談方程思想的應(yīng)用

1/3談方程思想的應(yīng)用用方程或方程組可以解決數(shù)學(xué)中許多問(wèn)題．運(yùn)用方程思想解題，就是挖掘問(wèn)題中已知與未知數(shù)量之間的等量關(guān)系，通過(guò)求解方程或方程組尋求解答，有時(shí)也利用方程為工具，通過(guò)一元二次方程的判別式或根與系數(shù)關(guān)系，找到解題思路．例1有一批商品共100件，按獲利10％定價(jià)出售，售出后將所得款項(xiàng)全部存入銀行，月利率為2.5％，一個(gè)月后總共獲利102元，求每件商品售價(jià)多少？分析解決本題的要點(diǎn)是弄清獲利、成本、月利率等概念．實(shí)際上，如果一件商品的成本為a元，按獲利10％的定價(jià)出售，則售出后共得a（1+10％）元．月利率為2.5％，則存入b元，一月后共得b（1+2.5％）元．把上述關(guān)系弄清楚了，就可以列方程解題了．解設(shè)每件商品的成本為x元．依題意有x（1+10％）×100×（1+2.5％）－100x=102．解這個(gè)方程得x=8．∴x·（1+10％）=8.8答：每件商品的售價(jià)為8.8元．說(shuō)明通過(guò)列方程解題，雙基是基礎(chǔ)．只有把概念、關(guān)系弄清楚了，才能尋找到等量關(guān)系．例2已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，1）、B（α，β）、C（β，α），其中α、β是方程x2－x－1=0的兩個(gè)根．求二次函數(shù)的解析式．分析因?yàn)榉匠蘹2－x－1=0的兩個(gè)根可求，所以點(diǎn)B、C的坐標(biāo)可知，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知三點(diǎn)求二次函數(shù)的解析式，可利用待定系數(shù)法來(lái)求解．觀察方程可知，α、β都是無(wú)理數(shù)．這就給計(jì)算帶來(lái)了困難．但α+β=1，αβ=－1，能否利用這些關(guān)系式來(lái)求出待定系數(shù)a、b、c呢？只需要對(duì)含有待定系數(shù)的關(guān)系式作一些變形即可．解∵點(diǎn)A、B、C在y=ax2+bx+c的圖象上，又∵α、β是方程x2－x－1=0的兩個(gè)根，∴a+b=－1，c=2．∴3a+b=1．∴a=－1，b=0．∴所求二次函數(shù)解析式為y=－x2+2．說(shuō)明本題的所求為a、b、c，α、β只是兩個(gè)過(guò)渡的量，利用了根與系數(shù)的關(guān)系去簡(jiǎn)化運(yùn)算，從而使方法簡(jiǎn)捷，解題效率高．例3已知：如圖，PA切⊙O于A，PO交⊙O于C，AB⊥OP于B，BO∶BC=3∶2，PA=4，求AC的長(zhǎng)．分析求AC的長(zhǎng)，首先要觀察圖中有無(wú)特殊角，能否利用等邊三角形或等腰三角形的性質(zhì)；其次要觀察能否運(yùn)用勾股定理，或相似三角形，或切割線定理等．因?yàn)镺B、BC的和恰好是半徑，所以Rt△OAB與Rt△ABC的各邊之比都可求出．由于點(diǎn)A是切點(diǎn)，所以O(shè)A⊥PA，且PA=4，所以可根據(jù)∠AOB的三角函數(shù)值找到Rt△AOP三邊之間的關(guān)系，從而求出AC的長(zhǎng)．解連結(jié)OA．設(shè)OB=3k，則BC=2k，OA=5k．∴AB=4k．又∵PA切⊙O于A，∴OA⊥PA．∴5k=3，運(yùn)用方程思想解題，要具備一定的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．要善于分析已知條件，能夠挖掘隱含條件，能找到問(wèn)題之間的聯(lián)系．在一些問(wèn)題中，常需要利用重要的定理、公式、法則來(lái)求等量關(guān)系．比如：勾股定理、比例關(guān)系、切割線定理、根與系數(shù)的