湖南省高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

湖南省高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)的定義域是（）

A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[1,3]C.RD.(-1,3)

2.若復(fù)數(shù)z=1+2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知等差數(shù)列{a?}中，a?=2，d=3，則a?的值為（）

A.11B.12C.13D.14

4.函數(shù)f(x)=sin(x+π/3)的最小正周期是（）

A.2πB.πC.3π/2D.π/2

5.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率是（）

A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5

6.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，則角C的大小為（）

A.75°B.105°C.120°D.135°

7.已知點P(x,y)在直線x+y=4上，則點P到原點的距離的最小值是（）

A.2√2B.2C.4D.4√2

8.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3x+1，則f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)f'(1)的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

9.已知圓O的方程為x2+y2=9，則圓O的半徑R是（）

A.3B.6C.9D.18

10.在直角坐標系中，點A(1,2)到直線3x-4y+5=0的距離是（）

A.1B.2C.3D.4

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.f(x)=x2B.f(x)=x3C.f(x)=sin(x)D.f(x)=log?(x)

2.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=6，a?=54，則該數(shù)列的通項公式a?可能為（）

A.a?=2×3^(n-1)B.a?=3×2^(n-1)C.a?=-2×3^(n-1)D.a?=-3×2^(n-1)

3.下列命題中，正確的有（）

A.若sinα=sinβ，則α=βB.若cosα=cosβ，則α=2kπ±β，k∈ZC.若tanα=tanβ，則α=kπ+β，k∈ZD.直線y=kx+b與圓x2+y2=r2相切的條件是r2=k2+1

4.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，則關(guān)于x的不等式f(x)≤5的解集為（）

A.[-3,4]B.[-2,3]C.[-4,2]D.(-∞,-3]∪[4,+∞)

5.在空間幾何體中，下列說法正確的有（）

A.正四棱柱一定是長方體B.長方體一定是正四棱柱C.正方體是直四棱柱D.直四棱柱的體積等于底面積乘以高

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若α是銳角，且sinα=√3/2，則cos(α/2)的值為________。

2.已知點A(1,2)和B(3,0)，則線段AB的斜率kAB=________。

3.在等差數(shù)列{a?}中，若a?=5，a?=9，則該數(shù)列的公差d=________。

4.函數(shù)f(x)=x2-4x+3的圖像的對稱軸方程是________。

5.已知圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=4，則圓C的圓心坐標是________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算極限：lim(x→2)(x3-8)/(x-2)。

2.解不等式：|2x-1|<3。

3.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，邊a=√2，求邊b的長度。

4.計算定積分：∫[0,π/2]sin(x)dx。

5.已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3，求函數(shù)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案

1.C

2.A

3.C

4.A

5.A

6.A

7.A

8.C

9.A

10.A

二、多項選擇題答案

1.B,C

2.A,B

3.B,C

4.A,B,C

5.A,C,D

三、填空題答案

1.√3/2或1/2

2.-2

3.1

4.x=2

5.(1,-2)

四、計算題答案及過程

1.解：原式=lim(x→2)[(x-2)(x2+2x+4)]/(x-2)

=lim(x→2)(x2+2x+4)

=22+2×2+4

=4+4+4

=12

2.解：|2x-1|<3

-3<2x-1<3

-3+1<2x<3+1

-2<2x<4

-1<x<2

故解集為(-1,2)

3.解：由三角形內(nèi)角和定理，角C=180°-60°-45°=75°

由正弦定理，a/sinA=b/sinB

√2/sin60°=b/sin45°

b=(√2*sin45°)/sin60°

b=(√2*√2/2)/(√3/2)

b=(2/2)/(√3/2)

b=1/(√3/2)

b=2/√3

b=2√3/3

4.解：∫[0,π/2]sin(x)dx

=-cos(x)|[0,π/2]

=-cos(π/2)-(-cos(0))

=-0-(-1)

=0+1

=1

5.解：f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2

函數(shù)圖像是開口向上的拋物線，頂點為(1,2)，對稱軸為x=1。

在區(qū)間[-1,3]上，函數(shù)在x=1處取得最小值，在區(qū)間端點處取得最大值。

f(1)=(1-1)2+2=0+2=2

f(-1)=(-1-1)2+2=(-2)2+2=4+2=6

f(3)=(3-1)2+2=(2)2+2=4+2=6

故最小值為2，最大值為6。

四、計算題知識點詳解及示例

1.極限計算：考察了多項式函數(shù)的極限求解方法，特別是當分母趨近于零時的處理方法（因式分解）。示例：lim(x→3)(x2-9)/(x-3)=lim(x→3)(x+3)(x-3)/(x-3)=lim(x→3)(x+3)=6。

2.絕對值不等式解法：考察了含絕對值不等式的解法，通過分類討論去掉絕對值符號。示例：解|x-2|>1，得x-2>1或x-2<-1，即x>3或x<1，解集為(-∞,1)∪(3,+∞)。

3.解三角形：考察了正弦定理的應(yīng)用，解決已知兩角一邊求另一邊的問題。示例：在△ABC中，A=45°,B=60°,a=√3，求b。由正弦定理a/sinA=b/sinB，得√3/sin45°=b/sin60°，解得b=(√3*√3/2)/(√6/4)=(√3*√3)/(√6/2)=3/(√6/2)=3*2/√6=6/√6=√6。

4.定積分計算：考察了基本初等函數(shù)的定積分計算，特別是三角函數(shù)的定積分。示例：計算∫[0,π]cos(x)dx=sin(x)|[0,π]=sin(π)-sin(0)=0-0=0。

5.函數(shù)最值：考察了利用二次函數(shù)性質(zhì)求閉區(qū)間上的最值。示例：求函數(shù)f(x)=x2-4x+5在區(qū)間[-1,3]上的最值。先配方得f(x)=(x-2)2+1，對稱軸x=2。在區(qū)間[-1,3]上，x=2處取得最小值f(2)=1，在端點x=-1處取得最大值f(-1)=10。

三、填空題知識點詳解及示例

1.奇函數(shù)性質(zhì)與半角公式：考察了奇函數(shù)的定義以及半角公式的應(yīng)用。示例：若sinα=1/2且α為銳角，則α=π/6，cos(α/2)=cos(π/12)=√((1+cosα)/2)=√((1+√3/2)/2)=√((2+√3)/4)=(√3+1)/2√2=(√3+1)√2/4。另一種思路，sin(π/3)=1/2，π/3是銳角，所以α=π/3，cos(α/2)=cos(π/6)=√3/2。

2.直線斜率公式：考察了兩點式求斜率。示例：點A(2,3)和B(5,1)，斜率k=(1-3)/(5-2)=-2/3。

3.等差數(shù)列通項公式：考察了等差數(shù)列通項公式的應(yīng)用。示例：若a?=a?+3d，a?=a?+6d，則有a?+6d=(a?+3d)+3d，即a?+6d=a?+6d，此為恒等式，無法直接求d。更正：應(yīng)利用a?和a?的關(guān)系，a?=a?+4d=>9=5+4d=>4d=4=>d=1?；蛘呃胊?和a?的關(guān)系，a?=a?+2d=>3=5+2d=>2d=-2=>d=-1。這里題目給a?=5,a?=9，所以d=(9-5)/(7-3)=4/4=1。

4.二次函數(shù)圖像與性質(zhì)：考察了二次函數(shù)圖像的對稱軸和頂點坐標。示例：f(x)=x2-4x+1=(x-2)2-4+1=(x-2)2-3。對稱軸為x=2，頂點坐標為(2,-3)。

5.圓的標準方程：考察了對圓的標準方程的識別。示例：方程(x-h)2+(y-k)2=r2中，(h,k)是圓心坐標，r是半徑。給定方程(x-1)2+(y+2)2=4，對比標準形式，可得圓心(h,k)=(1,-2)，半徑r=√4=2。

二、多項選擇題知識點詳解及示例

1.函數(shù)奇偶性：考察了奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義。奇函數(shù)f(-x)=-f(x)，偶函數(shù)f(-x)=f(x)。示例：f(x)=x3是奇函數(shù)，因為(-x)3=-x3=-x3。f(x)=x2是偶函數(shù)，因為(-x)2=x2。f(x)=sin(x)是奇函數(shù)，因為sin(-x)=-sin(x)。f(x)=log?(x)不具有奇偶性，例如log?(2)=1,log?(1/2)=-1，log?/?(2)=-1,log?/?(1/2)=1，不滿足奇偶性定義。

2.等比數(shù)列通項公式：考察了等比數(shù)列通項公式的應(yīng)用，以及求公比和首項。示例：a?=a?*q3=>54=a?/q*q3=>54=a?*q2。a?=a?*q=>6=a?*q。將a?=6代入54=a?*q2，得54=6*q2=>q2=9=>q=3或q=-3。若q=3，則a?=6/3=2，通項a?=2*3^(n-1)。若q=-3，則a?=6/(-3)=-2，通項a?=-2*(-3)^(n-1)=-2*3^(n-1)。所以A,C正確。

3.三角函數(shù)公式與性質(zhì)：考察了三角函數(shù)的基本性質(zhì)和公式。示例：sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα。所以sinα=sin(π-α)，但α不一定等于π-α，除非α在特定范圍內(nèi)。cosα=cos(π-α)不成立。tanα=tan(π-α)成立。故B,C正確。

4.絕對值不等式與數(shù)軸：考察了絕對值不等式的解法和數(shù)形結(jié)合思想。示例：|x-a|<b=>a-b<x<a+b。f(x)=|2x-1|+|x+2|≤5?？紤]數(shù)軸上的關(guān)鍵點x=-2和x=1/2，將數(shù)軸分為三段：

(1)x<-2時，f(x)=-(2x-1)-(x+2)=-2x+1-x-2=-3x-1。解-3x-1≤5=>-3x≤6=>x≥-2。與x<-2矛盾，無解。

(2)-2≤x≤1/2時，f(x)=-(2x-1)+(x+2)=-2x+1+x+2=-x+3。解-x+3≤5=>-x≤2=>x≥-2。在此區(qū)間內(nèi)x∈[-2,1/2]。

(3)x>1/2時，f(x)=(2x-1)+(x+2)=2x-1+x+2=3x+1。解3x+1≤5=>3x≤4=>x≤4/3。在此區(qū)間內(nèi)x∈(1/2,4/3]。綜合(2)和(3)，解集為[-2,4/3]。所以A,B,C正確。

5.空間幾何體性質(zhì)：考察了柱體、棱柱、正方體的定義和性質(zhì)。示例：正四棱柱的定義是底面為正方形的直四棱柱，長方體的定義是底面為矩形的直四棱柱。所以正四棱柱一定是長方體（底面是正方形，是矩形的一種特殊情況），A正確。但長方體的底面不一定是正方形，所以長方體不一定是正四棱柱，B錯誤。正方體是底面為正方形且側(cè)面也為正方形的直四棱柱，C正確。直四棱柱的體積V=底面積S_底×高h，D正確。故A,C,D正確。

四、計算題詳細過程補充說明

1.極限計算：這里使用的是因式分解約去零因子的方法。當x→2時，(x-2)是趨近于0的因子，可以約去。也可以用洛必達法則，因為形式是0/0型，lim(x→2)(x3-8)/(x-2)=lim(x→2)(3x2)=3*22=