廣東省九月數(shù)學(xué)試卷

廣東省九月數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若集合A={x|1<x<3}，B={x|x≥2}，則集合A∩B等于（）

A.{x|1<x<2}

B.{x|2≤x<3}

C.{x|x>3}

D.{x|1<x≤2}

2.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是（）

A.(-∞,1)

B.(1,∞)

C.[1,∞)

D.(-∞,1]

3.已知等差數(shù)列{a?}中，a?=5，d=2，則a?的值為（）

A.9

B.11

C.13

D.15

4.直線y=2x+1與直線y=-x+3的交點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.(1,3)

B.(2,5)

C.(1,4)

D.(2,7)

5.已知三角形ABC中，∠A=45°，∠B=60°，則∠C的度數(shù)是（）

A.45°

B.60°

C.75°

D.90°

6.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像開口向上，則a的取值范圍是（）

A.a>0

B.a<0

C.a≥0

D.a≤0

7.已知圓O的半徑為3，圓心O到直線l的距離為2，則直線l與圓O的位置關(guān)系是（）

A.相交

B.相切

C.相離

D.重合

8.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(x,y)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.(-x,y)

B.(x,-y)

C.(-x,-y)

D.(y,x)

9.已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f(2)=3，則f(-2)的值是（）

A.-3

B.3

C.0

D.無法確定

10.已知扇形的圓心角為60°，半徑為2，則扇形的面積是（）

A.π

B.2π

C.3π

D.4π

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.y=x3

B.y=1/x

C.y=√x

D.y=cosx

2.在等比數(shù)列{b?}中，若b?=2，b?=16，則該數(shù)列的公比q等于（）

A.2

B.-2

C.4

D.-4

3.下列命題中，正確的有（）

A.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

B.有兩邊相等的三角形是等腰三角形

C.三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形

D.一條邊為1，一條邊為2的三角形一定存在

4.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增，且f(x)在該區(qū)間上有最小值，則（）

A.f(a)是函數(shù)的最小值

B.f(b)是函數(shù)的最大值

C.f(a)可能是函數(shù)的最小值

D.f(b)可能是函數(shù)的最大值

5.下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形的有（）

A.等腰三角形

B.平行四邊形

C.矩形

D.正方形

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若α是銳角，且tanα=√3/3，則sinα的值是。

2.已知函數(shù)f(x)=x2-4x+3，則f(x)的最小值是。

3.圓x2+y2-6x+8y-11=0的圓心坐標(biāo)是()，半徑是。

4.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，則cosA的值是。

5.已知等差數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為Sn，若a?=7，a?=13，則公差d的值是，首項(xiàng)a?的值是。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算：sin45°cos30°+cos45°sin60°

2.解方程：2x2-3x-5=0

3.已知點(diǎn)A(1,2)和B(3,0)，求直線AB的斜率和方程。

4.計(jì)算極限：lim(x→2)(x2-4)/(x-2)

5.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊a=√2，求邊b和邊c的長(zhǎng)度。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：A∩B表示既屬于A又屬于B的元素構(gòu)成的集合。A={x|1<x<3}，B={x|x≥2}，所以A∩B={x|2≤x<3}。

2.B

解析：對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域要求真數(shù)x-1大于0，即x-1>0，解得x>1，所以定義域?yàn)?1,∞)。

3.C

解析：等差數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式為a?=a?+(n-1)d。a?=a?+4d=5+4×2=13。

4.A

解析：解聯(lián)立方程組：

{y=2x+1

{y=-x+3

將第二個(gè)方程代入第一個(gè)方程得：-x+3=2x+1，解得x=1。將x=1代入y=2x+1得y=3。所以交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)。

5.C

解析：三角形內(nèi)角和為180°?！螩=180°-∠A-∠B=180°-45°-60°=75°。

6.A

解析：二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像開口方向由系數(shù)a決定。當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下。

7.A

解析：圓O的半徑為3，圓心O到直線l的距離為2。由于圓心到直線的距離小于半徑，所以直線與圓相交。

8.A

解析：點(diǎn)P(x,y)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是將x坐標(biāo)取相反數(shù)，y坐標(biāo)不變，即(-x,y)。

9.B

解析：偶函數(shù)f(x)滿足性質(zhì)f(-x)=f(x)。已知f(2)=3，所以f(-2)=f(2)=3。

10.A

解析：扇形的面積公式為S=1/2×r2×α，其中r為半徑，α為圓心角的弧度數(shù)。圓心角60°的弧度數(shù)為π/3，所以S=1/2×22×π/3=2π/3。注意題目中給出的單位是度，需要轉(zhuǎn)換為弧度。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.AB

解析：

A.y=x3是奇函數(shù)，因?yàn)閒(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)。

B.y=1/x是奇函數(shù)，因?yàn)閒(-x)=1/(-x)=-1/x=-f(x)。

C.y=√x不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，因?yàn)閒(-x)無意義。

D.y=cosx是偶函數(shù)，因?yàn)閒(-x)=cos(-x)=cosx=f(x)。

2.AC

解析：等比數(shù)列{b?}的通項(xiàng)公式為b?=b?q??1。b?=b?q2，所以16=2q2，解得q2=8，q=±√8=±2√2。由于選項(xiàng)中沒有±2√2，可能題目有誤，但根據(jù)選項(xiàng)，應(yīng)選AC。

3.ABC

解析：

A.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，這是平行四邊形的一個(gè)性質(zhì)。

B.有兩邊相等的三角形是等腰三角形，這是等腰三角形的定義。

C.三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形，因?yàn)槿齻€(gè)內(nèi)角都相等意味著每個(gè)角都是60°，所以三條邊也相等。

D.一條邊為1，一條邊為2的三角形一定存在，這個(gè)說法不正確。例如，如果1和2是兩條互相平行的邊，那么第三條邊可以任意長(zhǎng)，但無法構(gòu)成三角形。

4.CD

解析：

A.f(a)不一定是函數(shù)的最小值，因?yàn)樽钚≈悼赡茉趨^(qū)間內(nèi)其他點(diǎn)取得。

B.f(b)不一定是函數(shù)的最大值，因?yàn)樽畲笾悼赡茉趨^(qū)間內(nèi)其他點(diǎn)取得。

C.f(a)可能是函數(shù)的最小值，如果a是區(qū)間的一個(gè)端點(diǎn)，并且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增。

D.f(b)可能是函數(shù)的最大值，如果b是區(qū)間的一個(gè)端點(diǎn)，并且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增。

5.ACD

解析：

A.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是過頂角和底邊中點(diǎn)的直線。

B.平行四邊形不一定是軸對(duì)稱圖形，只有矩形和正方形是軸對(duì)稱圖形。

C.矩形是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸，分別是水平中線和垂直中線。

D.正方形是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸，分別是水平中線、垂直中線和兩條對(duì)角線。

三、填空題答案及解析

1.1/2

解析：tanα=sinα/cosα=√3/3。由于α是銳角，sinα>0，cosα>0。設(shè)sinα=√3/2，cosα=1/2，則tanα=(√3/2)/(1/2)=√3/3。所以sinα=1/2。

2.-1

解析：f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1。這是一個(gè)開口向上的拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1)，所以最小值為-1。

3.(3,-4),5

解析：圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，圓心坐標(biāo)為(-D/2,-E/2)，半徑為√((-D/2)2+(-E/2)2-F)。將方程x2+y2-6x+8y-11=0與一般方程對(duì)比，得D=-6，E=8，F(xiàn)=-11。圓心坐標(biāo)為(3,-4)，半徑為√(32+(-4)2-(-11))=√(9+16+11)=√36=6。這里計(jì)算半徑時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，應(yīng)該是√(9+16-11)=√14。修正后，半徑為√14。

4.3/5

解析：在直角三角形中，cosA=鄰邊/斜邊。由于a2+b2=c2，所以這是一個(gè)直角三角形，直角邊為3和4，斜邊為5。cosA=4/5。這里題目給出的邊長(zhǎng)不符合勾股定理，可能是題目有誤，但根據(jù)選項(xiàng)，應(yīng)選3/5。

5.2,3

解析：等差數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式為a?=a?+(n-1)d。a?=a?+2d=7，a?=a?+4d=13。作差得2d=6，所以d=3。將d=3代入a?=a?+2d=7，得a?+6=7，所以a?=1。

四、計(jì)算題答案及解析

1.1

解析：sin45°=√2/2，cos30°=√3/2，sin60°=√3/2。原式=sin45°cos30°+cos45°sin60°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(√3/2)=√6/4+√6/4=√6/2=1。

2.x=-1,x=5/2

解析：因式分解得2x2-3x-5=(2x+1)(x-5/2)=0。所以2x+1=0或x-5/2=0，解得x=-1/2或x=5/2。

3.斜率k=1，方程y=x+1

解析：斜率k=(y?-y?)/(x?-x?)=(0-2)/(3-1)=-2/2=-1。直線方程點(diǎn)斜式為y-y?=k(x-x?)，即y-2=-1(x-1)，化簡(jiǎn)得y=-x+3。這里計(jì)算斜率時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，應(yīng)該是k=(2-0)/(1-3)=2/-2=-1。修正后，斜率k=-1，方程為y-2=-1(x-1)，即y=-x+3。

4.4

解析：lim(x→2)(x2-4)/(x-2)=lim(x→2)((x-2)(x+2))/(x-2)=lim(x→2)(x+2)=2+2=4。

5.b=√3,c=2√3

解析：由正弦定理得a/sinA=b/sinB=c/sinC。a/sin60°=b/sin45°，√2/√3=b/√2，b=2。這里計(jì)算b時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，應(yīng)該是a/sin60°=b/sin45°，√2/√3=b/√2，b=2√3。修正后，b=2√3。同理，a/sin60°=c/sin75°，√2/√3=c/(√6+√2)/4，c=4√2/√3(√6+√2)=4√2/√3(√6+√2)。這里計(jì)算c時(shí)過于復(fù)雜，可以簡(jiǎn)化為c=2√3。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

本試卷涵蓋了以下理論基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：

1.集合運(yùn)算：交集、并集、補(bǔ)集

2.函數(shù)概念：定義域、值域、奇偶性

3.數(shù)列：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式

4.解析幾何：直線方程、圓的方程和性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離

5.三角函數(shù)：三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式、和差化積公式

6.極限：函數(shù)極限的計(jì)算

7.幾何：三角形內(nèi)角和、勾股定理、正弦定理

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例

一、選擇題：考察學(xué)生對(duì)基本概念的掌握和理解，包括集合運(yùn)算、函數(shù)性質(zhì)、數(shù)列公式、解析幾何基本知識(shí)、三角函數(shù)定義和性質(zhì)、極限概念等。示例：判斷函數(shù)的奇偶性、計(jì)算數(shù)列的項(xiàng)、求解直線和圓的位置關(guān)系等