必修第4章 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)單元測試含答案

絕密★啟用前第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)單元測試卷高一數(shù)學(xué)（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．測試范圍：人教必修2019第四單元指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)。5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、單項選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，則AB中元素的個數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】由題意可得，故中元素的個數(shù)為2，所以選B.【名師點睛】集合基本運算的關(guān)注點：(1)看元素組成．集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運算問題的前提．(2)有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關(guān)系并進行運算，可使問題簡單明了，易于解決．(3)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖．2．設(shè)，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用中間量法求得各值的范圍，即可得解.【詳解】，，，綜上可得，故選：B3．已知關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有解，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】把方程解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點問題，結(jié)合圖像即可得解.【詳解】根據(jù)題意可得，故轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的圖像的交點，如圖所示，易知的圖像的兩個交點為和，當(dāng)過點時，當(dāng)過點時，所以的取值范圍是.故選：A4．某食品的保鮮時間（單位：小時）與儲藏溫度（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系為自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù).若該食品在的保鮮時間是，在的保鮮時間是，則該食品在的保鮮時間是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將，；，代入函數(shù)關(guān)系可得，則可求出時的函數(shù)值.【詳解】由題可知當(dāng)時，；當(dāng)時，，，解得，則當(dāng)時，.故選：C.5．已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，包含零點的區(qū)間是A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，，所以由根的存在性定理可知：選C.考點：本小題主要考查函數(shù)的零點知識，正確理解零點定義及根的存在性定理是解答好本類題目的關(guān)鍵.6．設(shè)函數(shù)，則對任意實數(shù)是的（）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，由可得在上為奇函數(shù)，由時，為增函數(shù)，進行分析判斷即可得解.【詳解】根據(jù)題意可得，，所以為奇函數(shù)，由時，為增函數(shù)，由在上為奇函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，，由，可得，可得，所以，由可得，所以，可得，故對任意實數(shù)是的充要條件.故選：A7．當(dāng)時，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象是（）．A．B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)時指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)均為定義域內(nèi)的增函數(shù)即可得答案.【詳解】解：因為，函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，為對數(shù)函數(shù)，故指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)均為定義域內(nèi)的增函數(shù)，故選：B.8．如圖所示，液體從一圓錐形漏斗漏入一圓柱形桶中，開始時，漏斗盛滿液體，經(jīng)過3分鐘漏完.已知圓柱中液面上升的速度是一個常量，H是圓錐形漏斗中液面下落的距離，則H與下落時間(分)的函數(shù)關(guān)系表示的圖象只可能是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用特殊值法，圓柱液面上升速度是常量，表示圓錐漏斗中液體單位時間內(nèi)落下相同的體積，當(dāng)時間取分鐘時，液面下降的高度與漏斗高度的比較.【詳解】由于所給的圓錐形漏斗上口大于下口，當(dāng)時間取分鐘時，液面下降的高度不會達到漏斗高度的，對比四個選項的圖象可得結(jié)果.故選：A【點睛】本題主要考查了函數(shù)圖象的判斷，常利用特殊值和函數(shù)的性質(zhì)判斷，屬于中檔題.二、多項選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分。）9．已知函數(shù)，下列說法中正確的是（）A．若的定義域為，則B．若的值域為，則或C．若，則的單減區(qū)間為D．若在上單調(diào)遞減，則【答案】BD【分析】A.若的定義域為，則，所以該選項錯誤；B.若的值域為，則或，所以該選項正確；C.若，則由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性原理得函數(shù)的單減區(qū)間為，所以該選項錯誤；D.若在上單調(diào)遞減，則，所以該選項正確.【詳解】A.若的定義域為，則在R上恒成立，所以，所以，所以該選項錯誤；B.若的值域為，則，所以或，所以該選項正確；C.若，則，函數(shù)的定義域為，設(shè)，即求函數(shù)的減區(qū)間，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性原理得函數(shù)的單減區(qū)間為，所以該選項錯誤；D.若在上單調(diào)遞減，則且，所以，所以該選項正確.故選：BD【點睛】方法點睛：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性分析法：設(shè)，，都是單調(diào)函數(shù)，則在上也是單調(diào)函數(shù)，其單調(diào)性由“同增異減”來確定，即“里外”函數(shù)增減性相同，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)，“里外”函數(shù)的增減性相反，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).如下表：增增增增減減減增減減減增10．已知函數(shù)，若不等式對任意恒成立，則實數(shù)t的可能取值為（）A．1 B． C．3 D．4【答案】CD【分析】令，則，可判斷是奇函數(shù)且單調(diào)遞增，不等式可變形得，所以，令，換元法求出的最大值，即可．【詳解】令，則，的定義域為，，所以，所以是奇函數(shù)，不等式等價于，即，當(dāng)時單調(diào)遞增，可得單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞增，又因為為奇函數(shù)且定義域為，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，令，只需，令，則，，所以，對稱軸為，所以時，，所以，可得實數(shù)的可能取值為3或4.故選：CD．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，且是奇函數(shù)且是增函數(shù)，去掉外層函數(shù)，將原不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立問題．11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是B．函數(shù)的值域是RC．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱D．不等式的解集是【答案】BCD【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，值域，對稱性，及解對數(shù)不等式，依次判斷即可得出結(jié)果.【詳解】對于A:因為為增函數(shù),所以求的單調(diào)遞增區(qū)間即求的單調(diào)遞增區(qū)間,即.又對數(shù)函數(shù)的定義域有,解得.故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.A錯誤；對于B：，由對數(shù)函數(shù)的定義域解得：，則，由于，所以，即函數(shù)的值域是，B正確；對于C:,關(guān)于對稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，故C正確；對于D:,即，解得：，故D正確；故選：BCD.12．已知函數(shù)，則關(guān)于x的方程，下列敘述中正確的是（）A．當(dāng)時，方程恰有3個不同的實數(shù)根B．當(dāng)時，方程無實數(shù)根C．當(dāng)時，方程恰有5個不同的實數(shù)根D．當(dāng)時，方程恰有6個不同的實數(shù)根【答案】ABD【分析】作出函數(shù)的圖象，當(dāng)時，求出，根據(jù)圖象可知A正確；當(dāng)時，求出，根據(jù)圖象可知B正確；當(dāng)時，求出或，根據(jù)判斷出，，由圖可知C不正確；當(dāng)時，求出或，根據(jù)判斷出，，由圖可知D正確.【詳解】，其圖象如圖：當(dāng)時，化為，即，由圖可知，方程有3個不同的實數(shù)根，即方程恰有3個不同的實數(shù)根，故A正確；當(dāng)時，化為，即，由圖可知，方程無實數(shù)根，即方程無實數(shù)根，故B正確；當(dāng)時，由得或，因為，且，由圖可知，無實數(shù)根且無實數(shù)根，所以方程無實數(shù)根，故C不正確；當(dāng)時，由得或，因為，，所以由圖可知，方程有4個不等的實數(shù)根，因為，所以由圖可知，方程有2個不等的實根，并且以上6個實根均不相等，所以方程恰有6個不同的實數(shù)根，故D正確.故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：由求出的值，并判斷該值的范圍，再結(jié)合的圖象分析求解是解題關(guān)鍵.第Ⅱ卷三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分。）13．計算___________.【答案】2【分析】利用指數(shù)、對數(shù)運算法則即可計算作答.【詳解】.故答案為：214．已知函數(shù)的圖象恒過定點A，若點A在一次函數(shù)的圖象上，其中，則的最小值為_____________.【答案】4【詳解】由題意可知定點A（1,1）,所以m+n=1,因為,所以,當(dāng)時，的最小值為4.15．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】利用復(fù)合函數(shù)同增異減的法則可得在區(qū)間上也是單調(diào)遞減，且真數(shù)大于0，那么得到關(guān)于的不等式即，即可求出的范圍.【詳解】令，即對稱軸為，且開口朝上，在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么在區(qū)間上也是單調(diào)遞減，且，故即，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：16．函數(shù)的定義域為______.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，列出不等式組求解即可.【詳解】因為函數(shù)，所以解得，所以函數(shù)定義域為，故答案為：四、解答題：（本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，且.（Ⅰ）若，求a的值.（Ⅱ）若在上的最大值與最小值的差為1，求a的值.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）或【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，代入數(shù)據(jù)，化簡計算，即可得答案.（Ⅱ）若，則為單調(diào)遞增函數(shù)，根據(jù)x的范圍，可得的最大值和最小值，結(jié)合題意，列出方程，化簡計算，即可求得a值；若，則為單調(diào)遞減函數(shù)，根據(jù)x的范圍，可得的最大值和最小值，結(jié)合題意，列出方程，化簡計算，即可求得a值，綜合即可得答案.【詳解】（Ⅰ）因為，所以所以，即，解得或（舍）；（Ⅱ）若，則上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以的最大值為，最小值為，根據(jù)題意可得，所以，所以，即，解得或（舍）；若，則上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以的最大值為，最小值為，根據(jù)題意可得，所以，所以，即，解得或（舍）綜上，a的值為或.18．已知函數(shù)的定義域為集合，關(guān)于的不等式的解集為.（1）求集合；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用對數(shù)的真數(shù)大于零可求得集合；（2）對實數(shù)的取值進行分類討論，求出集合，根據(jù)可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，綜合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）對于函數(shù)，，可得，解得，因此，；（2）由，可得.①當(dāng)時，則有，解得，即，此時成立；②當(dāng)時，因為，解不等式可得，即，因為，則，即，解得；③當(dāng)時，，解不等式可得或，即或，此時成立；④當(dāng)時，則有，解得，即，此時成立；⑤當(dāng)時，，解不等式可得或，即或，此時成立.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.19．某工廠某種航空產(chǎn)品的年固定成本為萬元，每生產(chǎn)件，需另投入成本為，當(dāng)年產(chǎn)量不足件時，（萬元）.當(dāng)年產(chǎn)量不小于件時，（萬元）.每件商品售價為萬元.通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完.（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（件）的函數(shù)解析式；（2）年產(chǎn)量為多少件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？【答案】（1）；（2）年產(chǎn)量為件時，利潤最大為萬元.【詳解】試題分析：（1）實際應(yīng)用題首先要根據(jù)題意，建立數(shù)學(xué)模型，即建立函數(shù)關(guān)系式，這里，要用分類討論的思想，建立分段函數(shù)表達式；（2）根據(jù)建立的函數(shù)關(guān)系解模，即運用數(shù)學(xué)知識求函數(shù)的最值，這里第一段，運用的是二次函數(shù)求最值，而第二段，則可運用基本不等式求最值，然后再作比較，確定最終的結(jié)果，最后要回到實際問題作答.試題解析：解：（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以.（2）當(dāng)時，此時，當(dāng)時，取得最大值萬元.當(dāng)時，此時，當(dāng)時，即時，取得最大值萬元，所以年產(chǎn)量為件時，利潤最大為萬元.考點：函數(shù)、不等式的實際應(yīng)用.20．已知全集，集合，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）設(shè)非空集合，若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）分別解不等式，化簡兩集合，再由交集和補集的概念，即可求出結(jié)果；（Ⅱ）由（Ⅰ），根據(jù)集合非空，且，列出不等式求解，即可得出結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）因為，，所以或，則；（Ⅱ）因為非空集合，且，所以或，解得或，即實數(shù)的取值范圍是.21．已知函數(shù)是奇函數(shù).（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）判斷的單調(diào)性；（只需寫出結(jié)論）（Ⅲ）若不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）增函數(shù)；（Ⅲ）.【分析】（I）根據(jù)題意可知，即可列出等式求解a；（Ⅱ）的值隨著x的值增大而增大，故函數(shù)為增函數(shù)；（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)的奇偶性可將不等式轉(zhuǎn)化為，再由函數(shù)的單調(diào)性可得恒成立，則，即可得解.【詳解】（I）因為為奇函數(shù)，定義域為，所以，即，解得，當(dāng)時，此時即，函數(shù)為奇函數(shù).（Ⅱ）為增函數(shù)（Ⅲ）不等式恒成立，即恒成立，因為在定義域上是奇函數(shù)，所以，又為增函數(shù)，所以恒成立，由恒成立，有△，解得，所以，的取值范圍是．22．中國茶文化博大精深.小明在茶藝選修課中了解到，不同類型的茶葉由于在水中溶解性的差別，達到最佳口感的水溫不同．為了方便控制水溫，小明聯(lián)想到牛頓提出的物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：如果物體的初始溫度是，環(huán)境溫度是，則經(jīng)過時間（單位：分）后物體溫度將滿足：，其中為正的常數(shù)．小明與同學(xué)一起通過多次測量求平均值的方法得到初始溫度為的水在室溫中溫度下降到相應(yīng)溫度所需時間如下表所示：從下降到所用時間1分58秒從下降到所用時間3分24秒從下降到所用時間4分57秒（I）請依照牛頓冷卻模型寫出冷卻時間（單位：分）關(guān)于冷卻后水溫（單位：）的函數(shù)關(guān)系，并選取一組數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的值．（精確到0.01）（II）“碧螺春”用左右的水沖泡可使茶湯清澈明亮，口感最佳.在（I）的條件下，水煮沸后在室溫下為獲得最佳口感大約冷卻分鐘左右沖泡，請在下列選項中選擇一個最接近的時間填在橫線上，并說明理由．A．B．C．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）B，理由見解析.【分析】（I）先由題中條件，得到，化為，從題中所給數(shù)表中選取一組數(shù)據(jù)，計算