2025年深圳市中考招生考試數(shù)學真題試卷（真題+答案）

2025年廣東省深圳市中考數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，每小題有四個選項，其中只有一個是正確的）1．（3分）節(jié)約水5噸記作+5噸，則浪費水2噸記作（）A．﹣3噸 B．+2噸 C．﹣2噸 D．+3噸2．（3分）如圖為出現(xiàn)在深圳街頭的新型無線充電石墩，關(guān)于石墩的三視圖的描述，正確的是（）A．主視圖和左視圖相同 B．主視圖和俯視圖相同 C．左視圖和俯視圖相同 D．三個視圖都相同3．（3分）某校進行《九章算術(shù)》，《周髀算經(jīng)》，《孫子算經(jīng)》，《算法統(tǒng)宗》四本書的長文本閱讀活動，小聰從中任取一本，恰好抽到《九章算術(shù)》的概率為（）A．12 B．13 C．144．（3分）如圖為人行天橋的示意圖，若高BC長為10米，斜道AC長為30米，則sinA的值為（）A．223 B．3 C．245．（3分）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)2+a4＝a6 B．a(chǎn)3?a3＝a6 C．（a2）3＝a5 D．（a+b）2＝a2+b26．（3分）如圖為小穎在試鞋鏡前的光路圖，入射光線OA經(jīng)平面鏡后反射入眼，若CB∥OA，∠CBO＝122°，∠BON＝90°，則入射角∠AON的度數(shù)為（）A．22° B．32° C．35° D．122°7．（3分）某社區(qū)植樹60棵，實際種植人數(shù)是原計劃人數(shù)的2倍，實際平均每人種植棵數(shù)比原計劃少了3棵．若設原計劃人數(shù)為x人，則下列方程正確的是（）A．60x?602x=3C．60x=2×60x+3 8．（3分）如圖，將正方形ABCD沿EF折疊，使得點A與對角線的交點O重合，EF為折痕，則EFCGA．14 B．12 C．22二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）9．（3分）若關(guān)于x的方程x+a＝5的解為x＝1，則a＝．10．（3分）如圖，將無人機沿著x軸向右平移3個單位，若無人機上一點P的坐標為（1，2），則平移后對應點P′的坐標為．11．（3分）計算：a2a+112．（3分）如圖，同一平面直角坐標系下的正比例函數(shù)y＝ax與反比例函數(shù)y=2?ax相交于點A和點B．若A的橫坐標為1，則B的坐標為13．（3分）如圖，以矩形ABCD的B點為圓心，BC的長為半徑作⊙B，交AB于點F，點E為AD上一點，連接CE，將線段CE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)至EG，點G落在⊙B上，且點F為EG中點．若AF＝1，AE＝3，則CD的長為．三、解答題（本題共7小題，共61分）14．（6分）計算：16+|﹣3|+（π﹣3.14）0+（﹣1）202515．（7分）解一元一次方程組2x≥x?1①1解：由不等式①得：，由不等式②得：，在數(shù)軸上表示為：所以，原不等式組的解集為．16．（8分）某班級擬開展科技主題班會活動，現(xiàn)從“科技安全”，“科技暢想”，“科技生活”，“科技前沿”，“科技故事”中挑選一個主題．全班同學通過投票選出最受歡迎的主題，投票結(jié)果的條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖如下：請根據(jù)以上信息，完成下列問題：（1）本次投票共人參與，其中科技安全所占百分比為，并補全條形統(tǒng)計圖．（2）為確定班會科技主題，從該班選擇7名學生代表為“科技暢想”和“科技故事”打分，分數(shù)列表如下：科技暢想109936910科技故事91078688平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)科技暢想ab9科技故事88c求表中的數(shù)據(jù)：a＝，b＝，c＝．（3）結(jié)合上述信息，班會課應該選擇哪個科技主題，并說明理由．17．（8分）某學校采購體育用品，需要購買三種球類．已知某體育用品商店排球的單價為30元/個，籃球，足球的價格如表：①籃球、足球、排球各買一個的價格為140元②購買2個足球的價格比購買一個籃球多花費40元③購買5個籃球與購買6個足球花費相同（1）請你從上述3個條件中任選2個作為條件，求出籃球和足球的單價；（2）若該學校要購買籃球，足球共10個，且足球的個數(shù)不超過籃球個數(shù)的2倍，請問購買多少個籃球時花費最少，最少費用是多少？18．（10分）如圖1，在Rt△ABC中，D是AB的中點，AE＝CD，AD＝EC．（1）求證：四邊形ADCE為菱形；（2）如圖2，若點O為AC上一點，且E，A，D三點均在⊙O上，連接OD，CD與⊙O相切于點D，①求∠ACD＝；②求⊙O的半徑r；（3）利用圓規(guī)和無刻度直尺在圖2中作射線DF∥AC，交BC于點F，保留作圖痕跡，不用寫出作法和理由．19．（10分）綜合與實踐【問題背景】排隊是生活中常見的場景．如圖，某數(shù)學小組針對某次演出，研究了排隊人數(shù)與安檢時間，安排通道數(shù)之間的關(guān)系．【研究條件】條件1：觀眾進場立即排隊安檢，在任意時刻都滿足：排隊人數(shù)＝現(xiàn)場總?cè)藬?shù)﹣已入場人數(shù)；條件2：若該演出場地最多可開放9條安檢通道，平均每條通道每分鐘可安檢6人．【模型構(gòu)建】若該演出前30分鐘開始進行安檢，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)場總?cè)藬?shù)y與安檢時間x之間滿足關(guān)系式：y＝﹣x2+60x+100（0≤x≤30）．結(jié)合上述信息，請完成下述問題：（1）當開通3條安檢通道時，安檢時間x分鐘時，已入場人數(shù)為，排隊人數(shù)w與安檢時間x的函數(shù)關(guān)系式為．【模型應用】（2）在（1）的條件下，排隊人數(shù)在第幾分鐘達到最大值，最大人數(shù)為多少？（3）已知該演出主辦方要求：①排隊人數(shù)在安檢開始10分鐘內(nèi)（包含10分鐘）減少；②盡量少安排安檢通道，以節(jié)省開支．若同時滿足以上兩個要求，可開設幾條安檢通道，請說明理由？【總結(jié)反思】函數(shù)可刻畫生活實際場景，但要注意驗證模型的正確性，未來可結(jié)合更多變量（如突發(fā)情況、安檢流程優(yōu)化等）進行更深入的分析，以提高模型的準確性和實用性．20．（12分）綜合與探究【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，小軍用兩個大小不同的等腰直角三角板拼接成一個四邊形．【抽象定義】以等腰三角形的一腰為邊向外作等腰三角形，使該邊所對的角等于原等腰三角形的頂角，此時該四邊形稱為“雙等四邊形”，原等腰三角形稱為四邊形的“伴隨三角形”．如圖2，在△ABC中，AB＝AC，AC＝AD，∠D＝∠BAC．此時，四邊形ABCD是“雙等四邊形”，△ABC是“伴隨三角形”．【問題解決】如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AC，AD＝CD，∠D＝∠BAC．求：①AD與BC的位置關(guān)系為：；②AC2AD?BC．（填“＞”，“＜”或“＝”）【方法應用】①如圖4，在△ABC中，AC＝BC．將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ADE，點D恰好落在BC邊上，求證：四邊形ABDE是雙等四邊形．②如圖5，在等腰三角形ABC中，AC＝BC，cosB=35，AB＝5，在平面內(nèi)找一點D，使四邊形ABCD是以△ABC為伴隨三角形的雙等四邊形，若存在，請求出

2025年廣東省深圳市中考數(shù)學試卷（回憶版）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案CACDBBAD一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，每小題有四個選項，其中只有一個是正確的）1．（3分）節(jié)約水5噸記作+5噸，則浪費水2噸記作（）A．﹣3噸 B．+2噸 C．﹣2噸 D．+3噸【分析】用正負數(shù)表示兩種具有相反意義的量，據(jù)此即可得出答案．【解答】解：節(jié)約水5噸記作+5噸，則浪費水2噸記作﹣2噸，故選：C．【點評】本題考查正數(shù)和負數(shù)，理解具有相反意義的量是解題的關(guān)鍵．2．（3分）如圖為出現(xiàn)在深圳街頭的新型無線充電石墩，關(guān)于石墩的三視圖的描述，正確的是（）A．主視圖和左視圖相同 B．主視圖和俯視圖相同 C．左視圖和俯視圖相同 D．三個視圖都相同【分析】根據(jù)三視圖的定義求解即可．【解答】解：這個石墩的主視圖與左視圖相同，俯視圖與主視圖和左視圖不相同．故選：A．【點評】此題主要考查了簡單幾何體的三視圖，正確把握觀察的角度是解題關(guān)鍵．3．（3分）某校進行《九章算術(shù)》，《周髀算經(jīng)》，《孫子算經(jīng)》，《算法統(tǒng)宗》四本書的長文本閱讀活動，小聰從中任取一本，恰好抽到《九章算術(shù)》的概率為（）A．12 B．13 C．14【分析】直接由概率公式求解即可．【解答】解：∵某校進行《九章算術(shù)》，《周髀算經(jīng)》，《孫子算經(jīng)》，《算法統(tǒng)宗》四本書的長文本閱讀活動，∴小聰從中任取一本，恰好抽到《九章算術(shù)》的概率為14故選：C．【點評】本題考查了概率公式：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．熟記概率公式是解題的關(guān)鍵．4．（3分）如圖為人行天橋的示意圖，若高BC長為10米，斜道AC長為30米，則sinA的值為（）A．223 B．3 C．24【分析】根據(jù)正弦三角函數(shù)的概念，結(jié)合圖形，可得到結(jié)果．【解答】解：在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，BC＝10米，AC＝30米，∴sinA=BC故選：D．【點評】本題考查了正弦三角函數(shù)的應用，熟練掌握正弦三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．5．（3分）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)2+a4＝a6 B．a(chǎn)3?a3＝a6 C．（a2）3＝a5 D．（a+b）2＝a2+b2【分析】利用完全平方公式，合并同類項，同底數(shù)冪乘法，冪的乘方法則逐項判斷即可．【解答】解：a2與a4不是同類項，無法合并，則A不符合題意，a3?a3＝a6，則B符合題意，（a2）3＝a6，則C不符合題意，（a+b）2＝a2+2ab+b2，則D不符合題意，故選：B．【點評】本題考查完全平方公式，合并同類項，同底數(shù)冪乘法，冪的乘方，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．6．（3分）如圖為小穎在試鞋鏡前的光路圖，入射光線OA經(jīng)平面鏡后反射入眼，若CB∥OA，∠CBO＝122°，∠BON＝90°，則入射角∠AON的度數(shù)為（）A．22° B．32° C．35° D．122°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CBO＝∠BOA＝122°，結(jié)合圖形即可求解．【解答】解：∵CB∥OA，∴∠CBO＝∠BOA＝122°，∵∠BON＝90°，∴∠AON＝122°﹣90°＝32°，故選：B．【點評】本題考查利用平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)，結(jié)合圖形求解是解題關(guān)鍵．7．（3分）某社區(qū)植樹60棵，實際種植人數(shù)是原計劃人數(shù)的2倍，實際平均每人種植棵數(shù)比原計劃少了3棵．若設原計劃人數(shù)為x人，則下列方程正確的是（）A．60x?602x=3C．60x=2×60x+3 【分析】由實際與原計劃種植人數(shù)間的關(guān)系，可得出實際種植人數(shù)為2x人，利用人均種植棵數(shù)＝種植總數(shù)÷種植人數(shù)，結(jié)合實際平均每人種植棵數(shù)比原計劃少了3棵，即可列出關(guān)于x的分式方程，此題得解．【解答】解：∵實際種植人數(shù)是原計劃人數(shù)的2倍，且原計劃人數(shù)為x人，∴實際種植人數(shù)為2x人．根據(jù)題意得：60x故選：A．【點評】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．8．（3分）如圖，將正方形ABCD沿EF折疊，使得點A與對角線的交點O重合，EF為折痕，則EFCGA．14 B．12 C．22【分析】先由四邊形ABCD是正方形，得出∠BAC＝∠DAC＝45°，OA＝OC=12AC，再結(jié)合折疊性質(zhì)證明四邊形AEOF是正方形，因此EF＝AO=12AC，GO＝AG=12OA=14【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠DAC＝45°，OA＝OC=1由折疊可得，AO⊥EF，AG＝GO，∠EOA＝∠EAO＝45°，∠FOA＝∠FAO＝45°，AE＝OE，AF＝FO，∴AE∥OF，AF∥OE，∠EOF＝90°，∴四邊形AEOF是正方形，∴EF＝AO=12AC，GO＝AG=∴CG＝CO+OG=1∴EFCG故選：D．【點評】本題考查了翻折變換，正方形的性質(zhì)，勾股定理，證明四邊形AEOF是正方形是本題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）9．（3分）若關(guān)于x的方程x+a＝5的解為x＝1，則a＝4．【分析】把x＝1代入方程x+a＝5，得1+a＝5，根據(jù)解一元一次方程的方法求解即可．【解答】解：∵關(guān)于x的方程x+a＝5的解為x＝1，∴1+a＝5，解得：a＝4．故答案為：4．【點評】本題考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程解的定義，解一元一次方程的方法是解題的關(guān)鍵．10．（3分）如圖，將無人機沿著x軸向右平移3個單位，若無人機上一點P的坐標為（1，2），則平移后對應點P′的坐標為（4，2）．【分析】根據(jù)點的平移規(guī)律即可求解．【解答】解：由題意得：將點P（1，2）沿著x軸向右平移3個單位，∴平移后點P的坐標為（1+3，2），即（4，2），故答案為：（4，2）．【點評】本題考查了坐標與圖形平移變換，解題關(guān)鍵在于掌握左右移動改變點的橫坐標，左減，右加；上下移動改變點的縱坐標，下減，上加．11．（3分）計算：a2a+1?1【分析】將分子相減并因式分解后再約分即可．【解答】解：原式==(a+1)(a?1)＝a﹣1，故答案為：a﹣1．【點評】本題考查分式的加減法，熟練掌握其運算法則是解題的關(guān)鍵．12．（3分）如圖，同一平面直角坐標系下的正比例函數(shù)y＝ax與反比例函數(shù)y=2?ax相交于點A和點B．若A的橫坐標為1，則B的坐標為【分析】根據(jù)A的橫坐標為1，求出a的值，進而求出A點坐標，再根據(jù)對稱性求出點B的坐標即可．【解答】解：令ax=2?a∵同一平面直角坐標系下的正比例函數(shù)y＝ax與反比例函數(shù)y=2?ax相交于點A和點B，A的橫坐標為1，∴a＝1，∴y＝x，∴當x＝1時，y＝x＝1，∴A（1，1），∵正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象均關(guān)于原點對稱，∴點A，B關(guān)于原點對稱，∴B（﹣1，﹣1）；故答案為：（﹣1，﹣1）．【點評】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點問題，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識的靈活運用．13．（3分）如圖，以矩形ABCD的B點為圓心，BC的長為半徑作⊙B，交AB于點F，點E為AD上一點，連接CE，將線段CE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)至EG，點G落在⊙B上，且點F為EG中點．若AF＝1，AE＝3，則CD的長為6．【分析】由矩形的性質(zhì)得∠A＝∠D＝90°，由勾股定理得EF=AE2+AF2=32+12=10，所以，EC=EG=2EF=210，再證明△EAF∽△CDE，可得CD：DE＝3：1，設DE【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°；在Rt△AEF中，AE＝3，AF＝1，∠A＝90，∴EF=A∵點F是EG的中點，∴EG=2EF=210由旋轉(zhuǎn)得，CE=EG=210，∠CEG∴∠AEF+∠CED＝90°，又∵∠CED+∠DCE＝90°，∴∠AEF＝∠DCE，又∵∠D＝∠A＝90°，∴△EAF∽△CDE，∴CDDE∵AE＝3，AF＝1，∴CDDE即CD＝3DE，設DE＝m，則CD＝3m，在Rt△CDE中，DE2+CD2＝CE2，∴m2解得x＝2（負值舍去），∴CD＝3×2＝6．故答案為：6．【點評】本題主要考查矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共7小題，共61分）14．（6分）計算：16+|﹣3|+（π﹣3.14）0+（﹣1）2025【分析】利用算術(shù)平方根的定義，絕對值的性質(zhì)，零指數(shù)冪，有理數(shù)的乘方法則計算后再算加減即可．【解答】解：原式＝4+3+1﹣1＝8﹣1＝7．【點評】本題考查實數(shù)的運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．15．（7分）解一元一次方程組2x≥x?1①1解：由不等式①得：x≥﹣1，由不等式②得：x＜4，在數(shù)軸上表示為：所以，原不等式組的解集為﹣1≤x＜4．【分析】分別求出每個不等式的解集，再根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無法找”確定不等式組的解集．【解答】解：2x≥x?1①1解不等式①，得：x≥﹣1，解不等式②，得：x＜4，在數(shù)軸上表示如下：所以不等式組的解集為：﹣1≤x＜4，故答案為：x≥﹣1；x＜4；﹣1≤x＜4．【點評】本題主要考查解一元一次不等式組，掌握一元一次不等式組的解法是解題的關(guān)鍵．16．（8分）某班級擬開展科技主題班會活動，現(xiàn)從“科技安全”，“科技暢想”，“科技生活”，“科技前沿”，“科技故事”中挑選一個主題．全班同學通過投票選出最受歡迎的主題，投票結(jié)果的條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖如下：請根據(jù)以上信息，完成下列問題：（1）本次投票共50人參與，其中科技安全所占百分比為20%，并補全條形統(tǒng)計圖．（2）為確定班會科技主題，從該班選擇7名學生代表為“科技暢想”和“科技故事”打分，分數(shù)列表如下：科技暢想109936910科技故事91078688平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)科技暢想ab9科技故事88c求表中的數(shù)據(jù)：a＝8，b＝9，c＝8．（3）結(jié)合上述信息，班會課應該選擇哪個科技主題，并說明理由．【分析】（1）由科技生活的人數(shù)除以占比得到投票人數(shù)，用總?cè)藬?shù)減去其余的人數(shù)求出科技安全的人數(shù)，再除以總?cè)藬?shù)，即可求出占比，以及補全條形統(tǒng)計圖；（2）根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的定義即可求解；（3）可以根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)分別進行分析即可．【解答】解：（1）本次投票人數(shù)為：5÷10%＝50（人），科技安全人數(shù)為：50﹣14﹣5﹣7﹣14＝10（人），∴占比為：1050補全條形統(tǒng)計圖為：故答案為：50，20%；（2）a=10+9+9+3+6+9+10將“科技暢想”的打分排列為：3，6，9，9，9，10，10，則中位數(shù)b＝9；在“科技故事”打分中，8分出現(xiàn)次數(shù)最多，∴c＝8，故答案為：8，9，8；（3）應該選擇“科技暢想”，因為給“科技暢想”活動的打高分的人數(shù)最多，表示其更受歡迎（答案不唯一）．【點評】本題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的信息關(guān)聯(lián)，求中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)等知識點，正確理解統(tǒng)計圖是解題的關(guān)鍵．17．（8分）某學校采購體育用品，需要購買三種球類．已知某體育用品商店排球的單價為30元/個，籃球，足球的價格如表：①籃球、足球、排球各買一個的價格為140元②購買2個足球的價格比購買一個籃球多花費40元③購買5個籃球與購買6個足球花費相同（1）請你從上述3個條件中任選2個作為條件，求出籃球和足球的單價；（2）若該學校要購買籃球，足球共10個，且足球的個數(shù)不超過籃球個數(shù)的2倍，請問購買多少個籃球時花費最少，最少費用是多少？【分析】（1）設籃球的單價為x元，足球的單價為y元，選擇條件①②，列出方程組，解方程組即可；（2）設該學校購買籃球m個，則購買足球（10﹣m）個，根據(jù)“足球的個數(shù)不超過籃球個數(shù)的2倍”，列出不等式求出m的取值范圍；再設學校要購買籃球、足球的總費用為w元，根據(jù)總費用＝購買籃球和足球的費用之和列出函數(shù)解析式，由函數(shù)的性質(zhì)求最值．【解答】解：（1）設籃球的單價為x元，足球的單價為y元，選擇條件①②：根據(jù)題意得：x+y+30=1402y?x=40解得x=60y=50答：籃球的單價為60元，足球的單價為50元；（2）設該學校購買籃球m個，則購買足球（10﹣m）個，根據(jù)題意得：10﹣m≤2m，解得m≥10又∵m≤10，∴103≤設學校要購買籃球、足球的總費用為w元，根據(jù)題意得：w＝60m+50（10﹣m）＝10m+500，∵10＞0，∴w隨m的增大而增大，∵103≤m≤10，且∴當m＝4時，w最小，最小值為540．答：購買4個籃球時花費最少，最少費用是540元．【點評】本題考查一次函數(shù)的應用和二元一次方程組的應用，關(guān)鍵是找到等量關(guān)系列出函數(shù)解析式和方程組．18．（10分）如圖1，在Rt△ABC中，D是AB的中點，AE＝CD，AD＝EC．（1）求證：四邊形ADCE為菱形；（2）如圖2，若點O為AC上一點，且E，A，D三點均在⊙O上，連接OD，CD與⊙O相切于點D，①求∠ACD＝30°；②求⊙O的半徑r；（3）利用圓規(guī)和無刻度直尺在圖2中作射線DF∥AC，交BC于點F，保留作圖痕跡，不用寫出作法和理由．【分析】（1）先證明四邊形ADCE為平行四邊形，斜邊上的中線得到CD=1（2）①根據(jù)菱形的性質(zhì)，得到∠DAC＝∠ACD，等角對等邊得到∠OAD＝∠ODA，三角形的外角得到∠COD＝∠OAD+∠ODA＝2∠OAD＝2∠OCD，切線得到∠CDO＝90°，再根據(jù)角的和差關(guān)系進行求解即可；②解直角三角形OCD，進行求解即可；（3）利用尺規(guī)作圖作∠BDF＝∠ABD，即可．【解答】（1）證明：∵AD＝CE，CD＝AE，∴四邊形ADCE為平行四邊形，又∵∠ACB＝90°，且D為AB中點，∴CD=1∴平行四邊形ADCE為菱形．（2）解：①∵四邊形ADCE為菱形，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠ACD，又∵OA＝OD＝r，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠COD＝∠OAD+∠ODA＝2∠OAD＝2∠OCD，∵CD切⊙O于D，∴∠CDO＝90°，∴∠COD+∠ACD＝2∠ACD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝30°；故答案為：30°；②設半徑為r，∵AC＝4，∴OC＝4﹣r，∵∠ACD＝30°，∠CDO＝90°，∴sin∠ACD=OD解得：r=4（3）由題意，作圖如下：【點評】本題考查菱形的判定和性質(zhì)，斜邊上的中線，切線的性質(zhì)，解直角三角形，尺規(guī)作平行線，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．19．（10分）綜合與實踐【問題背景】排隊是生活中常見的場景．如圖，某數(shù)學小組針對某次演出，研究了排隊人數(shù)與安檢時間，安排通道數(shù)之間的關(guān)系．【研究條件】條件1：觀眾進場立即排隊安檢，在任意時刻都滿足：排隊人數(shù)＝現(xiàn)場總?cè)藬?shù)﹣已入場人數(shù)；條件2：若該演出場地最多可開放9條安檢通道，平均每條通道每分鐘可安檢6人．【模型構(gòu)建】若該演出前30分鐘開始進行安檢，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)場總?cè)藬?shù)y與安檢時間x之間滿足關(guān)系式：y＝﹣x2+60x+100（0≤x≤30）．結(jié)合上述信息，請完成下述問題：（1）當開通3條安檢通道時，安檢時間x分鐘時，已入場人數(shù)為18x，排隊人數(shù)w與安檢時間x的函數(shù)關(guān)系式為w＝﹣x2+42x+100．【模型應用】（2）在（1）的條件下，排隊人數(shù)在第幾分鐘達到最大值，最大人數(shù)為多少？（3）已知該演出主辦方要求：①排隊人數(shù)在安檢開始10分鐘內(nèi)（包含10分鐘）減少；②盡量少安排安檢通道，以節(jié)省開支．若同時滿足以上兩個要求，可開設幾條安檢通道，請說明理由？【總結(jié)反思】函數(shù)可刻畫生活實際場景，但要注意驗證模型的正確性，未來可結(jié)合更多變量（如突發(fā)情況、安檢流程優(yōu)化等）進行更深入的分析，以提高模型的準確性和實用性．【分析】（1）根據(jù)題意得安檢時間為x分鐘，則已入場人數(shù)為（用x表示）18x，w與x的函數(shù)表達式為w＝y(tǒng)﹣18x＝﹣x2+42x+100；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論；（3）運用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【解答】解：（1）若開設3條安檢通道，安檢時間為x分鐘，則已入場人數(shù)為（用x表示）18x，若排隊人數(shù)為w，則w與x的函數(shù)表達式為w＝y(tǒng)﹣18x＝﹣x2+42x+100；故答案為：18x，w＝﹣x2+42x+100；（2）w＝﹣x2+42x+100＝﹣（x﹣21）2+541，∴當x＝21時，Wmax＝541；答：排隊人數(shù)在第21分鐘達到最大值，最大人數(shù)為541人；（3）設開了m條通道，則：w＝y(tǒng)﹣6mx＝﹣x2+60x+100﹣6mx＝﹣x2+6（10﹣m）x+100，∴對稱軸為x＝3（10﹣m），∵排隊人數(shù)10分鐘（包括10分鐘）內(nèi)減少，∴0≤3（10﹣m）≤10，即：203又∵最多開通9條，∴203∵m為正整數(shù)，∴m最小值為7，∴最少開7條通道．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的應用，理解題意是解答本題的關(guān)鍵．20．（12分）綜合與探究【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，小軍用兩個大小不同的等腰直角三角板拼接成一個四邊形．【抽象定義】以等腰三角形的一腰為邊向外作等腰三角形，使該邊所對的角等于原等腰三角形的頂角，此時該四邊形稱為“雙等四邊形”，原等腰三角形稱為四邊形的“伴隨三角形”．如圖2，在△ABC中，AB＝AC，AC＝AD，∠