE=45°,

在AEAB和&ECB中，

AB=CB

，AABE=NCBE,

BE=BE

.“EAB知ECB(SAS).

16.見(jiàn)解析

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)

答案第7頁(yè)，共27頁(yè)

鍵，根據(jù)BE=FC,可推出AF=EC,再利用SAS證得△相尸父△OCE,從而得到

ZA=ND.

【詳解】解：???AE=FC,

:.BE+EF=FC+EF,

即BF=EC,

在￡ABF和ADCE中，

AB=DC

<NB=NC

BF=EC

:.AABF^ADCE(SAS),

ZA=ND.

17.V5

【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，利用正弦值求邊長(zhǎng)，勾股定理，利用垂直平分線的

性質(zhì)得出4）=5,進(jìn)一步求出CD=3,再利用勾股定理求出再利用正弦函數(shù)建立

等式求解即可.

【詳解】解：?.?。石垂直平分/8,

BD=AD,ZDEB=90°.

■：BD=5,

AD=5.

3

VsmZDAC^-,/C=90°,

5

CD=ADsinZDAC=3.

.,.在RtA/lDC中，

AC=AD2-DC2=A/52-32=4-

.?.在Rt^4BC中，

AB=SJAC2+BC2=W+（5+3）2=4右.

.cDEACDE4

SIILD==，即an―-——產(chǎn)

BDAB54。5

DE=.

18.見(jiàn)解析

答案第8頁(yè)，共27頁(yè)

【分析】本題考查了相似三角形的判定，垂直的定義，余角的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的

判定定理是解題的關(guān)鍵.根據(jù)垂直的定義得到，根據(jù)余角的性質(zhì)得到，由相似三角形的判定

定理即可得到結(jié)論.

【詳解】證明：???NNC8=90°,

.?.//+4=90°,

???CD是AB邊上的高，

NADC=ZBDC=90°,

.-.ZA+ZACD=90°,

：.NACD=NB,

:./\ACD^/\CBD.

19.見(jiàn)解析

【分析】本題考查考查相似三角形的判定，中位線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法

AT)Ap1

是解題的關(guān)鍵.方法一：利用先得出二互=力=7,再結(jié)合44=//即可證明；方法二：

ADZC2

先證明DE是△ABC的中位線，得出。E〃8C,即可證明.

【詳解】證明：方法一：：。、E分別是4B、NC的中點(diǎn)，

AD=—AB,AE=—AC,

22

ADAE1

,,下一就一5'

:./\ADE^/XABC；

方法二：?：D、￡分別是N2、NC的中點(diǎn)，

DE//BC,

:./\ADEs^ABC.

20.見(jiàn)詳解

【分析】本題主要考查圓的切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，連接

BA,BC,OB，根據(jù)等邊對(duì)等角得/0/2=/。氏4,根據(jù)切線的性質(zhì)得出。3，尸￡>,根據(jù)圓

周角定理得出/48C=90。，證出/D2C=/D4B,證明ADBCSA.B,根據(jù)相似三角形的

性質(zhì)即可證明.

【詳解】證明：如圖，連接B4,BC,OB,

答案第9頁(yè)，共27頁(yè)

A

OA=OB,

NOAB=NOBA,

???05是。。的切線,

；.0B上PD,BPZOBC+ZDBC=90°,

???4。是O。的直徑,

:.ZABC=90°,

:.ZABO+ZCBO=90°,

/ABO=ZCBD,

ZDBC=NDAB,

又???/￡)=ND,

:ADBCS八DAB,

DCDB

'~DB~~DAy

:.DB2=DCDA.

21.(1)見(jiàn)解析;

(2)直線與圓。有1個(gè)公共點(diǎn).

【分析】(1)作線段BC,的垂直平分線，相交于點(diǎn)。，以點(diǎn)。為圓心，。3的長(zhǎng)為半

徑畫圓，再作N/8C的平分線2。，交圓。于點(diǎn)。，則圓。和3D即為所求；由角平分線的

定義可得乙4BD=NCBD,由圓周角定理得ZAaD=N/CD,ZCBD=ACAD,可得

ZACD=NCAD,則/。=。；

(2)連接?！?,由題意得CD=CM,ZDCF+ZCDF=90°,則/CD"=/CM),進(jìn)而可

得NCBD+/DCF=90°,即/BDC=90。，可知8C為圓。的直徑.根據(jù)題意以及角平分線

的定義可得乙48D=/OD3,則進(jìn)而可得/。￡見(jiàn)=90。，則可得為圓。的切

線，從而可知直線OE與圓。有1個(gè)公共點(diǎn).

【詳解】(1)解：作線段BC,AB的垂直平分線，相交于點(diǎn)。，以點(diǎn)。為圓心，OB的

長(zhǎng)為半徑畫圓，

答案第10頁(yè)，共27頁(yè)

再作』A8C的平分線AD,交圓。于點(diǎn)。，則圓。和AD即為所求,

、///\

???B。為。的平分線，

/ABD=ZCBD,

?；NABD=/ACD,ZCBD=ZCAD,

:"ACD=/CAD,

AD=CD；

(2)解：連接。。,

E;

燈、

東'

、///\\

?；AD=CD,AD=CM,

CD=CM,

?.ZCDM=ZCMD,

???DFLBC,

NDFC=90。,

二./DCF+/CDF=90。,

ACMD+ZDCF=90°,

???ZCMD=ZCBD,

:"CBD+/DCF=90。,

ZBDC=90°,

??.BC為圓。的直徑，

OB-OD,

/.ZOBD=ZODB,

?.?8。為的平分線,

答案第11頁(yè)，共27頁(yè)

NABD=ZOBD,

ZABD=ZODB,

OD//AB,

:.NDEB+NODE=180。,

???DEVBA,

NDEB=90°,

NODE=90°,

OD1DE,

-：OD為圓。的半徑，

：.DE為圓。的切線，

???直線DE與圓。有1個(gè)公共點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是尺規(guī)作圖-作垂直平分線、作圓、作角平分線、等邊對(duì)等角、

角平分線的定義、證明圓的切線、直線與圓的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟練掌握尺規(guī)作圖的方

法.

22.⑴見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)作8c的垂直平分線，垂足為。，以。為圓心，OC為半徑作。。即可；

(2)連接。P,OD,CD.證明ODLPD即可.

【詳解】(1)解：如圖所示，AD為所求

(2)證明：如圖，連接。。，CD,

BC為直徑

答案第12頁(yè)，共27頁(yè)

ABDC=90°,

?.?尸點(diǎn)為比A4DC斜邊上的中線，

PC=PD,

N3=N4,

OC=OD,

Z1=Z2,

Z2+Z4=Z1+Z3=9O°,

OC1PC,

:.PD是。。的切線.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，圓周角定理，切線的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈

活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

23.(1)見(jiàn)解析

(2)4

【分析】(1)結(jié)合角平分線的性質(zhì)以及切線的判定與性質(zhì)，作//2C的平分線，交ZC于點(diǎn)

O,以點(diǎn)。為圓心，OC的長(zhǎng)為半徑畫圓，則。。即為所求.

(2)設(shè)。。與相切于點(diǎn)。，連接可得OC=OD,ZADO=ZACB=90°,進(jìn)而可

4

得NAOD=NABC,則34430=＜：05乙40￡?=不設(shè)。0的半徑為『，則OC=OZ)=r,

ODr4,

OA=AC-OC=9-r,cosZAOD=——=-----=-,求出r的值即可.

OA9-r5

【詳解】(1)解：如圖，作//BC的平分線，交NC于點(diǎn)。，以點(diǎn)。為圓心，OC的長(zhǎng)為半

徑畫圓，

則。。即為所求.

(2)設(shè)。。與相切于點(diǎn)。，連接OD,

答案第13頁(yè)，共27頁(yè)

OC=OD,ZADO=ZACB=90°,

ZAOD+ZA=ZABC+ZA=90°,

ZAOD=/ABC,

4

/.cos/ABC=cosZAOD=—.

設(shè)。。的半徑為「，

則0c=OD=r,OA=AC-OC=9-r,

ODr4

cosZAOD=—=——=-,

OA9-r5

解得r=4,

經(jīng)檢驗(yàn)，r=4是原方程的解且符合題意，

.??。。的半徑為4.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖一復(fù)雜作圖、角平分線的性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)、解直角三角形,

解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

24.⑴見(jiàn)解析

(2)26+2

【分析】題目主要考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解三角形，理解題意，作

出輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題意作一/8。的平分線即可；

（2）過(guò)點(diǎn)C作根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出

NABC=NACB=75"A=ND=30。,再由三角形外角的性質(zhì)得出/OEC=45。，利用等

腰直角三角形的性質(zhì)得出EF=CF=2,再由正切函數(shù)求解即可.

【詳解】（1）解：作/N8D的平分線，交/C于點(diǎn)E,射線8E即為所求；

答案第14頁(yè)，共27頁(yè)

A

(2)過(guò)點(diǎn)C作CFLDE,如圖所示：

???等腰△48。中，乙4二30。，沿射線仍折疊△/8C,使點(diǎn)4恰好落在5C的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)。

處，

??.ZABC=NACB=75°,N4=ND=30°,

.?./?！?。=75。-30。=45。，

：.NECF=NDEC=45。,

:,EF=CF,

?；CE=2亞，

:?EF=CF=2,

CF

tanND—-----,

DF

???DF=2拒，

???DE=2道+2.

25.(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)因?yàn)樵谄叫兴倪呅?BCD中，AF=CD,故/8=Cr>=N/，以點(diǎn)/為圓心,

/尸為半徑，畫弧，分別與4D、交于點(diǎn)尸和3,再以點(diǎn)尸和8為圓心，大于;五8為半

徑畫弧，交于一點(diǎn)，然后連接力和這個(gè)交點(diǎn)，并延長(zhǎng)交8C于一點(diǎn)，即為點(diǎn)E,即可作答.

(2)由尺規(guī)作NA4F的角平分線的過(guò)程可得，AB=AF,=根據(jù)平行四邊

形的性質(zhì)可得/"石=//班，然后證明/尸=8E,進(jìn)而可得四邊形/8EF為平行四邊形，

再由N8=4廠可得四邊形ABEF為菱形；

此題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是掌握

一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

【詳解】(1)解：如圖所示：

答案第15頁(yè)，共27頁(yè)

(2)證明：由尺規(guī)作NA4方的角平分線的過(guò)程可得，/BAE=/FAE,

??,四邊形ABCD是平行四邊形,

AD//BC,AB=CD,

???ZFAE=ZAEB,

???/BAE=ZAEB,

AB=BE,

???AF=CD,

BE-FA,

二四邊形ZBE尸為平行四邊形，

AB=AF,

二四邊形”跖為菱形.

26.(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)角的平分線的基本作圖，規(guī)范求作即可.

(2)利用角的平分線定義，等邊對(duì)等角，三角形外角性質(zhì)，平行線的判定，證明8川〃/C

即可.

【詳解】(1)解：根據(jù)角的平分線的基本作圖，畫圖如下：

則即為所求.

(2)證明：=

ABAC=ZBCA,

vZCBD的平分線BM,

ZDBM=4cBM

答案第16頁(yè)，共27頁(yè)

VZCBD=ZBAC+ZBCA=2ABAC,NCBD=NDBM+NCBM=2ZDBM,

ZDBM=ZBAC,

.-.BMHAC.

【點(diǎn)睛】本題考查了角的平分線的基本作圖，平行線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外

角性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)和作圖是解題的關(guān)鍵.

27.(1)見(jiàn)解析

⑵12

【分析】本題考查了基本作圖，解直角三角形，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，熟練掌握

以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

(1)以點(diǎn)A為圓心，大于點(diǎn)A到02距離的一半為半徑畫弧，交。于點(diǎn)。、E,再分別以

點(diǎn)。、E為圓心，大于為半徑，在的另一側(cè)畫弧交于點(diǎn)尸，連接/尸交08于點(diǎn)

C,NC即為所求；

3

(2)根據(jù)題意可求得OC,結(jié)合tanZOAC=~,可求得/C,從而得到點(diǎn)A的

4

坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)即可求得左的值.

【詳解】(1)解：以點(diǎn)A為圓心，大于點(diǎn)A到08距離的一半為半徑畫弧，交OB于點(diǎn)、D、

E,再分別以點(diǎn)。、E為圓心，大于:為半徑，在的另一側(cè)畫弧交于點(diǎn)尸，連接/尸

3

???AC上OB,tanZOAC=-

4f

OC3

/.tanZOAC=——

AC4

答案第17頁(yè)，共27頁(yè)

，/(3,4),

k

???反比例函數(shù)y=2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,

X

.??=3x4=12.

28.(1)證明見(jiàn)解析

(2)作圖見(jiàn)解析

【分析】(1)由/4DC=/A8C,ZA=ZC,結(jié)合四邊形內(nèi)角和得/4DC+/4=180。,

ZC+NADC=180。，進(jìn)而可證四邊形N8C。是平行四邊形；

(2)作8。的垂直平分線，分別交邊BC,AD于點(diǎn)、E,尸即可.

【詳解】(1)證明：ZADC=ZABC,ZA=ZC5.ZADC+ZABC+ZA+ZC=360°,

ZADC+ZA=180°,ZC+ZADC=180°,

.-.AD//BC,AB//CD,

???四邊形/2CD是平行四邊形；

(2)解:如圖所示：菱形AED尸即為所求.

BE=DE,BF=DF,BO=DO.

?.?四邊形/BCD是平行四邊形，

AD//BC,

ZODF=NOBE,ZDFO=ABEO,

.-.ADOF^BOE(AAS),

DF=BE,

*'?BE-DE=BF=DF,

二四邊形AEZ?尸是菱形.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定，作線段的垂直平分線，菱形的判定，全等三角形

答案第18頁(yè)，共27頁(yè)

的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊，熟練的利用菱形的判定進(jìn)行作圖是解本題的關(guān)鍵.

29.(1)作圖見(jiàn)詳解

⑵作圖見(jiàn)詳解，PB=—

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，角平分線，垂線，考查了角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理,

熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

(1)由點(diǎn)尸到犯的距離(尸。的長(zhǎng))等于PC的長(zhǎng)知點(diǎn)尸在N8/C平分線上，再根據(jù)角平分

線的尺規(guī)作圖即可得；

(2)根據(jù)過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線的尺規(guī)作圖即可得，先對(duì)RtZk/BC運(yùn)用勾股定理

求得AB=13,可得RM/PC之RtUPD,T^PC=PD=X,貝｝|82=12-苫，在RMAD尸中，

由勾股定理得：X2+82=(12-X)2,解方程即可.

【詳解】(1)解：如圖，點(diǎn)尸即為所求：

由作圖知力產(chǎn)平分NCAB,

?；NC=9Qo,PDLAB,

:.PC=PD,

■：AP=AP,

.-.Ri^APC^R^APD,

■.AC=AD=5,

.?.80=13-5=8,

答案第19頁(yè)，共27頁(yè)

設(shè)PC=PD=x,則BP=12-x,

在RtAbD尸中，由勾股定理得：X2+82=(12-X)2,

解得：

.-.PB=n--=—.

33

30.⑴見(jiàn)解析

⑵18G

【分析】(1)①以N為圓心，以4D長(zhǎng)為半徑畫弧，交48于點(diǎn)E,則NE=4D；

②根據(jù)角的平分線的基本作圖，解答即可；

③用直尺連接斯.

(2)先證明四邊形NEED是菱形，再過(guò)。作。GL/8交于G,結(jié)合已知，利用菱形的

面積公式計(jì)算即可.

本題考查了常見(jiàn)的基本作圖，菱形的判定和性質(zhì)，熟練掌握基本作圖，菱形的判定是解題的

關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：所求圖形，如圖所示.

(2)解：???根據(jù)作圖，AF平分NB4D,則=尸，

又AE=AD,AF=AF,

???AADF^^AEF,

???DF=EF,

又DFHAE,

???ZDFA=/LEAF,

答案第20頁(yè)，共27頁(yè)

???ZDFA=ZDAF,

DF—AD,

?*.DF二AD=FE=EA,

，四邊形4EFD是菱形，

過(guò)。作DG_L48交4B于G,

又440=60。，40=6,

AE=AD=6,

DG=ADsin600=6x—^3y/3,

2

二菱形的面積為6、36=186.

【分析】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是

解題的關(guān)鍵.

（1）按照分式化簡(jiǎn)的步驟化簡(jiǎn)即可；

（2）將點(diǎn)尸代入反比例函數(shù)解析式，再整體代入即可的解.

4

【詳解】（1）解：T

m+1m2-1

m+1-1(m+l)(m-l)

m+1

—1)

m-m

2

（2）,.?點(diǎn)p（刃,加T）在反比例函數(shù)了=—的圖象上,

X

即加（加一1）=機(jī)2一加=2

32.⑴。＜4

答案第21頁(yè)，共27頁(yè)

【分析】本題考查根的判別式，分式的化簡(jiǎn)求值：

(1)根據(jù)方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根得到△>(),進(jìn)行求解即可；

(2)先通分計(jì)算括號(hào)內(nèi)，除法變乘法，化簡(jiǎn)后，代入一個(gè)使分式有意義的值，計(jì)算即可.

【詳解】(1)由題可知：A=(-4)2-4a>0

解得：Q<4;

⑵八2+“+2Q?—2Q+1

。一2

3+(a+2)(a-2)(。-球

。一2。一2

a2—1?！?

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Q+1

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