【真題】八年級(jí)下學(xué)期月考數(shù)學(xué)試卷（含解析）陜西省咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)陜西省咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期月考數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知，下列式子不成立的是（

）A． B． C． D．2．下列命題的逆命題是真命題的是（）A．若a＝b，則＝B．菱形的對(duì)角線互相平分C．若a＝0，則ab＝0D．三角形的三邊a，b，c滿足a2+b2＝c2，則此三角形為直角三角形3．已知點(diǎn)在第二象限，則的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（

）A． B．C． D．4．最近中國(guó)“宇樹(shù)科技”的“機(jī)器狗技術(shù)”發(fā)展迅速．在正常狀態(tài)下，機(jī)器狗的小腿和大腿有一定夾角（如圖1）．圖2是機(jī)器狗正常狀態(tài)下的腿部簡(jiǎn)化圖，其中，．機(jī)器狗正常狀態(tài)下的高度可以看成，兩點(diǎn)間的距離，則機(jī)器狗正常狀態(tài)下的高度為（

）A．40cm B． C． D．5．下列說(shuō)法正確的是（

）A．到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上B．平行四邊形的對(duì)角互補(bǔ)C．兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形一定全等D．平行四邊形的對(duì)角線平分每一組對(duì)角6．已知如圖，等腰，，，于點(diǎn).點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，下面的結(jié)論：①；②；③是等邊三角形④.其中正確的是（）A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、點(diǎn)B都在雙曲線上，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，，則k的值為（

）A． B． C． D．8．已知，如圖（1），長(zhǎng)方形中，E是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)P從B出發(fā)，沿折線勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止．P的運(yùn)動(dòng)速度為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的面積為．y與t的關(guān)系式圖象如圖（2），則下列結(jié)論正確的有（

）①；②；③當(dāng)時(shí)，為等腰三角形；④當(dāng)時(shí)，A．①②③ B．①③ C．③④ D．①④二、填空題9．函數(shù)中，自變量的取值范圍是．10．如圖，點(diǎn)在同側(cè)，，則．

11．關(guān)于三角形的內(nèi)角，有下列說(shuō)法：①至少有兩個(gè)銳角，②最多有一個(gè)直角，③必有一個(gè)角大于，④至少有一個(gè)角不小于．其中不正確的說(shuō)法是（填序號(hào)）．12．如圖，在中，，將沿著射線的方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到，連接，則的長(zhǎng)為．13．如圖，在四邊形中，，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．已知，．“箏形”的對(duì)角線、相交于點(diǎn)．如下結(jié)論：①是等邊三角形；②；③；④點(diǎn)、分別在線段、上，且，則，其中正確的結(jié)論有．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）三、解答題14．指出下列各題中不等式變形的依據(jù)：(1)由得；(2)由，得；(3)由，得；(4)由，得．15．“探究性學(xué)習(xí)”小組的甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行因式分解如下．甲∶(分成兩組)(直接運(yùn)用公式)．乙∶(分成兩組)(提公因式)．請(qǐng)?jiān)谒麄兘夥ǖ膯l(fā)下，解答下列各題．(1)因式分解∶；(2)已知是的三條邊長(zhǎng)，且滿足，請(qǐng)判斷的形狀，并說(shuō)明理由．16．（1）解方程：；（2）學(xué)習(xí)了一元一次方程的解法后，老師布置了這樣一道解方程題：．小趙與小李兩名同學(xué)的第一步變形結(jié)果分別如下：小趙：；小李：；①這兩名同學(xué)中，第一步變形結(jié)果正確的是______（填“小趙”或“小李”），這一步的變形依據(jù)是______；②請(qǐng)寫出完整的解題過(guò)程．17．如圖，A，B，C三點(diǎn)表示三個(gè)工廠，要建立一個(gè)供水站，使它到這三個(gè)工廠的距離相等，求作供水站的位置（不寫作法，尺規(guī)作圖）．18．如圖，在中，是的平分線，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，求證：平分．

19．端午節(jié)是中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日，人們有吃粽子的習(xí)俗．某商場(chǎng)預(yù)測(cè)今年端午節(jié)期間A粽子能夠暢銷．根據(jù)預(yù)測(cè)，每千克A粽子節(jié)前的進(jìn)價(jià)比節(jié)后多2元，節(jié)前用240元購(gòu)進(jìn)A粽子的數(shù)量與節(jié)后用200元購(gòu)進(jìn)的數(shù)量相同．根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：(1)該商場(chǎng)節(jié)后每千克A粽子的進(jìn)價(jià)是多少元？(2)如果該商場(chǎng)在節(jié)前和節(jié)后共購(gòu)進(jìn)A粽子400千克，且總費(fèi)用不超過(guò)4600元，那么該商場(chǎng)節(jié)前最多購(gòu)進(jìn)多少千克A粽子？20．如圖，已知點(diǎn)，，其中、滿足，且分式的值為0，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接、．(1)直接寫出點(diǎn)、的坐標(biāo)；(2)求的度數(shù)；(3)若，的平分線交于點(diǎn)，探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．21．如圖，中，點(diǎn)在邊上，，的平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，且，連接．(1)求證：平分；(2)若，，，且，求的面積．22．如圖，在中，，，平分，交于點(diǎn)，連接，．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，求的度數(shù)．23．在學(xué)習(xí)全等三角形的知識(shí)時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對(duì)位置變化時(shí)，始終存在一對(duì)全等三角形．通過(guò)查詢資料，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”，興趣小組進(jìn)行了如下操作：(1)觀察猜想如圖，在中，分別以，為邊向外作等腰直角和等腰直角，，連接，，則與的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為；(2)類比探究如圖，在中，分別以，為邊作等腰直角和等腰直角，，點(diǎn)，，在同一直線上，為中邊上的高，猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；(3)解決問(wèn)題運(yùn)用（）（）中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)，的距離，已經(jīng)測(cè)得，，，米，米，的長(zhǎng)為米．24．如圖，燈塔C在海島A的北偏東方向，某天上午8點(diǎn)，一條船從海島A出發(fā)，以15海里/時(shí)的速度由西向東方向航行，10時(shí)整到達(dá)B處，此時(shí)，測(cè)得燈塔C在B處的北偏東方向．(1)求B處到燈塔C的距離；(2)已知在以燈塔C為中心，周圍16海里的范圍內(nèi)均有暗礁，若該船繼續(xù)由西向東航行，是否有觸礁的危險(xiǎn)？請(qǐng)你說(shuō)明理由．25．如圖，在和中，，，．將繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖1位置時(shí)，正好使得、、三點(diǎn)共線時(shí)，求此時(shí)的度數(shù)；(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，連接、，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，求證：；(3)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí)，連接、，取中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求證：．26．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位長(zhǎng)度，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為．(1)將向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，畫出兩次平移后的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)畫出繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，求點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的過(guò)程中，所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《陜西省咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期月考數(shù)學(xué)試卷》參考答案題號(hào)12345678答案DDADAADB1．D【分析】依據(jù)不等式的性質(zhì)求解即可．【詳解】A、由不等式的性質(zhì)1可知a+c<b+c，故A與要求不符；B、由不等式的性質(zhì)1可知a–2<b–2，故B與要求不符；C、由不等式的性質(zhì)2可知2a<2b，故C與要求不符；D、由不等式的性質(zhì)3可知–3a＞–3b，故D與要求不符．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．D【分析】先逐個(gè)的寫出原命題的逆命題，再利用算術(shù)平方根的性質(zhì)可判斷A的逆命題，利用平行四邊形的判定可判斷B的逆命題，由兩數(shù)之積為0則至少有一個(gè)為0，可判斷C的逆命題，由勾股定理的含義可判斷D的逆命題，從而可得答案．【詳解】解：若a＝b，則＝的逆命題是：若則而若則所以逆命題是假命題，故A不符合題意；菱形的對(duì)角線互相平分的逆命題是：對(duì)角線互相平分的四邊形是菱形，而對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，所以逆命題是假命題，故B不符合題意；若a＝0，則ab＝0的逆命題是：若則而若則或所以逆命題為假命題，故C不符合題意；三角形的三邊a，b，c滿足a2+b2＝c2，則此三角形為直角三角形的逆命題是：直角三角形的三邊分別為a，b，c（c為斜邊），則逆命題為真命題，故D符合題意；故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是逆命題的含義，真假命題的判斷，同時(shí)考查了算術(shù)平方根的含義，菱形的性質(zhì)，勾股定理及逆定理的含義，兩數(shù)之積為0則至少有一個(gè)為0，掌握以上基礎(chǔ)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵．3．A【分析】本題考查了直角坐標(biāo)系點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解不等式組，數(shù)軸表示不等式解集，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得，解不等式組并在數(shù)軸上表示即可得到答案．【詳解】解：點(diǎn)在第二象限解不等式①，得：解不等式②，得：在數(shù)軸上表示為：故選：A．4．D【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，連接，過(guò)B作于D，根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形的內(nèi)角和定理求出，，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理求出，即可求解．【詳解】解：連接，過(guò)B作于D，∵，，∴，，∴，∴，∴，即機(jī)器狗正常狀態(tài)下的高度為，故選：D．5．A【分析】本題考查了角平分線的判定定理，平行四邊形的判定，全等三角形的判定，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的判定定理，平行四邊形的判定，全等三角形的判定逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上，原說(shuō)法正確，符合題意；B、平行四邊形的對(duì)角相等，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；C、一條直角邊和一條斜邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形一定全等，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；D、平行四邊形的對(duì)角線不平分每一組對(duì)角，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；故選：A．6．A【分析】①利用等邊對(duì)等角，即可證得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，則∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD，據(jù)此即可求解；②因?yàn)辄c(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，所以BO不一定是∠ABD的角平分線，可作判斷；③證明∠POC＝60°且OP＝OC，即可證得△OPC是等邊三角形；④首先證明△OPA≌△CPE，則AO＝CE，AB＝AC＝AE＋CE＝AO＋AP．【詳解】解：①如圖，連接OB，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，∴OB＝OC，∠ABC＝90°?∠BAD＝30°∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∴∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD＝30°；故①正確；②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∵點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，∴∠ABO與∠DBO不一定相等，則∠APO與∠DCO不一定相等，故②不正確；③∵∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°，∴∠APC＋∠DCP＝150°，∵∠APO＋∠DCO＝30°，∴∠OPC＋∠OCP＝120°，∴∠POC＝180°?（∠OPC＋∠OCP）＝60°，∵OP＝OC，∴△OPC是等邊三角形；故③正確；④如圖，在AC上截取AE＝PA?，連接PB，∵∠PAE＝180°?∠BAC＝60°，∴△APE是等邊三角形，∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，∴∠APO＋∠OPE＝60°，∵∠OPE＋∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO＝∠CPE，∵OP＝CP，在△OPA和△CPE中，，∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO＝CE，∴AB＝AC＝AE＋CE＝AO＋AP；故④正確；本題正確的結(jié)論有：①③④，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7．D【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解一元二次方程，矩形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵；過(guò)A作軸于M，過(guò)B作軸于D，直線與交于點(diǎn)N，由等腰三角形的判定與性質(zhì)得出，證出由證明，得出，，即可得出B點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)，得到一元二次方程，解方程求解即可．【詳解】解：過(guò)A作軸于M，過(guò)B作軸于D，直線與交于點(diǎn)N，如圖所示：則，∴四邊形是矩形，，，，，，，，，，把代入反比例函數(shù)的解析式得，，雙曲線圖象在第二象限，，，，，，，，，，，，雙曲線經(jīng)過(guò)B，則,，解得：（舍），，故選D．8．B【分析】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是熟悉整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，找到關(guān)鍵點(diǎn)（一般是函數(shù)圖象的折點(diǎn)），對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為圖形中的線段長(zhǎng)度．先通過(guò)，計(jì)算出的長(zhǎng)度，即可求得長(zhǎng)度，根據(jù)長(zhǎng)計(jì)算的值，的值等于整個(gè)運(yùn)動(dòng)路程除以速度，當(dāng)時(shí)，找到點(diǎn)位置計(jì)算面積即可判斷的值．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，面積最大，結(jié)合函數(shù)圖象可知當(dāng)時(shí)，面積最大為，．，．∴，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)時(shí)，所用時(shí)間為：，，故①正確；點(diǎn)運(yùn)動(dòng)完整個(gè)過(guò)程需要時(shí)間為：，即，故②錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，又四邊形是長(zhǎng)方形，，，，，，，是等腰三角形，故③正確；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為：，此時(shí)，面積為：，故④錯(cuò)誤．故選：B．9．【分析】根據(jù)被開(kāi)方式是非負(fù)數(shù)列式求解即可.【詳解】解：依題意，得，解得：，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，函數(shù)有意義時(shí)字母的取值范圍一般從幾個(gè)方面考慮：①當(dāng)函數(shù)解析式是整式時(shí)，字母可取全體實(shí)數(shù)；②當(dāng)函數(shù)解析式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0；③當(dāng)函數(shù)解析式是二次根式時(shí)，被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)．④對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系式，自變量的取值除必須使表達(dá)式有意義外，還要保證實(shí)際問(wèn)題有意義．10．/【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定以及勾股定理，過(guò)點(diǎn)作垂線交于點(diǎn)，先證明，得到，證明在同一線上，根據(jù)勾股定理得到，最后通過(guò)線段和和差即可求．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作垂線交于點(diǎn)，即，即是的垂直平分線，∵，在同一線上，，故答案為：．

11．③【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，反證法，舉反例，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)反證法，可證明①②④正確，通過(guò)舉反例，可證明③錯(cuò)誤．【詳解】解：①若三角形的三個(gè)內(nèi)角至多只有一個(gè)銳角，則三個(gè)內(nèi)角中至少有2個(gè)鈍角，那么三個(gè)內(nèi)角的和就大于，與三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于矛盾，所以①正確；②若三角形的三個(gè)內(nèi)角最少有2個(gè)直角，那么三個(gè)內(nèi)角的和就大于，與三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于矛盾，所以②正確；③因?yàn)槿切蔚娜齻€(gè)內(nèi)角可以都等于，所以③錯(cuò)誤；④若三角形的三個(gè)內(nèi)角都小于，那么三個(gè)內(nèi)角的和就小于，與三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于矛盾，所以④正確．故答案為：③．12．4【分析】本題主要考查平移的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平移的性質(zhì)得到，，證明是等邊三角形，即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)平移的性質(zhì)得到，，，，是等邊三角形，．故答案為：．13．①②④【分析】由“箏形”的性質(zhì)可得，，根據(jù)等邊三角形的判定即可得出結(jié)論，故可判定①；證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，由直角三角形的性質(zhì)即可得出與的數(shù)量關(guān)系，故可判定②；由面積關(guān)系可求出四邊形的面積，故可判定③；延長(zhǎng)到，使，連接，證明，可得，，證明，可得，由線段和差關(guān)系可得結(jié)論，故可判斷④．【詳解】解：∵四邊形是“箏形”四邊形，∴，，∵，∴是等邊三角形，故結(jié)論①正確；∴，∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，故結(jié)論②正確；∵，∴，∵，故結(jié)論③錯(cuò)誤；如圖所示，延長(zhǎng)到，使，連接，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故結(jié)論④正確；故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角的直角三角形，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)．理解“箏形”的性質(zhì)和添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．14．(1)不等式性質(zhì)2(2)不等式性質(zhì)1(3)不等式性質(zhì)3(4)不等式性質(zhì)1【分析】本題考查不等式的性質(zhì)：（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)2，不等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，作答即可；（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)1，不等式兩邊加（或減）去同一個(gè)數(shù)（式子），不等號(hào)的方向不變，作答即可；（3）根據(jù)不等式的性質(zhì)3，不等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，作答即可；（4）根據(jù)不等式的性質(zhì)1，不等式兩邊加（或減）去同一個(gè)數(shù)（式子），不等號(hào)的方向不變，作答即可．【詳解】（1）解：由得的依據(jù)是不等式的性質(zhì)2；（2）由，得的依據(jù)是不等式性質(zhì)1；（3）由，得的依據(jù)是不等式性質(zhì)3；（4）由，得的依據(jù)是不等式性質(zhì)1．15．(1)(2)是等腰三角形．【分析】本題考查的是利用分組分解法分解因式，等腰三角形的定義；（1）把原式化為，再進(jìn)一步分解因式即可；（2）由可得，結(jié)合等腰三角形的定義可得答案；【詳解】（1）解：；（2）解：，∴，∴，∵是的三條邊長(zhǎng)，∴，，，是等腰三角形．16．（1）；（2）①小李，等式性質(zhì)2（等式兩邊同時(shí)乘以同一個(gè)數(shù)，等式仍然成立）；②見(jiàn)解析【分析】本題考查了解一元一次方程以及等式的性質(zhì)，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)解一元一次方程的一般步驟進(jìn)行求解即可；（2）①根據(jù)等式的性質(zhì)判斷即可；②按照解一元一次方程的步驟進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解方程：去分母：移項(xiàng)合并：化系數(shù)為1：（2）①解：根據(jù)題意可得：等號(hào)兩邊同時(shí)乘以4，可得：，∴小李同學(xué)的第一步正確；等式性質(zhì)2（等式兩邊同時(shí)乘以同一個(gè)數(shù)，等式仍然成立）．故答案為：小李，等式性質(zhì)2（等式兩邊同時(shí)乘以同一個(gè)數(shù)，等式仍然成立）②解：，去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，化系數(shù)為1得：．17．見(jiàn)解析【分析】要使得供水站到三個(gè)廠的距離相等，即供水站要在線段AB、BC、AC的垂直平分線上，因此作出AB、BC、AC的垂直平分線，三者的交點(diǎn)P即為所求．【詳解】解：如圖所示：連接AB，AC，BC，以A、B為圓心，以大于AB長(zhǎng)的一半為半徑畫弧，兩者分別交于M、N，連接M、N，則MN為線段AB的垂直平分線，同理作出線段AC，BC的線段垂直平分線，三者交點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．18．見(jiàn)解析【分析】由角平分線的性質(zhì)得到，證明，得到，即可得到結(jié)論．【詳解】證明：∵是的平分線，，，∴，在和中，，∴，∴，即平分．【點(diǎn)睛】此題考查角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．(1)該商場(chǎng)節(jié)后每千克A粽子的進(jìn)價(jià)是10元(2)該商場(chǎng)節(jié)前最多購(gòu)進(jìn)300千克A粽子【分析】本題主要考查了分式方程和一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系和不等關(guān)系列出方程和不等式．（1）設(shè)該商場(chǎng)節(jié)后每千克A粽子的進(jìn)價(jià)為元，則節(jié)前每千克A粽子的進(jìn)價(jià)為元，根據(jù)節(jié)前用240元購(gòu)進(jìn)A粽子的數(shù)量與節(jié)后用200元購(gòu)進(jìn)的數(shù)量相同，列出方程，解方程即可；（2）設(shè)該商場(chǎng)節(jié)前購(gòu)進(jìn)千克A粽子，則節(jié)后購(gòu)進(jìn)千克A粽子，根據(jù)總費(fèi)用不超過(guò)4600元，列出不等式，解不等式即可．【詳解】（1）解：設(shè)該商場(chǎng)節(jié)后每千克A粽子的進(jìn)價(jià)為元，則節(jié)前每千克A粽子的進(jìn)價(jià)為元，根據(jù)題意，得：，解得．檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，是原分式方程的根，且符合題意．答：該商場(chǎng)節(jié)后每千克A粽子的進(jìn)價(jià)是10元．（2）解：設(shè)該商場(chǎng)節(jié)前購(gòu)進(jìn)千克A粽子，則節(jié)后購(gòu)進(jìn)千克A粽子，根據(jù)題意得：，解得：．答：該商場(chǎng)節(jié)前最多購(gòu)進(jìn)300千克A粽子．20．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)分式的值為0及分別求出、，得到兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）由等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可求出答案；（3）證出，在上截取，連接，證明，得出，證明是等邊三角形，得出，則可得出結(jié)論．【詳解】（1）分式的值為0，又（2）設(shè)，，（3）理由如下：在上截取，連接平分由（1）可知，又是等邊三角形，【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題；21．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理、角平分線的判定定理、三角形面積公式，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)作于，于，由題意可得平分，由角平分線的性質(zhì)定理可得，即可得證；（2）設(shè)，由（1）得：，再由三角形面積公式計(jì)算即可得解．【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)作于，于，如圖：，平分，又，，，平分的平分線，，，，，點(diǎn)在的平分線上，平分；（2）解：設(shè)，由（1）得：，，，，，即：，解得：，，．22．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由平分得，證，得即可；（2）在等腰三角形中，，利用等腰三角形性質(zhì)及內(nèi)角和定理求出，同理求出，即可求出結(jié)果．【詳解】（1）證明：平分在與中是等腰三角形；（2）解：由（1）可知，，，【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理；熟練運(yùn)用全等三角形和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．(1)；；(2)，理由見(jiàn)解析；(3)米．【分析】（）證即可證出，再根據(jù)“”字型得；（）先證，再證，最后通過(guò)線段和差即可得證；（）按照前問(wèn)思路構(gòu)造“手拉手模型”全等，作，使，連接，則為等腰直角三角形，證明，則，最后利用勾股定理求即可；本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識(shí)和添加合適的輔助線是解題關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形,∴，，∵，∴，即